第七讲 分数的拆分

第七讲 分数的拆分 在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草 书，后人称之为兰特纸草书。在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子 为 1 的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。 比如 7／8＝1／2＋1／4＋1／8， 有 人按兰特纸草书的记载这样解释：把 7 个面包平均分给 8 个人，不但每个人分的数量一 样多，而且每人分的块数也一样多。可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把 另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。这 有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。 例 1：把 11 根糖棒平均分给 12 个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且 要平均分。问：最少要切几刀？ 分析与解答： 方法一： 1．计算每人得到的根数：11÷12=11／12 根； 2．考虑一般的情况： 由于每人都得到 11／12 根，所以每根可以分成 12 份，才能使每人都得到一份。把 一根糖棒平均分成 12 份，需要切 11 刀，11 根糖棒最多就要切 11×11＝121 刀。 怎样才能减少切的刀数呢？ 3．考虑每根切的段数与 12 的关系。 每人得的块数要尽量少，才能使切的刀数少。由于每人都得到 11/12 根，所以也可 以说若干个分数的和一定是 11/12。这几个分数在相加时，通分后分母是 12，通分前分 母必是 12 的约数，即每根糖棒在平均分时，切出的段数一定是 12 的约数。 若每根平均分成 2 段，需要 1 刀，每段长 1/2，即 6/12； 若每根平均分成 3 段，需切 2 刀，每段长 1/3，即 4/12； 若每根平均分成 4 段，需切 3 刀，每段长 1/4，即 3/12； 若每根平均分成 6 段，需切 5 刀，每段长 1/6，即 2/12； 若每根平均分成 12 段，需切 11 刀，每段长 1/12。 4．把 1/12、2/12、3/12、4/12、6/12 通过枚举的方法组成 11/12。 （1）11/12=6/12＋4/12＋1/12=1/2＋1/3＋1/12； （2）11/12=6/12＋3/12＋2/12=1/2＋1/4＋1/6； （3）11/12=4/12＋4/12＋3/12=1/3＋1/3＋1/4。 每人得 3 块。 5．切糖棒： 根据第一个等式可以有第一种切法： 把一根糖棒平均分成 2 份时，需切 6 根，即有 12 个 1/2；把一根糖棒平均分成 3 份时，需切 4 根，即有 12 个 1/3；把一根糖棒平均分成 12 份时，需切 1 根，即有 12 个 1/12。 这种切法共切了 1×6＋2×4＋1×11=25 刀。 根据第二个等式可以有第二种切法： 把一根糖棒平均分成 2 份时，需切 6 根，即有 12 个 1/2；把一根糖棒平均分成 4 份时，需切 3 根，即有 12 个 1/4；把一根糖棒平均分成 6 份时，需切 2 根，即有 12 个 1/6。 这种切法共切了：1×6＋3×3＋5×2=25 刀。 根据第三个等式可以有第三种切法： 把一根糖棒平均分成 3 份时，需切 4×2=8 根，即有 24 个 1/3；把一根糖棒平均分 成 4 份时，需切 3 根，即有 12 个 1/4。 这种切法共切了：2×8＋3×3=25 刀。 所以，把 11 根糖棒平均分给 12 个人，最少应切 25 刀。 （切法不同，为什么切的刀 数相同呢？） 方法二：整体考虑。 如果把 12 根糖棒连接起来，它将成为一个整体。因为每人至少分到 3 段糖棒，所 以用 12 根糖棒连接的这个整体就要被分成 3×12=36 段，需要切 35 刀。 实际上 11 根糖棒是存在的。如果这个整体平均分成 11 小根，需要切 10 刀，这样， 不论哪种切法都要切 35－10=25 刀。 例 2：在 1/6=1/（ 分析与解答： 如果两个括号内的自然数都已经填出， 那么从式子的左边往右边看， 是分数的拆分； 从右边往左边看，则是分数的加法。可见分数的拆分求解过程与分数的加法过程刚好相 反。分数加法的计算步骤主要是：通分、合并、约分，因此分数的拆分可以按先扩分， 再拆分，最后约分的步骤来做。 ）＋1/（ ）的括号中填入适当的整数使等式成立。 1 1 3+ 2 = = .......扩分 6 2 × 3 2 × 3 × (3 + 2) 3 2 = + ..............拆分 2 × 3× 5 2 × 3× 5 1 1 = + ...............................约分 10 15 这里关键是第一步的扩分，3＋2 是怎么得来的呢？为了下一步能约分成单位分数， 扩分时所乘的数应是分母 6 的两个约数之和。如： 1 1× (1 + 3) 1 + 3 1 3 1 1 = = = + = + 6 6 × (1 + 3) 6 × 4 6 × 4 6 × 4 24 8 6 的约数有 1、2、3、6 四个，从中任取两个求和，有以下六种情况： （1）1＋2； （2）1＋3； （3）1＋6； （4）2＋3； （5）2＋6； （6）3＋6。 由于 1、2 与 3、6 成相同的倍数关系，所以第（1）种与第（6）种对应的拆分结果 是一样的。同理，第（2）种与第（5）种对应的拆分结果也是一样的。所以，从这六种 情况可以得到四种拆分结果： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + = + 6 9 18 8 24 7 42 10 15 如果所取两个约数相同时，则可得到 1 1 1 = + 。 6 12 12 由上面的计算过程可以总结出把一个单位分数拆分成两个单位分数之和的方法是： （1）扩分：把单位分数 1/A 的分子、分母同乘在 A 的任意两个约数之和； （2）拆分：把所得分数拆成两个分数之和，使两个约数分别成为两个分数的分子； （3）约分：把所得的两个分数约成最简分数。 这种类型的题目都可以这样推导，但过程较繁琐，若能找到一个公式，将所有的拆 法都包括在内就好了，下面我们就试一试。 因为 d (n + d ) ? n n+d n 1 1 = = ? = ? n( n + d ) n( n + d ) n( n + d ) n ( n + d ) n n + d 1 1 d 1 d = + = + 2 ， 要想写成题目要求的形式， 必是 n 2 的 d n n + d n( n + d ) n + d n + n × d 1 1 d 1 d = + = + 2 （ d 是 n2 n n + d n( n + d ) n + d n + n × d 所以 约数， 这样就推导出了这类题目的拆变为 的约数，且 d ≤ n ） 。 本题的又一解法是： 6 的小于 6 的约数有 1、2、3、4、6 共五种， d 分别为 1、2、3、4、6。 当 d =1 时， 1 1 1 1 1 = + 2 = + ； 6 6 + 1 6 + 6 × 1 7 42 2 当 d =2 时、3、4、6 时，请同学们自己做一做。 例 3：将 2/3 拆分成两个单位分数之和的形式。 分析与解答： 令 2 1 1 1 1 1 = + ，则 = + 。由上题结论，我们不难得到： 3 a b 3 2a 2b 2 2a = 3 + d , 2b = 3 × (3 + d ) ÷ d ，d 为 3 的约数且 d ≤3。 所以，d =1 时， a =4， b =12， 2 2 推出 a =2，b =6， 所以 2 1 1 2 1 1 = + ；d =3 时， a =6， b =6， 2 2 推出 a =3，b =3， 所以 = + 。 3 2 6 3 3 3 4 4 并非所有的真分数都能分解成两个单位分数和的形式，比如 。但是 可以拆分成 5 5 4 1 1 1 4 1 1 1 三个单位分数和的形式： = + + ，于是数学家们希望用公式表达 = + + ， 5 2 4 20 n a b c 这看似简单的问题至今却尚未解决。 例 4：在 1/（ ）＋1/（ ）＋1/（ ）＋1/（ ）＋1/（ ）＋1/（ ）=1 的括 号中填入互不相同的自然数，使等式成立。 分析与解答： 1 1 1 本题要填的数字较多，不可能一一去试，但我们知道像 + + = 1 等这样一些简 2 3 6 单的算式。在此基础上，若将其中一项再拆成两个单位分数和的形式，符合要求的单位 分数就会逐渐增多。 方法一： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = 1 ，利用例 2 的方法可得到 = + ， = + ， = + ，所以 2 3 6 3 4 12 6 7 42 4 5 20 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1。 2 5 20 12 7 42 1 1 1 请同学们试一试 + + = 1 怎样拆分。 2 4 4 方法二： 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = ，所以 + = ，因此 + + = ，所以 + + + + + = 1 。 3 6 2 2 4 4 9 18 12 4 3 6 4 9 18 12 方法三： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1 ，即 + + + + + = 1 。现有六 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 2 6 12 20 30 6 1 1 个分数单位，但 重复了，若将 再拆变成两个单位分数，就又多了一个数，所以先合 6 6 1 1 1 1 1 1 = + ，因此有 并其中的两个分数，再拆另一个即可。如 ＋ = ， 6 6 3 30 40 120 1 1 1 1 1 1 + + + + + =1。 2 3 12 20 40 120 因为 利用这种方法，同学们一定还能写出很多种答案，自己试一试。 上面我们研究了 1 1 1 = + ，把一个分数拆变成若干个单位分数和的形式，如果拆成 a b c 差的形式该怎么办呢？请看下面的例题。 例 5：计算 1 1 1 1 1 1 + + + + ... + + 。 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 19 × 20 20 × 21 分析与解答： 此题如果用通分的方法进行计算，太复杂了。有没有更简单的解法呢？ 方法一： 利用“欲进先退”的思想，把前面几个分数加起来试一试，看看有什么规律。 1 1 = 1× 2 2 1 1 1 1 2 + = + = 1× 2 2 × 3 2 6 3 1 1 1 2 1 3 + + = + = 1× 2 2 × 3 3 × 4 3 12 4 1 1 1 1 3 1 4 + + + = + = 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 4 20 5 由上面四个算式不难看出： 所以， 1 1 1 1 n + + + ... + = 。 1× 2 2 × 3 3 × 4 n × (n + 1) n + 1 1 1 1 1 1 1 20 + + + + ... + + = 。 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 19 × 20 20 × 21 21 方法二： 利用列项的方法，我们先对每一个分数进行变形、分拆。 1 2 ?1 2 1 1 1 = = ? = ? 1 × 2 1× 2 1 × 2 1× 2 1 2 1 3? 2 3 2 1 1 = = ? = ? 2×3 2×3 2×3 2×3 2 3 1 4?3 4 3 1 1 = = ? = ? 3× 4 3× 4 3× 4 3× 4 3 4 …… 1 21 ? 20 21 20 1 1 = = ? = ? 20 × 21 20 × 21 20 × 21 20 × 21 20 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 原式= ? + ? + ? + ? + ... + ? + ? = ? = 。 1 2 2 3 3 4 4 5 19 20 20 21 1 21 21 本题每个分数的分母都可以写成相邻两个自然数乘积的形式，分子都是 1，通过变 形，拆分成两个分数差的形式，使得部分分出现一加一减相互抵消的形式，从而使计算 简化，我们把这种方法称为裂项法。 由方法二可以归纳出一般表达式： 1 1 1 = ? 。当分母不能写成两个相邻 n × (n + 1) n n + 1 1 1 1 1 = ×( ? )。 n × (n + d ) d n n + 1 自然数的乘积时，有更一般的表达式： 其实对于形如 m 1 2 3 4 （m 是自然数） 的分数， 最小的是 ， 接下去依次是 ， ， ， …。 m +1 2 3 4 5 这列分数有这样一个性质：任取这列分数中的一个分数，加上 1，再减去它后面紧接着 的那个分数，所得的差还是一个形如 m 的分数。 m +1 1 1 1 1 1 例 6：计算 + + + + 。 1× 4 4 × 7 7 × 10 10 × 13 13 × 16 方法一： 直接利用例 5 总结出的规律解答。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 原式= × (1 ? ) + × ( ? ) + × ( ? ) + × ( ? ) + × ( ? ) 3 4 3 4 7 3 7 10 3 10 13 3 13 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × (1 ? + ? + ? + ? + ? + ) 3 4 4 7 7 10 10 13 13 16 16 1 1 = × (1 ? ) 3 16 1 15 = × 3 16 5 = 16 方法二： 裂项的主要目的是为了消项，根据这一点，本题还可以这样做： 1 3 1 3 1 3 5 = 1? ， 我 们 把 写成 减某个分数的形式，有 = ? ；同理 1× 4 4 4× 7 4 4× 7 4 7 1 5 7 1 7 9 1 9 11 = ? ， = ? ， = ? 。 7 × 10 7 10 10 × 13 10 13 13 × 16 13 16 3 3 5 5 7 7 9 9 11 原式= 1 ? + ? + ? + ? + ? 4 4 7 7 10 10 13 13 16 =1－ = 5 16 11 16 例 7：算式 2 3 4 100 + + + ... + 1× (1 + 2) (1 + 2) × (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) × (1 + 2 + 3 + 4) (1 + 2 + ... + 99) × (1 + 2 + ... + 100) 计算化简后得到一个最简分数，求分母与分子之差。 分析与解答： 我们先根据算式的特点对每个算式进行分拆。 2 1 1 = ? 1× (1 + 2) 1 1 + 2 3 1 1 = ? (1 + 2) × (1 + 2 + 3) 1 + 2 1 + 2 + 3 4 1 1 = ? (1 + 2 + 3) × (1 + 2 + 3 + 4) 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 …… 100 1 1 = ? (1 + 2 + ... + 99) × (1 + 2 + ... + 100) 1 + 2 + ... + 99 1 + 2 + ... + 100 1 1 1 1 1 1 所以原式：= ( ? )+( ? )+( ? ) + ... 1 1+ 2 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 1 ( ? ) 1 + 2 + ... + 99 1 + 2 + ... + 100 1 =1 ? 1 + 2 + 3 + ... + 100 5049 = 5050 最后的结果，分母与分子的差是 5050－5049=1。 例 8：计算 1 + 分析与解答： 这个题的分母是从 1 开始的连续若干个自然数的和， 我们可以利用等差数列求和公 式，将每项的分母转化为相邻两个自然数乘积的一半，从而得到一个变形公式： 1 1 1 + + ... + 。 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + ... + 10 1 1 2 = = 1 + 2 + 3 + ... + n 1 + n × n n × (n + 1) 2 这样就可以将每一项都变成一个分子是 2，分母为相邻两个自然数乘积的形式，从 而可以用裂项法解题。 原式= 2 2 2 2 2 + + + ... + + 1× 2 2 × 3 3 × 4 9 × 10 10 × 11 1 1 1 1 1 + + + ... + + ) = 2× ( 1× 2 2 × 3 3 × 4 9 × 10 10 ×11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 × (1 ? + ? + ? + ? ... + ? + ? ) 2 2 3 3 4 4 9 10 10 11 1 =2×（ 1 ? ） 11 9 =1 11 练 习 题 七 1．求出下列各分数所有形如 1 1 + 的表达式，其中 a、b 为非 0 自然数： a b 1 1 1 1 、 、 、 5 11 4 16 1 1 1 1 1 2．求出 、 、 所有形如 ? 的表达式，其中 a、b 为非 0 自然数。 7 10 12 a b 4 4 4 4 + + + 。 3．计算 1× 6 6 × 11 11× 16 16 × 20 3 27 69 129 207 303 417 549 4．计算 + + + + + + + 。 4 28 70 130 208 304 418 550 5．计算 2×4＋4×6＋6×8＋…＋18×20＋20×22＋22×24。 1 1 1 1 6．计算 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 。 6 12 20 420 1 1 1 1 7．2002 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……一直减去余下的 2 3 4 2002 为止，问：是后剩下多少？ 8．A、B、C 是三个互不相同的自然数，并且满足： 1 1 1 5 + + = ，求 A + B + C 。 A B C 6 9．从下面的分数中找出 10 个来，使它们的和为 1（不许重复） ： 1， 1 1 1 1 ， ， ， ，…… 2 3 4 5 1 1 1 1 1 10．有九个单位分数的和等于 1，其中的五个是 、 、 、 和 ，其余四个分 3 7 9 11 33 数的分母的个位数均是 5，请写出这四个单位分数。 练习题七参 1 1 1 1 1 1． = + = + ； 5 10 10 30 6 1 1 1 1 1 = + = + 11 22 22 132 12 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + 4 8 8 12 6 20 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + = + 16 32 32 48 24 80 20 272 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2． = ? = ? = ? = ? = ? 7 6 42 10 5 10 6 15 8 40 9 90 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? 12 6 12 8 24 9 36 10 60 11 132 4 8 3 4 19 3． ； 25 17 4． 7 ； 25 5．2288； 6． 210 7．1； 8．18； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9． + + + + + + + + + = 1 （答案不唯一） ； 2 6 10 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 10． 。 5 15 45 385 19 ； 42