证券投资组合的最优化问题研究

秦宝飞 11119128010

摘要：以Markowitz证券组合投资理论为基础，对于几种不同证券组合投资模型分别考虑了证券组合的收益、风险、交易费等因素条件下对模型进行了优化，并对文中模型做了进一步的扩展。在数理金融学中，用随机控制理论研究最优投资策略问题是很重要一个方面。无摩擦金融市场的投资策略研究己有许多文献，得出了一些很好的结论。随着数理金融学的发展，摩擦金融市场的投资策略的研究成为讨论的热点。研究股利和税收对金融市场模型的建立、投资策略选择的影响等问题，具有更强的实际意义，为投资者正确选择证券组合投资的最优策略及应用方面提供借鉴。

关键词：证券投资组合HJB方程风险水平最优化

一、证券投资组合理论的概述

（一）证券投资组合的定义

证券投资组合是指投资者对各种证券商品进行一定的选择而形成相对固定的若干个投资品种，以达到在一定的约束下，实现投资收益最大化的基本目标。这种组合并非是若干个证券商品简单随意的拼凑，它应体现出投资者的意愿和所受的约束，是经过精心选择和科学搭配的，并可随时调整，使其不偏离投资者的预定目标，也就是在投资收益与风险的权衡中作出的最佳组合，也是希望达到投资本金安全、投资收入相对稳定并逐步实现资本增值的一个综合目标。

现代证券组合投资理论一直是世界各国经济学家倾力关注的一个重要理论研究前沿。经过马柯威茨、夏普等为首的众多经济学家的努力,这一理论在基本概念的创新、理论体系的完善、重要结论的实证和理论应用的拓展上都取得了重大进展。我国证券市场是社会主义经济的重要组成部分,显然,借鉴西方发达国家的现代证券组合投资理论,对于促进和推动我国证券市场保持长期稳定的发展具有重要的理论和现实意义,但是,在借鉴和应用现代证券组合投资理论的过程中, 必须考虑现代证券组合投资理论在我国的实用性。首先,由于我国证券市场的和造成的“市”和“消息市”问题,常常引起股票市场的大起大落,因此,在我国进行证券组合投资时,应对系统风险加以较大的关注。其次,依据现代证券组合投资理论,在构建证券投资组合时,资产是无限可分的,这显然与我国的实际不符。再次,现代证券组合投资理论没有考虑证券组合投资过程中的交易费用,而实际上,忽略交易费用可能导致非有效的证券组合投资。最后,现代证券组合投资理论假设投资者可以卖空,在我国,为保证证券结算交收的正常进行控制交收风险,沪、深证券交易所均禁止交易中的卖空和买空行为,卖空程序是很难实现的。

(二) 投资组合理论的产生与发展投资组合理论就是研究个体、企业投资决策行为的科学。在这里，投资决策指如何分配现有资金或资源，用于可供选择的各种投资机会。而对家庭、个人而言，除投资决策外还有消费选择，投资者选择最优投资组合使自己的财富增加，并通过消费这些财富使自己的效用最大。最早在这方面的研究是Samuelson与E.Fama，他们分别在1969年和1970年中研究了离散时间的投资消费问题。个人决策行为的最优投资消费问题由Merton在连续时间下提出，该问题假设投资者拥有两种可供选择的资产——风险资产和无风险资产。投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通过消费这些财富使自己的效用最大化，并证明了投资消费模型有解析解的充分必要条件是效用函HARA (双曲绝对风险厌恶)函数，对常系数模型得到了最优投资消费策略的显式解，在此之后，这个问题得到广泛的推广和研究。因此，Merto一系列的工作为后续进一步的研究奠定了基石，所以习惯于把连续时间的投资消费问题称为Merton问题。在同样的模型假定下，Karatzas推广了Merton的结果，对投资者的一般性效用函数得到了闭式解。以上这些结果都是利用了随机最优控制理论而获得的。对于一些复杂问题，也得到了国内外许多专家的研究和探讨，这些都推动着数理金融学的发展。

美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者Harry.M.Markowitz于1952年在《金融杂志》上发表了题为《证券组合选择》的论文，把证券组合风险和收益之间的替代关系数量化，提出了均衡分析的理论与方法，建立了现代证券组合理论的基本框架[1]。这一理论的重要意义在于其实际可操作性。Markowitz曾在其诺贝尔经济学奖授奖演讲词中说道：“我寻求投资者们——至少有充分计算资源的投资者们事实上能遵循的一组规则。所以，我认为在计算上可行的一个近似方法优于一个不能计算的精确方法。我相信这是肯尼思·阿罗的不确定经济学著作与我的著作的分歧之点。他寻求一个精确的一般解，我寻求一个能实施的好近似法。我相信两条研究路线都有价值。”现代资产组合理论主要研究如何度量不同的投资风险，组合投资收益与风险之间的关系，以及如何选择资产以最大化组合收益等。

单从现代证券投资组合理论来看，基于不同风险的刻划（如方差----半方差绝对偏差、系数、模糊数等）和不同投资准则（如最大化期望收益率、最小化风险、安全第一准则等下的证券投资组合理论和模型如雨后春笋，其中最具有代表性和广为采用的是M --V理论、效用理论和随机最优控制理论。M -V理论经历了从单阶段到多阶段再到连续时间的发展过程。它的优点是直观、容易被接受，因而在实际应用中非常广泛，它的不足就是假设的市场比较简单，不能细微地反映出实际市场的复杂变化情况。另外，M -V 理论单纯地考虑投资者的投资行为，没有考虑到投资者的消费以及消费对投资可能的影响。期望效用理论是证券组合分析中另一强有力的工具。效用是投资者对不同证券组合的一种偏好或满足程度，是在有风险的情况下决策人对后果的偏好的量化，可用一个数值来表示。因此，一旦效用函数确定以后，就可以比较各种后果的优劣，从而确定出最佳方案。将这种思想引入到证券组合中去，形成了证券组合的期望效用理论。一般来说，较多的财富是和较大的效用相联系的。投资者所追求的目标是期望效用最大max E[F(c,w)]，这里E表示期望，F表示投资者的效用函数，而c和w分别表示期初的消费和投资期末的财富。

随机最优控制理论是数学家们应用贝尔曼最优化原理，并采用测度理论和泛函分析方法，在二十世纪60年代和70年代初对于这一新的数学研究领域做出的重要贡献。在金融经济学中的应用是主要解决投资的决策、投资方式和投资期间的股息策略问题。随机最优控制研究的是这样一种动态方程，它的状态方程是Ito 型随机微分方程(有时也称之为扩散模型)，在扩散模型中的不确定因素基本源被称为噪白声，相应的决策控制是基于大量的己知信息变量，当其满足投资者的最优期望时，决策者就会从中找出一个最优的决策控制变量，这样的问题称之为随机最优控制问题。对于投资组合的研究，国外一些学者研究的情形包括：有外来收人流的情形，有交易费的情形，考虑破产的情形，消费品为可存品的情形，风险资产价格过程为半鞍的情形，不允许卖空或者不允许财富为零等有的情形，多人投资消费的情形，市场信息不完全的情形，终止时间不确定的情形等。自从Pratt等经济学家引入风险规避系数概念以来，研究带有风险规避的投资决策问题尚不多见，而现实中的投资者大多数是风险规避者，只是风险规避程度不同而已。因此，研究风险规避投资者的行为更有特别重要的意义。

在我国，由于证券市场成立较晚，相应的理论研究和实证分析大大滞后于东西方发达国家，但近几年呈蓬勃发展趋势，大量文献涌现于各类学术刊物，取得了一定的成绩。国内学者的研究情况主要为：雍炯敏、周迅宇较系统地研究了随机动态规划方法以及与随机最大值原理之间的关系，给实证研究提供了较好较新颖的理论依据。彭实戈在90年代初与法国学者EP.ardoux 给出了倒向随机微分方程解的存在唯一性的证明，在世界金融学术界引起很大轰动，雍炯敏以及他的合作者还对正倒向随机微分方程进行系统的研究，得出了一些很重要的结果，它对于期权定价理论和证券投资组合理论都具有广泛的应用前景[2]。郭文旌研究了消费品为可存品与非可存品的组合的情形以及借贷利率与存款利率不等的情形；杨绍军与师义民研究了市场信息不完全的情形，刘海龙与吴冲锋研究了随机方差的情形；吴臻和史敬涛研究了在随机干扰源相互关联情形下，两种股票的最优投资组合及消费选择的显示解等。无论哪种情形，现在已有几种求解方法，对于较简单的情形，利用鞅方法或随机最优控制中的动态规划方法就能求解，而对于复杂因素较多的情形，一般考虑数值方法，不过，这方面还有待进一步的探究。

二、目前我国证券市场存在的问题

我国的证券市场建立的时间短，近年来，我国证券市场有了长足的发展，且处在不断改革和完善之中，但由于起步较晚，在发展中也暴露出了不少问题：

1.波动幅度较大，规律性太少

近年来，中国证券市场波动性明显增大，既受到了外部经济金融环境变化等不确定性因素的影响，也与资本市场的自身调整需要有关。中国股票价格指数的波动性明显偏大。特别是目前中国股票市场既具有新兴市场的特点，又具有资产价格泡沫的典型特征，明显处于高波动阶段。统计显示，中国上证综合指数自2000 年1月4日至2008年1月18日共计1920个交易日的日均波动幅度为1.7%，2006年1月4日至2008年1月18日共计493个交易日的日均波动幅度高达百分之二。另外，中国沪深300指数自2005年1月4日至2008年1月18日共计739个交易日的日均波动幅度为2.156%，2006年1月4日至2008年1月18日共计497个交易日的日均波动幅度高达2.408%。显然,中国股票市场波动性在全球主要市场中处于前列。

2.投机性很大，泡沫成分太多

据数据统计，以2006 年年报上市公司业绩为基准，2007年A股静态市盈率已高达87倍，远高于2001 年6月14日67倍的历史高位。即便以实施新会计准则后2007年上半年的上市公司业绩计算，我国股市的动态市盈率也达到了49倍。我国证券市场已成为典型的预期市场，投机性就是一种泡沫，中国的股市投机性太强，必然会出现泡沫。

3.市场化程度不够

据美国财务学教授尤金·法玛（Eugene Fama）的有效市场假说，只有当股票市场上股票价格能够及时且不偏不倚地充分反映市场上的所有信息时，市场才是有效的。有效的股票市场是一个完全竞争性的市场，市场参与者都能够及时地、不以任何偏见地获得所需要的信息，信息的交易成本为零。由于市场本身可能存在失灵的现象，完全有效的股票市场是一种理想境界，现实中所存在的只是次级有效的市场，更何况在我国，股票市场的有效性还比较低，股市上内幕交易比较盛行，股价变动非随机性，价格的变动与企业经济效益的相关性差，根本原因在于我国上市公司信息披露存在着大量的虚假性、不充分性和不及时性，信息失真严重，小道消息盛行，预测性财务信息、分部信息、社会责任信息、软性资产信息披露不足，部分公司直到规定披露时间的最后期限才公布企业的财务报告，更谈不上对临时重大事件披露的及时性。

4.信息公开化程度低

有效市场的一个重要特征是信息完全公开化，每一位投资者均可以免费得到所有有价值的信息，且市场信息一旦公开，将立即对证券价格产生影响，并很快通过证券价格反映出来，定价机制不至于被扭曲。在我国，信息披露领域存在的问题仍然十分突出，一方面，法规不健全，信息披露的条项、内容、时间等技术性缺陷致使信息难以通过正常渠道全面公开；另一方面，一些信息披露责任者对各市场主体弄虚作假，特别是目前一些上市公司为了使本公司股票能够升值，竟然串通中介机构，过度包装本公司形象，甚至内外串谋炒作本公司股票，误导投资者。在这种情况下，所有投资者并不是公平地获得真实的信息，而那些虚假的信息便起了误导市场的作用，证券价格发生严重偏离，少数的信息操纵者通过操纵股价来获取超额利润，使信息垄断导致市场垄断。

5.信息披露不完善

按照市场有效性理论的要求，上市公司所有与证券发行、交易有关的信息资料包括历史数据、公司的经营和财务状况、管理状况、盈利机会等应尽可能详细地公开，不得故意隐瞒、遗漏。而实际上，我国的许多上市公司以自身利益为中心，报喜不报忧，只公布对自己有利的信息，甚至有的公司发布虚假信息。还有一些上市公司故意拖延信息的公布，不按期公布财务报告，不按期公布重大投融资事项、委托理财事项等。这样，投资者无法获得全面准确的信息，难以作出正确的投资决策，导致市场效率降低。

6.投资者结构不合理

资本资产定价模型假定所有投资者都运用马克维茨投资组合理论分析、处理信息，从而采取同样的投资态度，在此基础上再考察证券的定价机制。因此，投资者决策的科学性和严密性是资本资产定价模型对现实市场有较强适用性的一项前提。我国股市投资者的构成是以个人投资者为主体，机构投资者为数很少，成熟的机构投资者更少。机构投资者数目与个体投资者数目之比大大低于国外发达而高效的市场。这种不合理的投资者结构存在两方面的问题：一是大多数个人投资者素质普遍较低，经验不足，尤其缺少专业方面的知识，他们入市带有很大的盲目性，多数做短线炒作投机。因此，要求这些投资者对预期收益率、标准差、证券之间的协方差有相同的理解显然是不太现实的。二是机构投资者少，使得投资者之间的竞争不够激烈，缺乏高水平高素质的信息开发人才，因此，缺乏市场信息开发的压力和动力，降低了市场的有效性。

7.上市公司股权结构不合理

我国上市公司股权结构不合理的问题由来已久。有关部门统计，截至2002 年3月我国上市公司达1122家，发行总股数达3973.12亿，但其中国有股和法人股合计达2 502.96亿股，占到总股数的63％。这种严重扭曲的股权结构造成两种严重的影响：一是国有股和法人股不能上市流通，了证券的高度流动性，降低了证券市场的竞争程度；二是代表国家持有国有股的国家投资主体并不是真正的出资人，因而没有足够的动力监控管理者行为，这在一定程度上加大了证券市场的

信息不对称。

8.监管部门监管不到位

中国资本市场作为新型加转轨的市场，是利益集团和各种矛盾最集中的场所，利益关系错综复杂，盘根错节，内幕交易、操纵市场等违法犯罪行为丛生，广大投资者的利益屡屡被侵犯而无救济的途径。举目全球，资本市场的变幻快速莫测，很多国家都建立了应对金融危机的快速反应机制，而我们的管理层在面对诸如印花税、新股发行等明显不合理并且已经严重影响资本市场竞争力的制度的时候却采取回避的态度。在市场失灵和规则被破坏的情况下，我国监管部门的职能却出现缺失。

三、市场假设与模型建立

考虑在区间[0,T]交易的证券市场，在[0,T]期间内市场的不确定性是由一概率空间（Ω，F,P ）表示，其中Ω表示所有可能状态的集合，令t F 为F 的一子σ-

代数，它代表t 时刻的市场信息，这样{,0}t t T F ≤≤构成Ω上的一非降σ-代数

流。

(一)市场假设

下面是构建模型前的一些基本假设：

假设 3.1.1（竞争市场）投资者都是价格承受者，即任何投资者的投资行为都不会影响资产的价格，也就是说，市场不存在价格垄断。

假设 3.1.2 资产市场不包含任何套利机会。

所谓套利机会是指投资者可以在0时刻不花钱而在1时刻稳获正的利润，我们假设没有套利机会就是投资者必须有一初始投资资金。

假设 3.1.3 投资者是风险厌恶的，且投资行为是使终期财富的期望效用达到最大。

假设 3.1.4 投资者都认同市场上所有资产的收益率服 从多元正态分布。 假设 3.1.5 资产市场上存在无风险资产，且投资者可 以以无风险利率无限期借贷。

证券投资的收益由两个部分组成：一是本期收入（如债券利息或股票的股息和红利）；二是资本利得或损失，即由于证券价格的变产动生的价差，收益额与投资 额的比率称为收益率，收益率不确定的证券称为风险证券。一般把短期国库券当作无风险证券，它的收益率是预先确定的，而风险通常指导致投资损失的可能。如果把风险证券收益率看成一个随机变量，则它的数学期望称为预期收益率。

（二）符合我国实际的证券组合投资模型的建立

由前面的假定，市场上有n+1种证券，它们在时刻t 的价格构成n+1维非负随

机变量01((),(),())n p p t p t p t τ=，证券0为一无风险证券，证券i,(i=1,2,…,n)为n 种风险资产，例如股票。它们在t 时刻的价格分别为0(),(),1

,2,...,i P t P t i n =,满足如下的随机微分方程：

00000()(),(0)dP t r p t dt p p == （3.1）

1()()()(),1,2,...n

i i i ij i j j dP t r p t dt p t dw t i n σ==+=∑ （3.2）

其中()j w t ，j=1,2,…,n 是一维的标准布朗运动，参数0r 是无风险证券的收益

率，,1,2,...i r i n =是第i 种风险证券在每单位时间瞬时条件期望收益率,表cov()ii i r σ=，i=1,2…n 是第i 种风险证券 的方差，cov(,)

ij i j r r σ=（i,j=1,2,…n ）是第i 种风险证券预期收益率受第j 种风险证券瞬时条件风险因

素波动影响的方差，{()}ij t σ是风险证券市场各种因素（如公司因素、经济因素、

社会政治因素以及投资者的心理因素等）影响而随机扰动的程度。在完备化市场情况下，{()}ij t σ构成一个n 阶正定矩阵。

记投资者在t 时刻的财富为x(t)，其持有第i 种证券的数量为()i N t ，

i=0,1,2…,n, 税收率为α。如果股利率是变化的，情形将有所变化。

现在我们考虑股利(,())()()i i i i D t N t D t N t =的情况，即是说股利是t 时刻股利率与t 时刻股票的数量成正比。()i D t 是 第i 种股票在t 时刻股利的利率。这样，

(,())())()()()i i i i i i D t N t P t D t N t P t = (3.3) 表示第i 种股票当股票价格为()i P t ，股票数量为()i N t 时所支付的股利金额。因此，t ∆时刻的瞬时总资产过程为：

01()()()[()()]()()()n n

i i i i i i i i x t t x t N t P t t P t D t N t P t dt

==+∆-=+∆-+∑∑ 0

()()n i i

i N t P t dt α=-∑ (3.4)

当0t ∆→时，

01()()()()()()n n i i i i i i i dx t N t dP t D t N t P t dt ===+∑∑0

()()n

i i i N t P t dt α=-∑

0011()()()()()()()n n

i i i i i i i N t dP t N t dP t D t N t P t dt

===++∑∑0()()n

i i i N t P t dt α=-∑ （3.5）

将（3.1）和（3.2）代入上式得：

01()()()[()]()()n

i o i i i i dx t r x t r r D t N t P t dt

α==-+-+∑11()()()n n

ij i i j i j N t P t dw t σ==+∑∑ （3.6） 令 i i i Z t P t N t =()()()i i i Z t P t N t = ，,1,2...,i o n = (3.7)

为投资者第i 种证券的投资金额。 我们定义01(*)

((*),(*),...,(*))n Z Z Z Z =为证券投资组合，其中0(*)Z 是无风险证券的投资金额。这个证券投资组合是以可料的1n +维向量序列，即每个(*)i Z 为t F 可测。

对投资组合序列作可料性假定，是表明我们在时刻t 决策是只能利用直到t 以前的市场信息。设

0()

()()[0,1]()

()i i i n i

i Z t Z t u t x t Z t ===∈∑，0,1,2...,i n = （3.8） 则

()()()i i Z t u t x t =，0,1,2...,i n = （3.9） 将式（3.8）和（3.9）代入（3.6），得：

01

(){()[()]()}()n i i i i dx t r A D t u t x t dt α==-++∑

11()()()n n

ij j j i j u t x t dw t σ==+∑∑ （3.10）

投资者如何选择有效的投资组合取决于它对不同的不确定收益的偏好，这在经济学中用期望效用函数描述。首 先是根据资产收益结果给投资者带来的满意程度大小，给每一收益结果确定一个价值。然后根据每一资产的每个收益结果发生的可能性进行加权平均，求得该资产的平均价值或预期价值，最后再比较各资产的预期价值的大小，根据预期价值的高低确定资产的优劣。预期价值高的资产，给投资者带来较高的满意程度，从而被投资者所偏爱。这一原理称为预期效用原理。因而，效用函数是用数学公式表现的投资者对收益结果的赋值情况。投资者的目标是使期望效用最大化，即是在预期收益率与风险之间进行权衡。

在这里令投资者的效用函数是(())F x t ，假定它是上凸的，且是严格递增的， (())EF x t 是投资者在T 时刻的期望效用值。那么投资者的目的是如何控制 (3.10)中风险证券上的投资比例份额()i u t ,使其在时刻T 的期望效用值达到最 大。

又因为前面假设(0)

i i P P =， ,1,2...,,i o n = 则有 10

(0)(0)(0)(0)n n

i i i i i i x N P N P ====∑∑

所以财富()x t 在初始时刻的值就是已知的。我们令初始财富0(0)x x =，这样我们就得到了带有随机收入（股利）的证券投资风险控制的最优投资决策问题的数学模型[3]如下，记为()ps ：

0(){()(())()}()dx t r A D t u t x t dt τ

α=-++1()()()n

j j u t x t dw t τσ=+∑ (3.11) 0(0)x x = (3.12) 目标泛函数为 max (,,)max [()]J t x u EF x t = （3.13） 其中()i u t ， 1,2,...,i

n =是投资在第i 种风险证券上的投资比例，也称为投资组合，01()((),(),...,())n u t u t u t u t U τ=∈，U 是一个容许控制。,o i r r ， 1,2,...,i n =分别为无风险证券的期望收益率和风险证券的期望收益率，

12(,,...,)n A A A A τ=为超额风险收益率；12()(()(),...,())

n D t D t D t D t τ=是风险证券的股利。ij σ,,1,2,...,i j n =为第i 种风险证券预期收益率受第j 种

风险证券风险因素波动影响的方差；()i w t ,1,2,...,i

n =表示(,,)F P Ω概率空间上相互的标准维纳过程，E 为数学期望，()F x 为投资者的效用函数，投资者的目标是如何选择()u t ，使其达到期望效用函数最大。

这就是我们建立的具有股利和税收的证券投资的数学模型。为了降低模型求解的难度，本文将模型分解为两个证券投资组合优化模型，如下面模型（1）和

（2）所示。 0

0[()]

max n

i i i i i i i i i n i i

i r p x c p x p R p x

ϕ==--=∑∑ ..s t 10(

)n i i i d n i i i

i p x p x

ββ==≤∑∑ （1） 0

n i i i p x

A ==∑ （2）

1n ik i i k i h

p x A =≤∑ (1,2,...,)k m =

0,1,2,...i x = (1,2,...,i m =) (3)

式中：d β为给定的风险水平，其他符号意义同前。 10min (

)n i i i n i i i

i p x p x

ββ===∑∑

..s t 0[()]

n

i i i i i i i i i d n i i

i o r p x c p x p R p x

ϕ==--≥∑∑ (1) 0

n i i i p x

A ==∑ (2)

1n ik i i k i h

p x A =≤∑ (1,2,...,)k m =

0,1,2,...i x = (1,2,...,)i m = (3)

式中：d R 为给定的收益率水平，其他符号意义同前。

因突出系统风险,加人证券多样化选择约束,考虑了交易费用、最小交易单位和资金约束,且卖空,模型是一个既带有不等式约束又带有等式约束的整数规划问题,所以其有效边界不是一条连续的曲线,而是分布在同一曲线段上的一些离散的点[10]。在模型(1)中赋予风险水平d β不同的取值,或者在模型(2)中赋予收益率水平d R 不同的取值,运用求解整数规划问题的有关方法,对模型进行求解计算,即可求得模型对应于各个不同的风险水平或各个不同的收益率水平的最优投资方案,以及相应的收益率极大值或风险极小值,进而确定模型的有效边界[11]。 由模型结果可知,在相应的假设条件下,只需知道初始财产,就知道该用多少用于风险投资,用多少用于无风险投资,这样就能获得最大投资收益。这里的唯一性是相对于特定的效用函数而言的,效用函数不同,则相应的最佳投资策略会发生改变，最佳投资收益也会随之而改变。

（四）结束语

本文研究了在金融市场上，投资者通过控制风险证券和无风险证券的投资比例份额()i u t ，在状态变量具有完全观测信息的情况下，使投资者期望的财富效用值最大。通过引入风险规避系数，得到了具有风险规避的最优反馈投资策略。还进一步研究了一种避险型效用函数，求出在风险极端厌恶情况下的最优反馈控制的解。前面研究了证券的最优投资组合问题，并没有考虑消费。而对家庭、个人而言，除投资决策外还有消费选择，投资者选择最优投资组合使自己的财富增加，并通过消费这些财富使自己的效用最大，接下来研究了债券和股票的最优投资组合及消费问题，并利用最优性原理补充推导了最优投资组合及消费问题的值

通过查阅文献，一般的HJB方程都是二阶偏微分方程，这类方程是很难求出解析表达式的，所以数值解法求其近似值还有待进一步探索。

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