万有引力分类题型大全

开普勒第一定律

A．1天到4天之间     B．8天到12天之间    C．4天到8天之间      D．12天到16天之间

【练习2】2016年8月16日凌晨1时40分,由我国科学家自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在酒泉卫星发射中心成功发射。量子卫星的轨道半径为R0,周期为T0 ， 地球静止轨道卫星对应的半径和周期为R和T，则下列关系式正确的是（   ）

A .     B .  C .   D .

圆轨道以半径算，椭圆轨道以半长轴算，若等长则周期相等

轨道交点处的加速度相等（）

向心加速度不等(，v不等)

【练习1】地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．冬至这天南半球离太阳最近，夏至最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是（   ） 

A．地球公转速度是不变的 B．冬至这天地球公转速度大 C．夏至这天地球公转速度大 D．无法确定

【练习2】关于行星的运动说法正确的是（    ） 

A．行星半长轴越长，自转周期越大     B．行星半长轴越长，公转周期越大 

B．水星半长轴最短，公转周期最大     D．冥王星半长轴最长，公转周期最大

【练习3】如图所示,一颗行星和一颗彗星绕同一恒星的运行，轨道Ⅰ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C、D为两轨道交点。以下说法正确的是(   )

A .彗星和行星经过C点时受到的万有引力相等

B .彗星和行星绕恒星运动的周期相同

C .彗星和行星经过P点时的加速度大小相等

D .彗星和行星经过P点时的向心加速度大小相等

【练习4】如图所示，一颗卫星在近地轨道1上绕地球做匀速圆周运动，轨道1的半径可近似等于地球半径，卫星运动到轨道1上A点时进行变轨，进入椭圆轨道2，其远地点B离地面的距离为地球半径的2倍，已知地球的密度为ρ，引力常量为G，求：

（1） 卫星在轨道1上做圆周运动的周期；

（2） 卫星在轨道2上从A点运动到B点所用的时间。

万有引力推导

万有引力定律     引力常量G=6.67×10－11N·m2/kg2

自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。r是球心之间的距离

适用条件

(1)当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点

【练习1】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较（    ） 

A.  地球与月球间的万有引力将变大       

B．地球与月球间的万有引力将减小 

C．月球绕地球运动的周期将变长         

D．月球绕地球运动的周期将变短

*割补法

【练习1】如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小球体的球心和大球体球心间的距离是R/2，求该剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力。

*球壳原理

质量均匀分布的球壳对球壳内部物体的引力为零。

【练习1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，已知质量均匀分布的球壳对球壳内部内部物体的引力为零。一矿井深度为d．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）

【练习2】一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k．设地球的半径为R．假定地球的密度均匀．已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d．

【练习3】假设地球的密度均匀，挖一过地心的长直通道。已知质量均匀分布的球壳对球壳内部内部物体的引力为零。一物体在地表处通道口释放到达地心的过程中加速度如何变化？

【练习4】如果一个人从地表一直往下掉，要多久才能到地心？(提示：证明它是简谐振动，用单摆的周期公式)

重力是万有引力的一个分力

因为地球的自转，万有引力要提供向心力

随地球自转所需的向心力，地球两极为0，赤道处最大

重力加速度g的值在地球两极最大，赤道处最小

9.78～9.82m/s2

这个向心力很小，近似认为

星球表面处重力加速度

H高度处重力加速度

地球赤道处，地球两极处

【练习1】因为地球的自转，同一物体在不同的纬度重力不同，一质量为m的物体在北极时的重力与其在赤道时的重力的差为F. 将地球看做质量分布均匀的球体，半径为R. 则地球的自转周期是（   ）

A .    B .  C .  D .

【练习2】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0 ， 赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G．则地球的密度为（    ）

A .    B .  C . D .

地球半径R=6371km≈00km

行星和卫星 万有引力提供向心力

→，，，

行星或卫星轨道半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大

【练习1】已知金星绕太阳公转的周期小于木星绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看做匀速圆周运动，则可判定(　　)

A．金星到太阳的距离大于木星到太阳的距离

B．金星运动的速度小于木星运动的速度

C．金星的向心加速度大于木星的向心加速度

D．金星的角速度小于木星的角速度

【练习2】a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是（    ）

A．a、b的线速度大小之比是 ∶1       B．a、b的周期之比是1∶2 

C．a、b的角速度大小之比是3 ∶4      D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4

【练习3】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2A．Ek2T1         C．Ek2>Ek1，T2Ek1，T2>T1

黄金代换

选择题特别是有根号的，代入公式检验更快，如代入

【练习1】我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星500”的实验活动。假设王跃登陆火星后，测得火星半径是地球半径的 1/2 ，质量是地球质量的 1/9 。已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是（ ）

A .火星的密度为      B .火星表面的重力加速度是 

C .火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 2:3

D .王跃以在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是 

【练习2】“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻它们分别位于轨道上的A，B两位置，如图所示，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力，以下判断正确的是（   ）

A .这两颗卫星的向心加速度大小为     

B .这两颗卫星的角速度大小为 

C .卫星1由位置A运动至位置B所需时间为 

D .如果使卫星1 加速，它就一定能追上卫星

地球同步卫星公转T=24h

地球同步卫星高度

【练习1】有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示。则下列说法正确的是（   ）

A .a的向心加速度小于地表重力加速度g

B .b在相同时间内转过的弧长最长

C .c在4h内转过的圆心角是 π/6

D .d的运动周期有可能是23h

【练习2】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火，实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道上，然后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道，如图所示，已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g.

（1） 求出卫星在近地点A的加速度大小a；

（2） 求出远地点B距地面的高度h2；

天体质量和密度

（常用R表示天体半径，r表示卫星与天体中心距离）

(球体体积，密度)

1.在中心天体表面或附近运动，万有引力近似等于重力，即

则(g表示天体表面的重力加速度)．

2.绕天体做匀速圆周运动的卫星，万有引力提供向心力

,,

，,

，，

3.近地轨道卫星，

,

，

高轨卫星r、v、T（ω）3个条件中有2个即可求天体的质量，加R可求密度

近地卫星r =R

高轨卫星求天体质量与R无关，近地卫星求密度与R无关

求天体质量都是2个条件，求天体密度高轨需3个条件（必有R），地面需2个条件（必有R）,近地1个条件（不需R）

【练习1】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)

A.     B.    C.    D.

【练习2】1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出(　　)

A．地球的质量     B．太阳的质量

C．月球的质量   D．可求月球、地球及太阳的密度

【练习3】我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭成功将名为“悟空”的暗物质粒子探 测卫星送入太空．若该卫星发射后在距地球表面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运 动，其运行的周期为 T，以 R 表示地球的半径，引力常量为 G.根据这些信息，可求出（    ）

A .该卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小为 B .地球表面的重力加速度大小为 

C .在地球上发射卫星的最小发射速度为    D .地球的平均密度为 

【练习4】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（    ）

A．1.8×103 kg/m3　　B．5.6×103 kg/m3　   C．1.1×104 kg/m3      D．2.9×104 kg/m3　

卫星变轨

卫星的轨道是椭圆形，卫星不需要燃料可在近地点和远地点之间运动，在远地点加速将做离心运动切换到更高的椭圆轨道，在近地点减速做向心运动可切换到更低的椭圆轨道

在高低轨道交点处，高轨道卫星速率大，低轨道卫星速率小（变轨就要加速减速）

【练习1】2013年12月15日4时35分，嫦娥三号着陆器与巡视器分离，“玉兔号”巡视器顺利驶抵月球表面。如图所示是嫦娥三号探测器携“玉兔号”奔月过程中某阶段运动示意图，关闭动力的嫦娥三号探测器在月球引力作用下向月球靠近，并将沿椭圆轨道在B处变轨进入圆轨道，已知探测器绕月做圆周运动轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，下列说法中正确的是（   ）

A .图中嫦娥三号探测器正减速飞向B处

B .嫦娥三号在B处由椭圆轨道进入圆轨道必须点火加速

C .根据题中条件可以算出月球质量

D .根据题中条件可以算出嫦娥三号受到月球引力的大小

【练习2】“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球．如图3所示是绕地飞行的三条轨道，1轨道是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道．A点是2轨道的近地点，B点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7 km/s，则下列说法中正确的是(　　)

A．卫星在2轨道经过A点时的速率一定大于7.7 km/s

B．卫星在2轨道经过B点时的速率一定小于7.7 km/s

C．卫星在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能

D．卫星在3轨道所具有的最大速率小于在2轨道所具有的最大速率

【练习3】如图所示，“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入半径为100 km、周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则(　　)

A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小

B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大

C．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上短

D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大

【练习4】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）

（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（    ）

A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力

B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力

C．飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度

D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度

（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（   ）

A．从较低轨道上加速    B. 从较高轨道上加速

C. 从同一轨道上加速    D. 从任意轨道上加速

轨道越高（不是离地高，因为有椭圆轨道），卫星的机械能越大

因为卫星只有加速，做离心运动（引力小于向心力），才能进入高轨道

同一轨道上后面卫星追赶前面卫星，只能先减速进入低轨道再加速进入高轨道

进入低轨道速度变快，周期变短

【练习1】某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆.由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2 ， 用EKl、EK2分别表示卫星在这两个轨道上的机械能，则 （   ）

A .  r1r2 ， EK1Ek2    D . r1>r2 ， EK1>EK2

双星

公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：

(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2

(2)两颗星的周期及角速度都相同，即

T1＝T2，ω1＝ω2

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L

(5)双星的运动周期

(6)双星的总质量公式

双星总质量公式和近地轨道卫星求天体质量公式相同

【练习1】天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的星体黑洞．星球与黑洞通过万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么(　　)

A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比       B．它们做圆周运动的周期与其质量成反比

C．它们做圆周运动的半径与其质量成反比         D．它们所受的向心力与其质量成反比

【练习2】如图所示,由A、B组成的双星系统，绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,其运行周期为T,A、B间的距离为L,它们的线速度之比 v1:v2 =2，则（  ）

A .AB角速度比为2：1             B .AB质量比为2:1

C .A星球质量为：    D .两星球质量为：

【练习3】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为 RA 、RB 且 RA < RB  ，引力常量G已知，则下列说法正确的是（   ）

A .星体A的向心力大于星体B的向心力

B .星球A的线速度一定大于星体B的线速度

C .星球A和星体B的质量之和为 

D .双星的总质量一定，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大

【练习4】物理学界最新的观测成果是引力波的发现，这对物理学的理论产生了重大的影响。引力波可认为是两个黑洞绕着共同的圆心做匀速圆周运动时产生的。如果观测到一对黑洞产生的引力波的频率为f（引力波的频率与两个黑洞做匀速圆周运动的频率相同），这对黑洞间的距离为L，万有引力常量为G，则可估算这对黑洞的总质量为M=________。

【练习5】天文学家们推测，超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域。在变化过程中的某一阶段如图甲所示，两个黑洞逐渐融入到新合并的星系并绕对方旋转，这种富含能量的运动产生了引力波。假设在合并前，两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，如图乙所示，若黑洞A、B的总质量为1.3×1032kg,球心间的距离为2×105m,产生的引力波周期和黑洞做圆周运动的周期相当，则估算该引力波周期的数量级为(G=6.67×10-11N.m2kg2)（     ）

A .10-7s    B .10-5s  C .10-3s   D .10-1s

【练习5】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的三颗星组成的三星系统。设三星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，三颗星的球心稳定分布在边长为a的等边三角形的三个顶点上。三颗星围绕等边三角形的重心做匀速圆周运动，已知引力常量为G。关于三星系统，下列说法正确的是（   ）

A .三颗星的轨道半径均为

B .三颗星表面的重力加速度均为

C .一颗星的质量发生变化，不影响其他两颗星的运动

D .三颗星的周期均为 

行星追及问题

2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：

，  

【练习1】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：

(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？

(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

【练习2】一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同.已知地球自转的角速度为 ω0 ，地球表面处的重力加速度为g.求：

（1） 该卫星所在处的重力加速度g′；

（2） 该卫星绕地球转动的角速度ω；

（3） 该卫星相邻两次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔 Δt .

【练习1】宇航员发现一未知天体，将星球的质量、密度等信息传回地面，字航员只有一块秒表和一个弹簧测力计，他站在星球上随显球转了一圈测得时间为 T0 ，又用弹簧秤测同一质量为m的物体的重力，在“两极”为F，在“赤道”上的读数是其“两极”处的90%，万有引力常量为G，求：

（1） 该显球的密度和质量；

（2） 当宇航员在该星球“赤道”上时，有一颗绕该星球表面附近匀速转动的行星，其转动周期为T，己知T< T0 ，若此时刚好在他的正上方，则过多久该行星再次出现在他的正上方?

宇宙速度

第一宇宙速度（又叫环绕速度）

推导过程为：由mg＝＝得：

v1＝ ＝＝7.9 km/s.

2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．

第二宇宙速度

第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝v1=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．

第三宇宙速度

第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

【练习1】美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒—22b”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于(　　)

A．3.3×103 m/s  B．7.9×103 m/s

C．1.2×104 m/s  D．1.9×104 m/s

【练习2】使物体成为卫星的最小发射速度称为第一字宙速度 v1 ，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度 v2、 v2与 v1的关系是，已知某星球半径是地球半径R的 1/3 ，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的1/6 ，地球的平均密度为 ρ ，不计其他星球的影响，则（   ）

A .该星球上的第一宇宙速度为     B .该星球上的第二宇宙速度为 

C .该星球的平均密度为               D .该星球的质量为 

【练习3】如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(   )

A .该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s

B .卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s

C .在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度

D .卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ

【练习4】中国航天科工集团虹云工程，将在2023年前共发射156颗卫星组成的天基互联网，建成后WiFi信号覆盖全球。假设这些卫星中有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T0/16 ，（T0为地球的自转周期），已知地球的第一宇宙速度为v，地球表面的重力加速度为g，则该卫星绕地球做匀速圆周轨道半径为(   )

A.   B.     C.    D.

【练习5】2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片如图所示。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸（光速为c）。若黑洞的质量为M，半径为R，

引力常量为G，其逃逸速度公式为  。如果天文学家观测到一天体以速度v绕某黑洞做半径为r的匀速圆周运动，则下列说法正确的有（   ）

A .                B . 

C .该黑洞的最小半径为   D .该黑洞的最大半径为