2013专转本高数不定积分复习资料(同方)

本章主要知识点：

●不定积分的意义，基本公式

●不定积分的三种基本方法

●杂例

一、不定积分的意义、基本公式

不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。

1．性质

2．基本公式

          （1）， 

          （2）， 

          （3），， 

， 

（4），

（5）

（6）

（7）

二、不定积分的三种基本方法

1．凑微分法（第一类交换法）    

基本原理：。

一些常见的固定类型

等等。

例3.1． 

解：原式=

例3.2． 

例3.3． 

解：原式

例3.4． 

解：原式 

例3.5． 

解：原式=

例3.6． 

解：原式

例3.7． 

解：原式

        =

例3.8． 

解：原式

例3.9． 

解：利用综合除法知

原式

例3.10． 

解：原式

例3.11． 

解：  

注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。

*例3.12． 

解：原式

例3.13．                          

解：原式==

         =

例3.14． 

解：令，则

原式＝

例3.15． 

解：原式＝

例3.16． 

解：原式=

        ==

        =

例3.17． 

解：原式==

        =

例3.18． 

解：原式==

        =-

例3.19． 

解：原式===

例3.20． 

解：原式==

=

例3.21． 

解：原式==  =

例3.22． 

解：原式====

例3.23． 

解：原式＝

例3.24． 

解：原式＝

2．直接交换法

a）题型

方法：令，，

例3.25． 

解：令，

原式====

例3.26． 

解：令

原式=

=

例3.27． 

解：原式== 

=

=

例3.28． 

解：原式

===

b) 题型

    变换

    变换

    变换

例3.29． 

解：令，

原式==

    ==

例3.30． 

解：令，原式

                    =

例3.31． 

解：令，

原式

=（还原略）

例3.32． 

解：令，

原式

例3.33． 

解：令，

原式＝＝

    ＝（还原略）。

3．分部积分法

公式： 

四种基本题型

a）题型1 

例3.34． 

解：原式=

           =

例3.35． 

解：原式

=

例3.36． 

解： 

=

题型2  或

例3.37． 

解：原式=

      =

例3.38． 

解: 原式=

     =

例3.39． 

解： 原式＝

例3.40． 

解：原式

题型3  或

例3.41． 

解：设

        =

        =

    解得： 

题型4　　 

例3.42． 

解：原式==

        =

        =

例3.43． 

解：原式

        ==

        =

        =

例3.44． 

解：原式

例3.45． 

解：原式

例3.46． 

解：原式

4．四类杂例

（１）含绝对值的不定积分

例3.47． 

解：原式，可导必连续：，

故原式。

例3.48． 

解：，

原式，

由可导知，成立，

解得： ，

所以，  。

（2）分段函数积分 

例3.49．，求。

解：，

由可导知，成立

解得：， 

所以， 。

（3）递推关系

例3.50． 

解： 

例3.55． 

解： 

例3.56． 

解： 

       ＝，

（4）一些特殊的变换

例3.57． 

解：令，

原式

例3.58． 

解：令，解得：，，，则

原式

。

（5）一些特殊积分

例3.59． 

解：原式＝

   ＝

例3.60． 

解：原式＝

        ＝

        ＝

例3.61． 

解：原式＝

单元练习题3

1．　　　　　　　　　　　。    

2．已知，则　　　　　　　　　　。

3．　　　　　　　　　　　。

4．已知，则　　　　　　　　　　　。

5．已知，则　　　　　　　　　　　。

6．下列积分谁正确（　  ）

A．   B． 

C．           D． 

7．计算下列不定积分

（1）                （22）  

（2）                （23）

（3）                （24）

（4）                （25）

（5）                    （26）

（6）                （27）

（7）                （28）

（8）                （29）

（9）                        （30）

（10）                （31）

（11）                    （32）

（12）                    （33）

（13）                （34）

（14）                    （35）

（15）                    （36）  

（16）                    （37）

（17）                    （38）  

（18）                （39）

（19）                    （40）

（20）                （41）

（21）

历年考试真题

1.（2001）不定积分（     ）

A.   B.    C.   D. 

2. （2001）计算。

3. （2002）设有连续的导函数，且，则下列命题正确的是（     ）

A.      B. 

C.         D. 

4. （2002）求积分

5. （2003）若连续，则下列说法正确的是（     ）

A.      B. 

C.      D. 

6. （2003）

7. （2004）求不定积分

8. （2004）设的一个原函数为，计算

9. （2005）若则

  A.           B.  

C.           D.  

10. （2005）计算

本章测试

1． 的一个原函数为，则。

2．。

3． 

4. 已知，则。

5.    

6.    

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14.已知的一个原函数为，

   证明： 

15.已知函数有二阶连续导数，

   证明： 

16. 

单元练习题3答案

1．  2.   3.  4.2    5.   6.Ｃ

7.解：（１）原式==

（２）原式=

（３）原式=

（４）原式=

（５）

（６）

（７）原式=

（8）原式=

（9） 原式=

（10）原式=

（11）原式=

（12）原式=

（13）原式=

          =

（14）原式=

（15）令，得,

,

则原式=

       （代入略）

(16) 原式 

（17）原式

（18）解：原式=

（19）原式

（20）原式

（21）解：原式

（22）原式

I

（23）解：I

（24）原式令

=

原式

（25）原式

（26）原式

（27）原式

（28）原式

（29）原式

（30）原式

（31）原式

（32）原式

（33）原式=

         =

         =

         =

         =

（34）原式=

         ==

（35）原式=

         =

         = 

（36）原式=

（37）令

由连续特性知：， 

故

（38）解： 

原式= 

（39）原式=

（40）原式=

（41）令，， 

     所以

原式=

本章测试答案

1.     2.   3.  

4.  

5．原式=

6．原式

7．原式

8．原式=

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14.证明： 

＝

15. 

＝

＝

16.原式＝