北京市宣武区2005—2006学年度第一学期期末检测

高三数学（理科）2006.1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间为120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A∩(CUB)等于 （   ）

    A．{4，5}                        B．{2，4，5，7}

    C．{1，6}                        D．{3}

2．函数f (x) =的定义域是 （   ）

    A．{x | x > – 1}                    B．{x | x > 1}

    C．{x | x≥– 1}                    D．{x | x≥1}

3．在（0，2）内使sin x > cos x成立的x的取值范围是 （   ）

    A．（，）∪（，）        B．（，）

    C．（，）∪（，）        D．（，）

4．等比数列{an}中，a3 =，a9 = 8则a5 · a6 · a7的值为 （   ）

    A．            B．–             C．8            D．8或 – 8

5．定义：| a × b | = | a | · | b | · sin，其中为向量a与b的夹角，若| a | = 2，| b | = 5，a · b = – 6，则| a × b | =（   ）

    A．8            B．– 8            C．8或 – 8        D．6

6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△CDF、△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P – DEF中，必有 （   ）

    A．DM⊥平面PEF

    B．PM⊥平面DEF

    C．平面PDE⊥平面PEF

    D．平面PDE⊥平面DEF

7．若二项式（）n的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为 （   ）

    A．15            B．12            C．10            D．6

8．已知f (x)是R上的增函数，点A ( – 1，1)，B (1，3)在它的图象上，f  – 1(x)是它的反函数，那么不等式| f – 1(log2x) | < 1的解集为 （   ）

    A．{x | – 1 < x < 1}                B．{x | 1 < x < 3}

    C．{x | 2 < x < 8}                    D．{x | 0 < x < 3}

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

9．i是虚数单位，的虚部为___________．

10．函数f (x) = Asin(wx +) (A > 0，w > 0，|| <)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式为_____________________．

11．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别比例分层抽样且男生甲担任队长，则不同的抽样方法数是_______．（结果用数值表示）

12．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1 > 0，S16 > 0，S17 < 0，则当n = _______时，Sn最大．

13．四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则点O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体．所有正确命题的序号是____________________．

14．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文的26个字母a，b，c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见表格

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分12分）

    已知A、B、C三点的坐标分别是A (3，0)、B (0，3)、C (cos，sin)，其中<<．

   （Ⅰ）若|| = ||，求角的值；

   （Ⅱ）若·= – 1，求sin2的值．

16．（本小题满分13分）

    已知函数f (x) = x2 (ax + b)(a，bR)在x = 2时有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x + y = 0平行．

   （Ⅰ）求a，b的值；

   （Ⅱ）求函数f (x)的单调区间．

17．（本小题满分13分）

    已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．

   （Ⅰ）第一小组做了三次实验，记该小组实验成功的次数为，求的概率分布及数学期望；

   （Ⅱ）第二小组进行实验，到成功了四次为止．求在第四次成功之前共有三次失败的概率．

18．（本小题满分14分）

    如图，在矩形ABCD中，AB = 2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点．EP⊥平面ABCD．

   （Ⅰ）求证：AQ∥平面CEP；

   （Ⅱ）求证：平面AEQ⊥平面DEP；

   （Ⅲ）若EP = AP，求二面角Q – AE – P的大小．

19．（本小题满分14分）

    9个正数排成3行3列如下：

        a11  a12  a13

        a21  a22  a23

        a31  a32  a33

    其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a12 = 1，a23 =，a32 =．

   （Ⅰ）a11，及第一行的数所成等差数列的公差d1，每一列的数所成等比数列的公比q；

   （Ⅱ）若保持这9个正数不动，仍使每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，补做成一个n行n列的数表．

      a11  a12  a13 …… a1n

     a21  a22  a23 …… a2n

     a31  a32  a33 …… a3n

     … … … … … …

     an1  an2  an3 …… ann

     记Sn = a11 + a22 + … + ann，求Sn；

   （Ⅲ）若Sn为（Ⅱ）中所述，求的值．

20．（本小题满分14分）

定义在区间（0，+∞）上的函数f (x)满足：

   （1）f (x)不恒为零； （2）对任意aR+，bR，都有f (ab) = bf (a)．

   （Ⅰ）求f (1)的值；

   （Ⅱ）求证方程f (x) = 0有且只有一个实数根；

   （Ⅲ）若f (2) > 0，试证f (x)是（0，+∞）上的增函数．

参

1．A  2．B  3．D  4．D  5．A  6．C  7．B  8．C

9．– 3  10．f (x) = 2sin  11．840  12．8  13．①③  14．love

15解：（Ⅰ）∵A (3，0)、B (0，3)、C (cos，sin)，

           ∴= (cos– 3，sin)， = (cos，sin– 3)．

           ∵|| = ||，

           ∴||2 = ||2，

           ∴(cos– 3)2 + sin2 = cos2+ (sin– 3)2．

           ∴sin= cos．

           ∵<<，

           ∴=．            （6分）

   （Ⅱ）∵·= – 1，

         ∴cos (cos– 3) + sin (sin– 3) = – 1，

         ∴1 – 3(sin+ cos) = – 1，

         ∴sin+ cos=，

         ∴sin2= 2sincos

                = (sin+ cos)2 – 1 =．        （12分）

16．解：（Ⅰ）∵f (x) = x2 (ax + b) = ax3 + bx2，

∴(x) = 3ax2 + 2bx．

∵函数f (x)在x = 2时有极值，

∴(2) = 0，即12a + 4b = 0．            ①

∵函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x + y = 0平行，

∴(1) = – 3，即3a + 2b = – 3．        ②

由①②解得，a = 1，b = – 3．            （7分）

   （Ⅱ）(x) = 3x2 – 6x = 3x (x – 2)，

         令3x (x – 2) > 0，

         解得，x < 0或x > 2．

         令3x (x – 2) < 0，

         解得，0 < x < 2．

         ∴函数f (x)的单调递增区间为（，0）和（2，+∞），单调递减区间

为（0，2）．        （13分）

17．解：（Ⅰ）由题意，得

            P（= 0）=，

            P（= 1）=，

            P（= 2）=

            P（= 3）=．

∴的概率分布为

   （Ⅱ）第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，故所求概率

         P =·．        （13分）

18．解法一：

   （Ⅰ）在矩形ABCD中，∵AP = PB，DQ = QC，

∴AP CQ，

∴四边形AQCP为平行四边形，

∴CP∥AQ．

∵CP平面CEP，AQ平面CEP，

∴AQ∥平面CEP．            （4分）

   （Ⅱ）∵EP⊥平面ABCD，AQ平面ABCD，

∴AQ⊥EP．

∵AB = 2BC，P为AB中点，

∴AP = AD．

连结PQ，则ADQP为正方形，

∴AQ⊥DP．

∵EP∩DP = P，

∴AQ⊥平面DEP．

∵AQ平面AEQ，

∴平面AEQ⊥平面DEP．        （9分）

   （Ⅲ）过P作PQ⊥AE，垂足为O，连结OQ．

        ∵QP⊥AB，QP⊥EP，

又∵AB∩EP = P，

∴QP⊥平面AEP．

∴AQ⊥AE．

∴∠QOP为二面角Q – AE – P的平面角．

∵EP = AP =AB = PQ，

∴OP =．

在Rt△OPQ中，tan∠QOP =，

∴∠QOP = arctan，

即二面角Q – AE – P的大小为arctan．            （14分）

解法二：

   （Ⅰ）同解法一．        （4分）

   （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系P – xyz，设AD = a，PE = b，则

        A (a，0，0)，Q (0，a，0)，E (0，0，b)，D (a，a，0)．

        ∴= ( – a，a，0)， = (0，0，b)， = (a，a，0)．

∵·= 0，

∴AQ⊥PE．

∵·= 0，

∴AQ⊥PD．

又∵PE∩PD = P，

∴AQ⊥平面DEP．

∵AQ平面AEQ，

∴平面AEQ⊥平面DEP．                （9分）

   （Ⅲ）∵EP = AP，即a = b，

∴= (– a，0，a) ． 

设平面AEQ的法向量n = (x，y，z)．

∵· n = 0，· n = 0，

∴

∴

不妨设z = a，则n = (a，a，a)．

平面AEP的一个法向量为= (0，a，0)，

设n与的夹角为，则cos=．

∴二面角Q – AE – P的大小为arccos．        （14分）

19．解：（Ⅰ）由题设，得

        ∴                （5分）

   （Ⅱ）akk = a1k · qk – 1 = [a11 +(k – 1)d1] · qk – 1 = [] · ()k – 1 = k ·()k        ∴Sn = a11 + a22 + a33 +…+ ann

            =+ 2 · ()2 + 3 · ()3 + … + n · ()n，                    ①

        ∴Sn = ()2 + 2 · ()3 + 3 · ()4 + … + (n – 1) · ()n + n · ()n+1． ②

        ① – ②得， Sn =+()2 + ()3 + … +()n – n · ()n+1

                       =，

        ∴Sn = 2 –．            （10分）

   （Ⅲ）．    （14分）

20．（Ⅰ）解：∵f (ab) = bf (a)，

令a = 1，b = 2，

∴f (1) = f (12) = 2f (1)，

∴f (1) = 0．                （3分）

   （Ⅱ）证明：由（1）知，存在x0 (0，+∞)，使得f (x0)≠0，显然x0≠1．

        任取x1 (0，+∞)且x1≠1，则

        必存在实数q，使得x1 = x0q，q≠0．

        由（2）知f (x1) = f (x0q) = qf (x0)≠0，

        故f (x) = 0有且只有一个实数根x = 1．            （8分）

   （Ⅲ）证明：对任意的0 < x1 < x2 < +∞，

        存在实数p1，p2，使得x1= 2p1，x2 = 2p2，且p1 < p2，

        f (x1) – f (x2) = f (2p1) – f (2p2)

                  = p1f (2) – p2f (2)

                  = (p1 – p2) f (2) < 0，

        ∴f (x1) < f (x2)，

∴函数f (x)在(0，+∞)上单调递增．            （14分）