高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解

1．(文)(2010·深圳市深圳中学)不等式(x－1)≥0的解集是(　　)

A．{x|x>1}　　　　　　        B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1且x＝－2}          D．{x|x≥1或x＝－2}

[答案]　D

[解析]　不等式化为或x＋2＝0，

∴x≥1或x＝－2，故选D.

(理)(2010·天津文，7)设集合A＝{x|x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|0≤a≤6}

B．{a|≤2，或a≥4}

C．{a|a≤0，或a≥6}

D．{a|2≤a≤4}

[答案]　C

[解析]　|x－a|<1⇒a－1∴a＋1≤1或a－1≥5，∴a≤0或a≥6.

2．(2010·湖南株洲二中)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a满足f(2a＋1)<1，则a的取值范围是(　　)

C.                      D. 

[答案]　D

[解析]　由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a＋1)<1，则－2<2a＋1<4，∴－3．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为(　　)

A．f(－a2)≤f(－1)

B．f(－a2)C．f(－a2)≥f(－1)

D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定

[答案]　A

[分析]　比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f(x)的单调性，再在单调区间内比较大小．

[解析]　由题意可得f ′(x)＝x2－2x－.

由f ′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.

当x<－1时，f(x)为增函数；当－1所以f(－1)是函数f(x)在上的最大值，

又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．

4．(2010·河北唐山)若a2＋b2>1，则下列不等式成立的是(　　)

A．|a|＋|b|>1                  B．|a＋b|>1

C．|ab|>1                      D．|a|>1且|b|>1

[答案]　A

[解析]　取a＝0，b＝2，排除C、D；取a＝－1，b＝1，排除B，故选A.

5．(2010·重庆南开中学)已知实数x满足x2＋x<0，则x2，x，－x的大小关系是(　　)

A．－xC．x2[答案]　D

[解析]　∵x2＋x<0，∴－1∴0又x2－(－x)＝x2＋x<0，

∴x2<－x，故x[点评]　可取特值检验，由x2＋x<0得－16．(文)(2010·河南南阳市调研)不等式>的解集为(　　)

A．{x|01}

C．{x|x>0}                      D．{x|x<1}

[答案]　B

[解析]　∵>，∴<0，

∴x(x－1)>0，∴x<0或x>1.

(理)(2010·重庆市)不等式>2－的解集是(　　)

A．{x|0C．{x|1}

[答案]　B

[解析]　  >2－，即>2－，

∴2－<0，∴0[点评]　a≥0时，|a|＝a；a<0时，|a|＝－a>a.由>2不要仅得出x<，应注意>2隐含x>0.

7．(2010·金华十校)已知f(x)＝，则f(x)>－1的解集为(　　)

A．(－∞，－1)∪(0，e)

B．(－∞，－1)∪(e，＋∞)

C．(－1,0)∪(e，＋∞)

D．(－1,0)∪(0，e)

[答案]　A

[解析]　不等式f(x)>－1化为

或，

∴>或x<－1，∴08．(文)(2010·山东肥城联考)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)

A．－3                      B．1

C．－1                      D．3

[答案]　A

[解析]　由题意：A＝{x|－1由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，选A.

(理)(2010·山东肥城联考)关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是(　　)

A．2                          B．1

C．0                          D．－1

[答案]　C

[解析]　方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故选C.

9．(2010·浙江杭州质检)设函数f(x)＝ln(x－1)(2－x)的定义域是A，函数g(x)＝ln(－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围是(　　)

A．a>3                      B．a≥3

C．a>                      D．a≥

[答案]　B

[解析]　由(x－1)(2－x)>0得：10得ax－2x>1，∴ax>2x＋1，其解集为B，∴A⊆B，∴a≥3.

[点评]　显然当02x＋1在(1,2)上不成立，∴a>1，在同一坐标系中作出y＝ax与y＝2x＋1的图象，要使A⊆B，须使y＝ax在(1,2)上的图象位于y＝2x＋1的上方，当a＝1时，y＝21＋1＝3，故a≥3.

10．(文)(2010·北京顺义一中月考)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是(　　)

A．[1,4]                      B．[2,4]

C．[3,4]                      D．[2,3]

[答案]　D

[解析]　对任意x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|＝|x2－3x＋4－(2x－3)|＝|x2－5x＋7|＝|(x－)2＋|＝(x－)2＋≤1成立，∴(x－)2≤，

∴2≤x≤3，因此选D.

(理)已知函数f(x )＝，g(x)＝，若g[f(x)]≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]                  B．(－∞，1]

C．[0,1]                      D．[－1,1]

[答案]　B

[解析]　①x≥0时，f(x)＝－x≤0，

∴g[f(x)]＝g(－x)＝1－(－x)＝1＋x；

②当x<0时，f(x)＝x2>0，

∴g[f(x)]＝g(x2)＝1＋x2；

∴g[f(x)]min＝g[f(0)]＝1，由g[f(x)]≥a恒成立，

得a≤1.

二、填空题

11．(文)(2010·芜湖十二中)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)是单调递增的，则不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集是________．

[答案]　(－∞，0)∪(2，＋∞)

[解析]　∵f(x)在(－∞，0)上单调增，f(x)是偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调减，

∵f(x)为偶函数，∴不等式f(x＋1)>f(1－2x)化为f(|x＋1|)>f(|1－2x|)

∴|x＋1|<|1－2x|，∴(x＋1)2<(1－2x)2，

∴x<0或x>2.

(理)已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．

[答案]　(－∞，1]

[解析]　原不等式化为①或②

它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．

12．若命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”为真命题，则实数x的取值范围是________．

[答案]　x<－1或x>

[分析]　本题解题时要注意，“∃a∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．

[解析]　令m(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，m(a)是关于a的一次函数，

∵命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”为真命题，

∴m(1)>0或m(3)>0，

即x2－x－2>0　①或3x2＋x－2>0　②，

由①得x<－1或x>2；由②得x<－1或x>.

所以，所求实数x的取值范围是x<－1或x>.

13．(2010·湖北黄冈)若规定＝|ad－bc|，则不等式log<0的解集为________．

[答案]　(0,1)∪(1,2)

[解析]　据题意＝|x－1|，

∴不等式log<0化为log|x－1|<0，

∴0<|x－1|<1，∴114．(2010·上海奉贤区调研)不等式|x|≥a(x＋1)对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是________．

[答案]　[－1,0]

[解析]　如图，当直线l逆时针旋转到与x轴重合时，直线l总在y＝|x|的图象的下方，∴－1≤a≤0.

三、解答题

15．(文)已知关于x的不等式： <1.

(1)当a＝1时，解该不等式；

(2)当a>0时，解该不等式．

[解析]　(1)当a＝1时，不等式化为<1，

化为<0，∴1解集为{x|1(2)a>0时， <1⇔<0

⇔(ax－2)(x－1)<0，

方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x1＝，x2＝1.

①当＝1即a＝2时，解集为∅

②当>1即0③当<1即a>2时，解集为{x|(理)(2010·山师大附中模考)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对一切实数x都成立．求实数a的取值范围．

[解析]　由已知：(x－a)⊗(x＋a)<1，

∴(x－a)(1－x－a)<1，

即a2－a－1令t＝x2－x，只需a2－a－1t＝x2－x＝2－，∵x∈R，∴t≥－.

∴a2－a－1<－，即4a2－4a－3<0，

解得：a∈.

16．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：

R(x)＝，

假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．

(1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？

(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

[解析]　依题意，G(x)＝x＋2

设利润函数为f(x)，则

f(x)＝

(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0

即x2－8x＋7<0，得1∴1当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，

∴5综上所述，要使工厂赢利，x应满足1(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6

故当x＝4时，f(x)有最大值3.6

而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2

所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．

17．已知函数f(x)＝x4＋bx3＋cx2＋dx＋e(x∈R)在x＝0和x＝1处取得极值．

(1)求d的值及b，c的关系式(用c表示b)，并指出c的取值范围；

(2)若函数f(x)在x＝0处取得极大值．

①判断c的取值范围；

②若此时函数f(x)在x＝1时取得最小值，求c的取值范围．

[解析]　(1)∵f ′(x)＝2x3＋3bx2＋2cx＋d，

又∵f ′(0)＝f ′(1)＝0，

∴，∴.

∵f ′(x)＝2x3－2(c＋1)x2＋2cx，

即f ′(x)＝2x(x－1)(x－c)，

∵f(x)在x＝0和x＝1处取得极值．

∴c≠0且c≠1，

即c的取值范围是{c∈R|c≠0且c≠1}．

(2)①∵f ′(x)＝2x(x－1)(x－c)，

∴若c<0.当x∈(c,0)时f ′(x)>0，当x∈(0,1)时，f ′(x)<0，∴f(x)在x＝0处取得极大值；

若00，∴f(x)在x＝0处取得极小值；

若c>1，当x∈(－∞，0)时f ′(x)<0，当x∈(0,1)时f ′(x)>0，∴f(x)在x＝0处取得极小值．

综上，若f(x)在x＝0处取得极大值，则c的范围为(－∞，0)．

②若c<0，当x∈(－∞，c)时f ′(x)<0，x∈(c,0)时f ′(x)>0，x∈(0,1)时f ′(x)<0，x∈(1，＋∞)时f ′(x)>0，∴函数f(x)只能在x＝c或x＝1处取得最小值．要使f(x)在x＝1处取得最小值，只要使得f(c)≥f(1)．

∴c4－＋c3＋e≥－＋c＋e.

∴c4－2c3＋2c－1≤0，即(c－1)3(c＋1)≤0.

∵c<0，∴－1≤c<0，即c的取值范围是[－1,0)．