极坐标与参数方程练习.

1．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是

θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+-=.

21, 233t y t x （t 为参数）。(1)求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；

(2)若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。2．已知椭圆C 的极坐标方程为,sin 4cos 312

2

22

θ

θρ+=

点21,F F 为其左，右焦点，直线l 的参数方程为)(222

22R t t t y t x ∈⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+=为参数，．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求点21,F F 到直线l 的距离之和.

3．已知直线l 的参数方程是)(24222

2

是参数t t y t x ⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧+==

，圆C 的极坐标方程为4cos(2πθρ+=．(1)求圆心C 的直角坐标；

(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

4．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,

:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩

（t 为参数,0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正

半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=

，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；

（Ⅱ）若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．5．在极坐标系中，曲线2

:sin 2cos L ρθθ=，过点αα)(,5(A

直线l ，且l 与曲线L 分别交于C B ,两点.

(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线

l 的普通方程；(2)求||BC 的长.

6．极坐标系中，点M 坐标是),,

3(π曲线C 的方程为sin(22π

θρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．

(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；

(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．

7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t

y t

a x ,3⎩⎨

⎧=+

=.在极坐标系（与直角坐标系xOy

取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.(1)求圆C 在直角坐标系中的方程；(2)若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.

8．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为),3

,2(π

半径P r ,1=在圆C 上运动。(1)求圆C 的极坐标方程；

(2)在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段

OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

9．已知极坐标系下曲线C 的方程为θθρsin 4cos 2+=，直线l 经过点)4,2(πP ，倾斜角3

πα=.(1)求直线l 在相应直角坐标系下的参数方程;

(2)设l 与曲线C 相交于两点B A 、，求点P 到B A 、两点的距离之积.10．已知圆1O 的极坐标方程为4cos ρθ=．点A 的极坐标是(2,)π.

(1)把圆1O 的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点A 的极坐标化为直角坐标．

(2)点),(00y x M 在圆1O 上运动，点(,)P x y 是线段AM 的中点，求点P 运动轨迹的直角坐标方程．

11．在直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为2

3,22x t y ⎧=-

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=．(1)求圆C 的直角坐标方程；

(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,．若点P 的坐标为)5,3(，求PA PB +与PA PB -．

12．已知B A ,两点是椭圆14

92

2=+y x 与坐标轴正半轴的两个交点.

(1)设2sin ,y αα=为参数，求椭圆的参数方程；

(2)在第一象限的椭圆弧上求一点,P 使四边形OAPB 的面积最大，并求此最大值.

13．设直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角6

πα=，(1)写出直线l 的参数方程；

(2)设直线l 与圆42

2

=+y x 相交与两点B A ,.求点P 到B A ,两点的距离的和与积.14．直角坐标系xOy 中,过点3

,3(P 作倾角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,.(1)写出直线l 的参数方程；(2)求

|

|1

||1PN PM +

的取值范围.15．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩

⎪

⎨

⎧-=+=

t x t

y 232

5t (为参数）

。在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C

的方程为ρθ=。

(1)求圆C 的直角坐标方程；

(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P

的坐标为，求||||PB P A +。

16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕ

sin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，

x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点3

,

1(M 对应的参数3πϕ=

，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3

,1(πD ．(1)求曲线21,C C 的方程；(2)若点),(1θρA ，)2,(2π

θρ+

B 在曲线1

C 上，求22

2111ρρ+的值．17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：415

315x t y t ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

t (为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为cos(2π

θρ+

=

求直线l 被曲线C 所截的弦长．18．平面直角坐标系中，将曲线⎩

⎨⎧==αα

sin cos 4y x α(为参数)上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，

然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点x

,

的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为,sin 4θρ=求1C 和2C 公共弦的长度．

19．经过)010(M 作直线l 交曲线C ：⎩

⎨⎧==θθ

sin 2cos 2y x （θ为参数）于A 、B 两点，若MB AB MA ,,成等比数

列，求直线l 的方程.

20．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2

2

121x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求MN C 2∆的面积.21．已知曲线1C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，

（θ为参数），曲线2C

：1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）．

（1）指出21,C C 各是什么曲线，并说明1C 与2C 公共点的个数；

（2）若把21,C C 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线''21,C C ．写出'

'21,C C 的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和1C 与2C 公共点的个数是否相同？说明你的理由．

极坐标与参数方程练习答案

1．解：（1）由直线的参数方程消去参数t 得l ：033=+-y x ，则l 的一个方向向量为)3,3(=，设)1,33(t t P +

-，则)1,33(t t OP +-=，又a OP ⊥，则023)233(3=++

-t t ，得：32

3

=t ，

将323=

t 代入直线l 的参数方程得)343,43(-P ，化为极坐标为)3

2,23(πP 。（2）θρρθρcos 4cos 42

=⇒=，

由2

2

2

y x +=ρ及θρcos =x 得4)2(2

2

=+-y x ，

设)0,2(E ，则E 到直线l 的距离2

5=d ，则2

1

min

=

-=r d MN

。2．【解析】（Ⅰ）直线l 普通方程为2y x =-；

………………………………3分

曲线C 的普通方程为22

143

x y +

=．……………6分

（Ⅱ）∵1(1,0)F -,2(1,0)F ，…………………7分

∴点1F 到直线l 的距离1,2

d =

=

…………………8分

点2F 到直线l 的距离22

d ==

………………9分

∴12d d +=……………10分

3．解：（I）θθρsin 2cos 2-= ，

θρθρρsin 2cos 22-=∴，

…………（2分）02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆，

…………（3分）

即122(22(22=++-

y x ，)2

2

,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分）（II）直线l 上的点向圆C 引切线长是

6224)4(4081)242

222()2222(

2222≥++=++=-+++-t t t t t ，…………（8分）

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是6

2…………（10分）

4．解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为,022

2

=-+y y x 曲线3C 的直角坐标方程为,0322

2

=-+x y x 联立方程组，解得).3

,3(

),0,0(（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的

极坐标为,)αα．

所以2sin AB αα=-4in()3s π

α=-，当56

πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．

5．【解】（Ⅰ）由题意得，点A 的直角坐标为()3,4(1分)

曲线L 的普通方程为：x y 22

=（3分）直线l 的普通方程为：1-=x y （5分）

（Ⅱ）设B （11,y x ）C （22,y x ）

⎩⎨

⎧-==1

22x y x y 联立得0142

=+-x x 由韦达定理得421=+x x ，121=⋅x x （7分）

6．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是 135，…………（1分）

∴直线l 参数方程是⎩⎨⎧+==

135

sin 3135cos t y t x ，即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2232

2

，………（3分）4

sin(22π

θρ+

=即2(sin cos )ρθθ=+，两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）

（2）⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧+=-

=t y t x 2232

代入02222=--+y x y x ，得0

3232=++t t ∵06>=∆，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分）设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ，∴||||MB MA ⋅3||21==t t ．

………………（10分）

7．解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得2

4cos ρρθ=，…………２分结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨

=⎩得224x y x +=，即22

(2) 4.

x y -+=…………５分

（Ⅱ）由直线l

的参数方程()x a t y t

⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数

化为普通方程，得，0x a -=.…………７分

结合圆C 与直线l

2=，解得26a =-或.

8．解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为),(θρ，由余弦定理得3

cos(22212

2

2

πθρρ-

⋅-+=所以圆的极坐标方程为03)3

cos(42

=+-

-π

θρρ…………………（5分）（Ⅱ）设),(y x Q 则)2,2(y x P ，P 在圆上，则Q 的直角坐标方程为

4

123(21(22=-+-y x …………………（10分）

9．解：（Ⅰ）圆的标准方程为2

2

16

x y +=……2分

直线l 的参数方程为2cos 3

2sin 3x t y t ππ

⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

，即12222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）

……5分

（Ⅱ）把直线的方程12222

x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22

16x y +=，

得22

1(2)(2)1622

t +

++=

，21)80t t ++-=……8分

所以128t t =-，即=8

PA PB ⋅……10分．

10．【解】（Ⅰ）由4cos ρθ=得2

4cos ρρθ=，将cos x ρθ=，2

2

2

x y ρ=+代入可得

224x y x +=．圆1O 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=，

圆1O 的直角坐标参数方程可写为22cos ,

2sin .

x y αα=+⎧⎨

=⎩点A 的极坐标是(2,)π，

由cos x ρθ=，sin y ρθ=知点A 的直角坐标为（－2，0）.

（Ⅱ）点M（x y 00，）在圆1O 上运动，所0022cos ,

2sin .

x y αα=+⎧⎨

=⎩点(,)P x y 是线段AM 的中点，所以02222cos cos 22

x x α

α-+-++=

==，

0002sin sin 22

y y α

α++=

==，所以，点P 运动轨迹的直角坐标参数方程是cos ,sin .

x y αα=⎧⎨

=⎩即点P 运动轨迹的直角坐标方程是2

2

1x y +=.

11．解：(Ⅰ)由ρ=

sin θ，得ρ2=

2sin θ，∴x 2+y 2=

,所以5)5(5)552(2

2

2

2

=-+⇒=+-+y x y y x ．

(Ⅱ)直线的一般方程为03553=-+-⇔-=-y x y x ，容易知道P 在直线上，又5)55(32

2

>-+，所以P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到：)25,1(),15,2(--B A ，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=23222=+.

同理，可得PA PB -=

．

12．解：（1）把2sin y α=代入椭圆方程，得224sin 194

x α

+=，

于是

()22291sin 9cos x αα=-=，即

3cos x α=±………………（3分）

由参数α的任意性，可取3cos x α=，

因此，椭圆1492

2=+y x 的参数方程是3cos 2sin x y αα

=⎧⎨=⎩（α为参数）………（5分）（2）由椭圆的参数方程，设()3cos ,2sin 02P πααα⎛

⎫<< ⎪⎝

⎭

易知A(3,0),B(0,2)，连接OP

,

1132sin 23cos 224OAPB OAP OBP S S S πααα∆∆⎛

⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭……（9分）

当4π

α=

，即322P ⎛ ⎝时，……………………………（11分）(

)max OAPB S =………………………………（12分）

13．解：（Ⅰ）依题意得，

直线l 的参数方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=t y t x 21123

1①4分

（Ⅱ）由①代入圆的方程42

2=+y x 得

02)13(2=-++t t ….………………6分

由t 的几何意义21,t PB t P A ==，因为点P 在圆内，这个方程必有两个实根，所以

2

),13(2121-=+-=+t t t t ……………………8分

21221214)(t t t t t t PB P A -+=-=+＝8)13(2++＝3212+………10分

221=∙=∙t t PB P A ………12分14．解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+=ααsin 23cos 2

3t y t x t (为参数）……………4分

（Ⅱ）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=ααsin 23cos 2

3t y t x t (为参数）代入122=+y x ，得

02)sin 3cos 3(2

=+++t t αα，

3

6

)6

sin(0>

+

⇒>∆π

α(

]

3

,26

sin(32)sin 3cos 3(1111212121∈+=+=+=+=+παααt t t t t t PN PM 10分

15．解：

（1）由ρθ=

得2

2

0,x y +-=

即2

2

( 5.x y +=-----3分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22

22(3))522

t t -

+=

即240,t -+=由

于24420∆=-⨯=>，设12,t t 是上述方程的两实根，

所以12124

t t l P t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线过点故由上式及t 的几何意义得：

|PA |+|PB |=12|t |+|t |=12t +t

=分

16．解：（I）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨

⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

==3sin

2

33cos 1ππb a ，即⎩⎨⎧==12b a ，

所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕ

ϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或122

=+y x .设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或2

2

2

)(R y R x =+-).将点),

1(πD 代入θρcos 2R =,得cos 21π

R =,即1=R .(或由),

1(π

D ,得23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ),

所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(2

2

=+-y x .（II）因为点),(1θρA ，2

,(2π

θρ+

B 在在曲线1

C 上,所以

1sin cos 221221=+θρθρ,1cos sin 22

2222=+θρθρ,所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1

1

222

222

21=+++=+θθθθρρ.17．【解析】：将方程415

315x t y t

⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩

(t 为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3分

将方程ρ

cos(θ+

4

π

)化为普通方程得，x 2+y 2-x+y=0，……………6分它表示圆心为(

12，-12

)，半径为2

的圆，…………………………9分则圆心到直线的距离d=

1

10

，……………………………10分弦长为

275

=．……………………12分18．解：曲线⎩⎨⎧==αsin y α

cos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，

横坐标变为原来的一半得到⎩

⎨⎧==αy α

x sin cos 2，

然后整个图象向右平移1个单位得到⎩

⎨⎧=+=α

y αx sin 1

cos 2，

最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩

⎨⎧=+=αy αx sin 21

cos 2，

所以1C 为4)1(2

2

=+-y x ，又2C 为θρsin 4=，即y y x 42

2

=+，

1C ∴和2C 公共弦所在直线为,0342=+-y x )0,1(∴到0342=+-y x 距离为∴,25

公共弦长为114

542=-．19．解：直线l 的参数方程：⎩⎨⎧=+=α

α

sin cos 10t y t x （t 为参数），…………①

曲线C ：⎩⎨

⎧==θ

θsin 2cos 2y x 化为普通方程为42

2=+y x ，…………②

将①代入②整理得：06)cos 10(22=++t t α，设A 、B 对应的参数分别为21,t t ，

⎩⎨

⎧==+6

cos 102-2121t t t t α，由MB AB MA ,,成等比数列得：212

21)t -(t t t =，624-cos 402=∴α，23cos ±

=α，3

3

±=k ，直线l 的方程为：103+±=y x 20．解：（Ⅰ）,

sin ,cos θρθρ==y x 1C ∴的极坐标方程为2,2cos C -=θρ的极坐标方程为0

4sin 4cos 22=+--θρθρρ（Ⅱ）将4

πθ=

代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ，得,04232

=+-ρρ解得2,2221==ρρ,221=-=∴ρρMN 2C 的半径为.2

145sin 1221,12=⨯⨯⨯=

∴∆ MN C S 21．解：（1）C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为2

2

x y 4+=，圆心C 1（0，0），半径r=2．C 2的普通方程为x-y-1=0．因为圆心C 1到直线x-y+1=0

的距离为22

<，所以C 2与C 1有两个公共点．

（2）拉伸后的参数方程分别为C 1′：2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数）；C 2

′：1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，

（t 为参数）

化为普通方程为：C 1′：

22

1416

x y +=，C 2′：22x y =+

联立消元得2

2230x x --=其判别式028)3(244>=-⨯⨯-=∆，

所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然有两个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同