2020-2021学年山东省青岛市中考数学模拟试题及答案解析

一、选择题（本题共24分，共8小题，每小题3分）

1．2015的相反数是（　　）

A．    B．﹣    C．2015    D．﹣2015

2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

4．2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人．如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：

A．10.06秒，10.06秒    B．10.10秒，10.06秒

C．10.06秒，10.08秒    D．10.08秒，10.06秒

5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（　　）台．

A．3    B．4    C．5    D．6

6．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）

A．3.5    B．4    C．7    D．14

7．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（　　）

A．x≥﹣1    B．x≥3    C．x≤﹣1    D．x≤3

8．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：

①a＞0   ②2a+b=0  ③a+b+c＞0  ④当﹣1＜x＜3时，y＞0

其中正确的个数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

二、填空题（本题满分18分，共有6道题，每小题3分）

9．2014年抚顺市城区植树造林约为2030000株，将2030000这个数用科学记数法表示为　　　　　　．

10．分解因式：ab3﹣ab=　　　　　　．

11．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式　　　　　　；自变量的取值范围　　　　　　．

12．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是　　　　　　．

13．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是　　　　　　．

14．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，…，Pn﹣1Pn=2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为　　　　　　．

三、作图题（本题满分4分）

15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图，线段a，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=2a．

四、解答题（本题满分74分，共9道题）

16．（1）化简：÷

（2）解不等式组：．

17．小颖和小明用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小颖得2分，否则小明得1分．

这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？

18．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°．热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．

19．元旦假期，小明一家游览我市仓圣公园，公园内有一假山，假山上有条石阶小路，其中有两段台阶的高度如下图所示（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）．请你运用你所学习的统计知识，解决以下问题：

（1）把每一级台阶的高度作为数据，请从统计知识方面（平均数、中位数）说一下有哪些相同点和不同点？

（2）甲、乙两段台阶哪段上行走会比较舒服？你能用所学知识说明吗？

（3）为方便行走，公园决定修整这两段台阶，在不改变台阶数量的前提下，应该怎样修改会比较好（在下图上填一下）？并说明一下你的方案的设计思路？

20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？A，B两种型号车的进货和销售价格如表：

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

22．盐阜人民商场经营某种品牌的服装，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装．

（1）设该种品牌服装的销售单价为x元（x＞50），销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；

（2）若商场获得了6000元销售利润，该服装销售单价x应定为多少元？

（3）在（1）问条件下，若该商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？

23．【问题情境】

张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小林的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小兰的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，通过证明四边形PDFG是矩形，

可得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；

【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

如图④，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3、l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述的结论求出点M的坐标．

参与试题解析

一、选择题（本题共24分，共8小题，每小题3分）

1．2015的相反数是（　　）

A．    B．﹣    C．2015    D．﹣2015

【考点】相反数．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

【解答】解：2015的相反数是：﹣2015，

故选：D．

2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：C．

3．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】几何概率；平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质易得S△OEH=S△OFG，则S阴影部分=S△AOB=S平行四边形ABCD，然后根据几何概率的意义求解．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，

∴S△OEH=S△OFG，

∴S阴影部分=S△AOB=S平行四边形ABCD，

∴飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率==．

故选C．

4．2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人．如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：

A．10.06秒，10.06秒    B．10.10秒，10.06秒

C．10.06秒，10.08秒    D．10.08秒，10.06秒

【考点】众数；算术平均数．

【分析】根据众数和平均数的概念求解．

【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：9.99，10.06，10.06，10.10，10.19，

则众数为：10.06，

平均数为： =10.08．

故选C．

5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（　　）台．

A．3    B．4    C．5    D．6

【考点】圆周角定理．

【分析】根据∠A的度数，可求得∠A所对弧的度数，而圆的度数为360°，由此可求出最少要安装多少台同样的监控器．

【解答】解：设需要安装n（n是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n≥360°，

解得n≥，

∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．

故选A．

6．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）

A．3.5    B．4    C．7    D．14

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．

【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，

∴AB=28÷4=7，OB=OD，

∵E为AD边中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴OE=AB=×7=3.5．

故选A．

7．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（　　）

A．x≥﹣1    B．x≥3    C．x≤﹣1    D．x≤3

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】函数y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），求不等式﹣x+2≥ax+b的解集，就是看函数在什么范围内y=﹣x+2的图象对应的点在函数y=ax+b的图象上面．

【解答】解：从图象得到，当x≤3时，y=﹣x+2的图象对应的点在函数y=ax+b的图象上面，

∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．

故选D．

8．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：

①a＞0   ②2a+b=0  ③a+b+c＞0  ④当﹣1＜x＜3时，y＞0

其中正确的个数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．

【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；

②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；

③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；

④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．

故选C．

二、填空题（本题满分18分，共有6道题，每小题3分）

9．2014年抚顺市城区植树造林约为2030000株，将2030000这个数用科学记数法表示为　2.03×106　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将2030000用科学记数法表示为：2.03×106．

故答案为：2.03×106．

10．分解因式：ab3﹣ab=　ab（b+1）（b﹣1）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：ab3﹣ab，

=ab（b2﹣1），

=ab（b+1）（b﹣1）．

故答案为：ab（b+1）（b﹣1）．

11．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式　s=﹣3x2+24x　；自变量的取值范围　≤x＜8　．

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【分析】可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式．

【解答】解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米．

这时面积S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x．

∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8，

故答案为：S=﹣3x2+24x，≤x＜8．

12．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是　　．

【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．

【解答】解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，

∴∠ADC=120°，

∴∠1=∠2=60°，

∴△DAB是等边三角形，

∵AB=2，

∴△ABD的高为，

∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，

∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，

∴∠3=∠4，

设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，

在△ABG和△DBH中，，

∴△ABG≌△DBH（ASA），

∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=﹣．

故答案是：﹣．

13．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是　5　．

【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．

【分析】设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，则DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF2=AD2+DF2，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为=5．

【解答】解：设BE=x，则EC=4﹣x，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴=，即=，解得FC=，

∴DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3

当x=2时，DF有最小值3，

∵AF2=AD2+DF2，

∴AF的最小值为=5．

故答案为：5．

14．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，…，Pn﹣1Pn=2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为　（n2， n2）　．

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．

【分析】利用特殊直角三角形求出OPn的值，再利用∠AOB=60°即可求出点Qn的坐标．

【解答】解：∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，

∴∠AOC=30°，

又∵Pn﹣1Pn=2n﹣1，PnQn⊥OA，

∴OQn=（OP1+P1P2+P2P3+…+Pn﹣1Pn）=（1+3+5+…+2n﹣1）=n2，

∴Qn的坐标为（n2•cos60°，n2•sin60°），

∴Qn的坐标为（n2， n2）．

故答案为：（ n2， n2）．

三、作图题（本题满分4分）

15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图，线段a，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=2a．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】首先作BC=a，然后作BC的垂直平分线，截取AD=2a，连接AB，AC即可．

【解答】解：①作射线BE，在射线BE上截取BC=a，

②作BC的垂直平分线EF，交BC于点D，

③截取AD=2a，连接AB，AC，

则△ABC即为所求．

四、解答题（本题满分74分，共9道题）

16．（1）化简：÷

（2）解不等式组：．

【考点】分式的乘除法；解一元一次不等式组．

【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

【解答】解：（1）原式=•=；

（2），

由①得：x≥﹣2，

由②得：x≤，

则不等式组的解集为﹣2≤x≤．

17．小颖和小明用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小颖得2分，否则小明得1分．

这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？

【考点】游戏公平性．

【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．

【解答】解：画树状图得：

故一共有6种情况，配成紫色的有1种情况，相同颜色的有1种情况，

∴配成紫色的概率是，则得出其他概率的可能是：，

∵×2＜，

∴这个游戏对双方不公平，

若配成紫色，此时小颖得2分，配成相同颜色小明得2分，

∵配成相同颜色的概率是，

∴此时游戏公平．

18．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°．热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】过A作BC的垂线，设垂足为D．在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长；进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长；由BC=CD﹣BD即可求出楼的高度．

【解答】解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．

则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．

在Rt△ACD中，tan∠CAD=，

∴AD===80．                        

在Rt△ABD中，tan∠BAD=，

∴BD=AD•tan30°=80×=80．                  

∴BC=CD﹣BD=240﹣80=160．

答：这栋大楼的高为160米．

19．元旦假期，小明一家游览我市仓圣公园，公园内有一假山，假山上有条石阶小路，其中有两段台阶的高度如下图所示（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）．请你运用你所学习的统计知识，解决以下问题：

（1）把每一级台阶的高度作为数据，请从统计知识方面（平均数、中位数）说一下有哪些相同点和不同点？

（2）甲、乙两段台阶哪段上行走会比较舒服？你能用所学知识说明吗？

（3）为方便行走，公园决定修整这两段台阶，在不改变台阶数量的前提下，应该怎样修改会比较好（在下图上填一下）？并说明一下你的方案的设计思路？

【考点】方差．

【分析】（1）利用平均数计算公式、中位数解答即可；

（2）先求出方差，根据方差的大小再确定哪段台阶路走起来更舒服；

（3）要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小．

【解答】解：（1）将甲、乙两台阶高度值从小到大排列如下，

甲：10，12，15，17，18，18；乙：14，14，15，15，16，16；

甲的中位数是：（15+17）÷2=16，平均数是：（10+12+15+17+18+18）=15；

乙的中位数是：（15+15）÷2=15，平均数是：（14+14+15+15+16+16）=15；

故两台阶高度的平均数相同，中位数不同；

（2）= [（10﹣15）2+（12﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（18﹣15）2]=，

= [（14﹣15）2+（14﹣15）2+（15﹣15）2+（15﹣15）2+（16﹣15）2+（16﹣15）2]=，

∵乙台阶的方差比甲台阶方差小，

∴乙台阶上行走会比较舒服；

（3）修改如下：

为使游客在两段台阶上行比较舒服，需使方差尽可能小，最理想应为0，同时不能改变台阶数量和台阶总体高度，

故可使每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．

20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？A，B两种型号车的进货和销售价格如表：

【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利不少于33000元，由条件表示出33000与a之间的关系式，进而得出答案．

【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得：

=，

解得：x=1600．

经检验，x=1600是原方程的根．

答：今年A型车每辆售价1600元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，由题意，得

a+（60﹣a）≥33000，

解得：a≤30，

故要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进30辆．

21．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．

【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；

（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．

【解答】（1）证明：∵DF∥BE，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

∵O为AC的中点，

∴OA=OC，

∵AE=CF，

∴OA﹣AE=OC﹣CF，

即OE=OF，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：

证明：∵△BOE≌△DOF，

∴OB=OD，

∵OD=AC，

∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，

∴四边形ABCD为矩形．

22．盐阜人民商场经营某种品牌的服装，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装．

（1）设该种品牌服装的销售单价为x元（x＞50），销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；

（2）若商场获得了6000元销售利润，该服装销售单价x应定为多少元？

（3）在（1）问条件下，若该商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）直接利用销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装得出y与x值间的关系；

（2）利用销量×每件利润=6000，进而求出答案；

（3）利用销量×每件利润=总利润，再利用该商场要完成不少于350件的销售任务得出x的取值范围，进而得出二次函数最值．

【解答】解：（1）由题意可得：y=400﹣10（x﹣50）=900﹣10x；

（2）由题意可得：（x﹣40）=6000，

整理得：﹣10x2+1300x﹣3600=6000，

解得：x1=60，x2=70，

答：服装销售单价x应定为60元或70元时，商场可获得6000元销售利润；

（3）设利润为W，则

W=﹣10x2+1300x﹣3600

=﹣10（x﹣65）2+6250，

∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，

900﹣10x≥350，

解得：x≤55，

∴当50＜x≤55时，W随x增大而增大，

∴当x=55时，W最大值=5250（元），

答：商场销售该品牌服装获得的最大利润是5250元．

23．【问题情境】

张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小林的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小兰的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，通过证明四边形PDFG是矩形，

可得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；

【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

如图④，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3、l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述的结论求出点M的坐标．

【考点】一次函数综合题．

【分析】【问题情境】利用小林或小兰的思路可以证明；

【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；

【结论运用】分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据△AMC和△AMB的面积和与差等于△ABC的面积，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标．

【解答】解：【问题情境】

如图②，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=AB•PD，S△ACP=AC•PE，S△ABC=AB•CF，

∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴AB•PD+AC•PE=AB•CF，

又AB=AC，

∴PD+PE=CF；

【变式探究】

如图3，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=AB•PD，S△ACP=AC•PE，S△ABC=AB•CF，

∵S△ABP﹣S△ACP=S△ABC，

∴AB•PD﹣AC•PE=AB•CF，

又∵AB=AC，

∴PD﹣PE=CF；

【结论运用】

由题意可求得A（﹣4，0），B（3，0），C（0，1），

∴AB=5，AC=5，BC=，OB=3，

当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P、Q，如图④，

则S△AMC=AC•MP，S△AMB=AB•MQ，S△ABC=OB•AC，

∵S△AMC+S△AMB=S△ABC，

∴AC•MP+AB•MQ=OB•AC，

即×5×MP+×5×1=×3×5，解得MP=2，

∴M点的纵坐标为2，

又∵M在直线y=﹣3x+3，

∴当y=2时，代入可求得x=，

∴M坐标为（，2）；

同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP﹣MQ|=OB，

可求得MP=4或MP=﹣2，即M点的纵坐标为4或﹣2，

分别代入y=﹣3x+3，可求得x=﹣或x=（舍，因为它到l1的距离不是1），

∴M点的坐标为（﹣，4）；

综上可知M点的坐标为（，2）或（﹣，4）．

2016年6月8日