抽象函数专题

一、定义域问题

1、若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 

2、已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。

3、已知函数的定义域为[3，27]，求函数f(x)的定义域     

4、若函数的定义域为,则函数的定义域为

二、赋值问题

1、已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。

2、对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=___

3、若

4、定义R上的函数满足：

5、对任意整数函数满足：，若，则

三、解析式问题

1、设对满足的所有实数x，函数满足，求f（x）的解析式。

2、满足：求

3、设为偶函数，为奇函数，又试求的解析

4、若一次函数满足：，求

四、单调性问题

1、设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

2、f(x)对任意实数x与y都有,当x>0时,f(x)>2

（1）求证:f(x)在R上是增函数； 

3、已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集.

4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.

(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；

（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。

5、定义在上函数对任意的正数均有：，且当时，,（）求的值;（）判断的单调性,

6、若非零函数对任意实数均有，且当时，；

（1）求证：  ；（2）求证：为减函数  

7、设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x>0时，0（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，f（x）>1；

（2）求证：f（x）在R上单调递减；

五、奇偶性问题

1、已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。

2、已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。

3、设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。

4、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． 

 (1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

5、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). 

   (1)求f(0)，f(1)的值；           (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

6、定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是___________________.

7、已知函数是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是

8、定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且。

（1）求f（0）的值；

（2）试判断f（x）的奇偶性；