2008年高考理科数学试题及参(北京卷)

一、选择题（本大题共8小题，共0分）

1．（2008北京理1）已知全集，集合，那么集合等于（    ）

A.        B. 

C.        D. 

【答案】D

【解题关键点】 CB=[-1, 4]，＝

【结束】

2．（2008北京理2）若，，则（    ）

A.        B.            C.            D. 

【答案】A

【解题关键点】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0.

【结束】

3．（2008北京理3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（    ）

A.充分而不必要条件            B.必要而不充分条件

C.充分必要条件                D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题关键点】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

【结束】

4．（2008北京理4）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（    ）

A.圆        B.椭圆        C.双曲线        D.抛物线

【答案】 D

【解题关键点】把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义

【结束】

5．（2008北京理5）若实数满足则的最小值是（    ）

A.0        B.1        C.        D.9

【答案】 B

【解题关键点】 解出可行域的顶点，带入验证。

【结束】

6．（2008北京理6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（    ）

A.        B.        C.        D. 

【答案】C

【解题关键点】由已知＝+＝ -12，＝+＝－24, = + = -30

【结束】

7．（2008北京理7）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（    ）

A.           B.        C.        D. 

【答案】C

【解题关键点】 方法一、过圆心M作直线：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。

方法二、明白N点后，用图象法解之也很方便

【结束】

8．（2008北京理8）如图，动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，则函数的图象大致是（    ）

A． B. C. D.

【答案】 B

【解题关键点】 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。

【结束】 

二、填空题（本大题共6小题，共0分）

9．（2008北京理9）已知，其中是虚数单位，那么实数＿＿

       .

【答案】-1

【解题关键点】a－2ai－1＝a－1－2ai＝2i，a=－1

【结束】高考基本得分点。

10．（2008北京理10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为＿＿＿＿

 .

【答案】 0

【解题关键点】 利用数形结合知，向量a与2a+b垂直。

【结束】

11．（2008北京理11）若展开式的各项系数之和为32，则＿＿＿其展开式中的常数项为＿＿＿.（用数字作答）

【答案】 5  10

【解题关键点】 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C＝10.

【结束】

12．（2008北京理12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则＿＿＿＿  ＿＿＿＿（用数字作答）

【答案】2  -2

【解题关键点】 f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.

【结束】

13．（2008北京理13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：

①；    ②；    ③.

其中能使恒成立的条件序号是         

【答案】 ②

【解题关键点】 函数显然是偶函数，其导数y’=2x+sinx在0【结束】

14．（2008北京理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，

表示非负实数的整数部分，例如，.

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为＿＿＿＿ ；第2008棵树种植点的坐标应为＿＿＿＿＿＿

  .

【答案】 (1,2)  (3, 402)

【解题关键点】T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。

【结束】

三、解答题（本大题共6小题，共0分）

15．（2008北京理15）

已知函数（）的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围.

【答案】（Ⅰ）

.

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

因为，

所以，

所以，

因此，即的取值范围为.

【结束】

16．（2008北京理16）

如图，在三棱锥中，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；              

（Ⅲ）求点到平面的距离.

【答案】解法一：（Ⅰ）取中点，连结.

，

.

，

.                                                     

， 

平面.

平面，

.

（Ⅱ），，

.

又，

.

又，即，且，

平面.

取中点.连结.

，.

是在平面内的射影，

.

是二面角的平面角.

在中，，，

.

二面角的大小为.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面.

过作，垂足为.

平面平面，

平面.

的长即为点到平面的距离.

由（Ⅰ）知，又，且，

平面.

平面，

.

在中，，

.

.

点到平面的距离为.

解法二：

（Ⅰ），，

.

又，

.

，

平面.

平面，

.

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则.

设.

，

，.

取中点，连结.

，，

，.

是二面角的平面角.

，，

.

二面角的大小为.

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离.

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系.

，

点的坐标为.

.

点到平面的距离为.

【结束】

17．（2008北京理17）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列.

【答案】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，

即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.

（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.

（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务，

则.

所以，的分布列是

【结束】

18．（2008北京理18）.已知函数，求导函数，并确定的单调区间.

【答案】

.

令，得.

当，即时，的变化情况如下表：

在上单调递减.

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减.

【结束】

19．（2008北京理19）

已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1.

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）由题意得直线的方程为.

因为四边形为菱形，所以.

于是可设直线的方程为.

由得.

因为在椭圆上，

所以，解得.

设两点坐标分别为，

则，，.

所以.

所以的中点坐标为.

由四边形为菱形可知，点在直线上， 

所以，解得.

所以直线的方程为，即.

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以.

所以菱形的面积.

由（Ⅰ）可得，

所以.

所以当时，菱形的面积取得最大值.

【结束】

20．（2008北京理20）

对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

.

对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；

又定义.

设是每项均为正整数的有穷数列，令.

（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，.

【答案】（Ⅰ）解：，

，

；

，

.

（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，

则为，，，

从而

.

又，

所以

，

故.

（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列.

当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，

则.

当存在，

则.

所以.

从而对于任意给定的数列，由

可知.

又由（Ⅱ）可知，所以.

即对于，要么有，要么有.

因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有.

即存在正整数，当时， 

【结束】