复数的基本概念和几何意义

1、考点、热点回顾

1.复数的有关概念

（1）复数

①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.

②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.

注意：复数m＋ni的实部、虚部不一定是m、n，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部.

（2）复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集.

②表示：通常用大写字母C表示.

2.复数的分类

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）

（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

3.复数相等的充要条件

设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.

注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.

（2）只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.

（3）由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.

4.复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

5.复数的两种几何意义

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）.

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量.

6.复数的模

复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝.

注意：复数a＋bi（a，b∈R）的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.

二、典型例题

考点一、复数的概念

例1、下列命题：

①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；

④实数集是复数集的真子集.

其中正确的是（　　）

A.①　　　　　　B.②            C.③             D.④

【解析】　对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.

【答案】　D

变式训练1、1.对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（　　）

A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数

B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－2

C.若b＝0，则a＋bi为实数

D.i的平方等于1

解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；

对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；

对于D，i的平方为－1.故选C.

2.若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为（　　）

A.1      B.1或－4

C.－4      D.0或－4

解析：选C.易知解得a＝－4.

考点二、复数的分类

例2、已知m∈R，复数z＝＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，

（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？

【解】　（1）要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

（2）要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

（3）要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.

变式训练2、当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是

（1）纯虚数；（2）实数.

解：（1）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数，则

解得m＝4.

（2）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是实数，则解得m＝－2或m＝－3.

考点三、复数相等

例3、（1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值；

（2）已知a2＋（m＋2i）a＋2＋mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值；

（3）若关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.

【解】　（1）由复数相等的充要条件，得解得

（2）因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0，可得解得或

所以a＝±.

（3）设方程的实根为x＝m，

则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，

所以解得a＝11或－.

变式训练3、已知A＝{1，2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.

解：由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），

所以    即

所以a＝－1.

考点四、复数与复平面内的点

例4、已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）.

（1）在实轴上；

（2）在第三象限.

【解】　（1）若对应的点在实轴上，则有

2a－1＝0，解得a＝.

（2）若z对应的点在第三象限，则有

解得－1变式训练4、求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点

（1）位于第二象限；

（2）位于直线y＝x上.

解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点就是点Z（a2＋a－2，a2－3a＋2）.

（1）由点Z位于第二象限，得

解得－2故满足条件的实数a的取值范围为（－2，1）.

（2）由点Z位于直线y＝x上，得

a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.

故满足条件的实数a的值为1.

考点五、复数与复平面内的向量

例5、（1）已知M（1，3），N（4，－1），P（0，2），Q（－4，0），O为复平面的原点，试写出，，，所表示的复数；

（2）已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；

（3）在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.

【解】　（1）表示的复数为1＋3i；表示的复数为4－i；表示的复数为2i；

表示的复数为－4.

（2）复数1对应的向量为，其中A（1，0）；复数－1＋2i对应的向量为，其中B（－1，2）；

复数－3i对应的向量为，其中C（0，－3）；复数6－7i对应的向量为，其中D（6，－7）.

如图所示.

（3）记O为复平面的原点，由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）.设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）.

由题知，＝，所以即故点D对应的复数为－3－2i.

变式训练5、在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是　　　　_____________.

解析：3－i对应向量为（3，－），与x轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为2.故所得向量对应的复数是－2i.

答案：－2i

考点六、复数的模

例6、（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝（　　）

A.1　　　　　　　　　　　    B. 

C.      D.2

（2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.

【解】　（1）选B.因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，

所以|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.

（2）法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），

则|z|＝，

代入原方程得a＋bi＋＝2＋8i，

根据复数相等的充要条件，得解得

所以z＝－15＋8i.

法二：由原方程得z＝2－|z|＋8i（*）.

因为|z|∈R，所以2－|z|为z的实部，

故|z|＝，

即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋，得|z|＝17.

将|z|＝17代入（*）式得z＝－15＋8i.

变式训练6、已知复数z＝3＋ai（a∈R），且|z|<4，求实数a的取值范围.

解：法一：因为z＝3＋ai（a∈R），所以|z|＝，

由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈（－，）.

法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB（除去端点）为动点Z（3，a）的集合，

由图可知－三、课后练习

1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为(　　)

A.    B.2    C.0    D.1

解析:由复数相等的充要条件知,

x+y＝０，ｘ－１＝０

故x+y=0.故2x+y=20=1.

答案:D

2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为(　　)

A.4    B.-1    C.-1或4    D.-1或6

解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,

所以得m=-1.

答案:B

3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.

解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.

答案:②③④

4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为(　　)

A.z=-2-i    B.z=2-3i    C.z=3+2i    D.z=-3-2i

解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.

答案:D

5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为(　　)

A.一个圆    B.线段    C.两点    D.两个圆

解析:∵|z|2-2|z|-3=0,

∴(|z|-3)(|z|+1)=0,

∴|z|=3,表示一个圆,故选A.

答案:A

6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.

解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,

所以=(-1,2),=(-2,-3).

又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),

所以对应的复数为-1-5i.

答案:-1-5i

7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,

(1)在虚轴上,求复数z;

(2)在实轴负半轴上,求复数z.

答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,

所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.

(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1

能力提升

8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.

解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,

即m≠sinθ+cosθ.

∵sinθ+cosθ∈[-,],

∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).

答案:(-∞,-)∪(,+∞)

9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.

解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0

即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.

答案:{a|a≠-1}

10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.

解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,

设z=-a+ai(a>0).

∵|z|=1,∴a2=.而a>0,

∴a=.∴z=

答案:z=

11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.

解析:设z=a+bi(a,b∈R),

则|z|=,

代入方程得,a+bi+=2+8i,

∴解得a=-15∴z=-15+8i.

答案:-15+8i

12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.

解析:M∪P=P,∴M⊆P,

即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,

得解得m=1;

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,

解得m=2.

综上可知m=1或m=2.

答案:m=1或m=2

13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.

解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),

则x=2+cosθ,y=1+sinθ

即cosθ=x-2,sinθ=y-1

所以(x-2)2+(y-1)2=1.

所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.

答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.

14． 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．

(1)若z是实数，求m的值；

(2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

答案: (1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.

(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝0.

(3)∵z所对应的点在第四象限，

∴解得－3