2020年10月全国自考线性代数试题及答案解析

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A是4阶矩阵，则|-A|=（　　　）

A．-4|A|    B．-|A|

C．|A|    D．4|A|

2．设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（　　　）

A．（2A）T=2AT    B．（3A）-1=3A-1

C．[（AT）T]-1=[（A-1）-1]T    D．（AT）-1=A

3．设2阶方阵A可逆，且A-1=，则A=（　　　）

A．    B．

C．    D．

4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（　　　）

A．α1，α2，α1+α2    B．α1，α2，α1-α2

C．α1-α2，α2-α3，α3-α1    D．α1+α2，α2+α3，α3+α1

5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（　　　）

A．（2，0，0）    B．（-3，2，4）

C．（1，1，0）    D．（0，-1，0）

6．设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（　　　）

A．0    B．1

C．2    D．3

7．设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b（　　　）

A．无解    B．有唯一解

C．有无穷多解    D．解的情况不能确定

8．在R3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（　　　）

A．（-1，0，1）    B．（-1，0，1）

C．（1，0，-1）    D．（1，0，1）

9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（　　　）

A．    B．

C．    D．

10．二次型f(x1,x2,x3)=的秩等于（　　　）

A．0    B．1

C．2    D．3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

    请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．行列式=__________.

12．设矩阵A=，则AAT=__________.

13．设矩阵A=，则行列式|A2|=__________.

14．设向量组α1=（1，-3，α），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________.

15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________.

16．矩阵的秩等于__________.

17．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，又已知k1α1+k2α2也是Ax=b的解，则k1+k2=__________.

18.已知P-1AP=,其中P=，则矩阵A的属于特征值=-1的特征向量是__________.

19．设A为n阶方阵，已知矩阵E-A不可逆，那么矩阵A必有一个特征值为__________.

20．实对称矩阵A=所对应的二次型xTAx=__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

21．计算行列式D=的值.

22．设矩阵A=，B=，求矩阵方程XA=B的解X.

23.设t1,t2,t3为互不相等的常数，讨论向量组α1=（1，t1,）, α2=（1，t2,）, α3=（1，t3,）的线性相关性. 

24.求线性方程组的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

25．设矩阵A=.

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；

（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使    P-1AP=D.

26．设

（1）确定α的取值范围，使f为正定二次型；

（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵.

28．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.