抽象函数的应用

抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

例1：定义在R上的函数，当时，，且对任意的，有，

（1）求证：；

（2）求证：对任意的，恒有；

（3）证明：是上的增函数；

（4）若，求的取值范围。

例2已知函数,在R上有定义，对任意的有且

（1）求证：为奇函数

（2）若， 求的值

例3已知函数对任意实数恒有且当， 

(1)判断的奇偶性；

(2)求在区间[－3,3]上的最大值；

(3)解关于的不等式

例4已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()

⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数； 

⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn); 

⑶求证

例5已知函数，满足：对任意都有；

（1）试证明：为N上的单调增函数；

（2），且，求证：；

（3）若，对任意,有，证明：.

例6已知函数的定义域为，且同时满足： (1)对任意，总有；(2)  (3)若且，则有.

()求的值；

()求的最大值；

()设数列的前项和为，且满足

例7对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．

(1) 若函数为理想函数，求的值；

(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；

(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．

例8已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若,且对任意正整数,有, ,求数列{an}的通项公式；

(Ⅲ)若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组合成新数列，具体法则如下： ……，求证：。

例9定义在R上的函数f（x）满足，且时，

f（x）<0。

（1）设，求数列的前n项和；

（2）判断f（x）的单调性，并证明。

例10设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x>0时，0（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，f（x）>1；

（2）求证：f（x）在R上单调递减；

（3）设集合，

，若，求a的取值范围。