全等三角形(知识点讲解)

一、目标认知

学习目标： 

　　1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

　　2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

重点： 

　　1. 使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式；

　　2 .三角形全等的性质和条件。

难点： 

　　1.掌握用综合法证明的格式；

　　2 .选用合适的条件证明两个三角形全等

二、知识要点梳理

知识点一：全等形

要点诠释： 

　　能够完全重合的两个图形叫全等形。

知识点二：全等三角形

要点诠释： 

　　能够完全重合的两个三角形叫全等三角形

知识点三：对应顶点，对应边，对应角

要点诠释： 

　　两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

知识点四：全等三角形的性质

要点诠释： 

　　全等三角形对应边相等，对应角相等

知识点五：三角形全等的判定定理（一）

要点诠释： 

　　三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”

知识点六：三角形全等的判定定理（二）

要点诠释： 

　　两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”

知识点七：三角形全等的判定定理（三）

要点诠释： 

　　两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”

知识点八：三角形全等的判定定理（四）

要点诠释： 

　　两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”

知识点九：直角三角形全等的判定定理

要点诠释： 

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”

三、规律方法指导

1.探索三角形全等的条件： 

　　（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角边(AAS);④边边边(SSS).

　　(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.

2．判别两个三角形全等指导

　　（1）已知两边

　　（2）已知一边一角

　　（3）已知两角

3．经验与提示： 

⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：　　 

　　① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

　　② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．

　　③ 有公共边的，公共边一定是对应边．

　　④ 有公共角的，公共角一定是对应角．

　　⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)

⑵找全等三角形的方法

　　①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

　　②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

　　③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

　　④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

⑶证明线段相等的方法： 

　　①中点定义；

　　②等式的性质；

　　③全等三角形的对应边相等；

　　④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。

⑷证明角相等的方法： 

　　①对顶角相等；

　　②同角（或等角）的余角（或补角）相等；

　　③两直线平行，同位角、内错角相等；

　　④等式的性质；

　　⑤垂直的定义；

　　⑥全等三角形的对应角相等；

　　　三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。

⑸证垂直的常用方法

　　① 证明两直线的夹角等于90°；

　　②证明邻补角相等；

　　③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；

　　④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

　　⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；

　　⑥邻补角的平分线互相垂直。

　　⑹全等三角形中几个重要结论

　　①全等三角形对应角的平分线相等；

　　②全等三角形对应边上的中线相等；

　　③全等三角形对应边上的高相等。

4.知识的应用

　　（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.

　　（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.

　　（3）用全等三角形测量距离的步骤：①先明确要解决什么实际问题；②选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；③说明理由.

5．注意点

　　（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.

　　（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边.

　　（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.

　　（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.

　　（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.

6.数学思想方法

　　（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.

　　（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.

　　（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等 

经典例题透析

类型一：全等三角形性质的应用　

　1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 

　　思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

　　解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC 和∠ADB是对应角.

　　总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.

　　已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

　　举一反三：

　　【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？

　　【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 

则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。

　　【变式2】如右图，，。

　　　　　　 求证：AE∥CF

　　【答案】

　　　　　　∴AE∥CF

　　2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

　　思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。

　　解析：在ΔABC中，

　 　　　 ∠ACB=180°-∠A-∠B，

　　　　　又∠A=30°，∠B=50°，

　　　　　所以∠ACB=100°.

　　　　　又因为ΔABC≌ΔDEF，

　　　　　所以∠ACB=∠DFE，

　　　　　BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。

　　　　　所以∠DFE=100°

　　　　　EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

　　总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。

　　举一反三：

　　【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.

　　　　　　 求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.

　　【答案】

　　(1）因为ΔACD≌ΔECD，

　　　　所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.

　　　　所以CD⊥AB.

　　(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,

　　　　所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠CFE+∠BFE=180°，

　　　　所以∠CFE=∠BFE=90°.

　　　　因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.

　　　　所以EF∥AC.

类型二：全等三角形的证明

　　3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE． 

　　思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得

　　解析：∵AC＝BD(已知)

　　　　　∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)

　　　　　即 AD＝BC

　　　　　在△ADF与△BCE中

　　　　　∴△ADF≌△BCE(SAS)

　　总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：

　　(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，

　　(2)证明这两个三角形全等；

　　(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．

　　举一反三：

　　【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC

　　【答案】∵AB∥CD

　　　　　　∴∠3＝∠4

　　　　　　在△ABD和△CDB中

　　　　　　∴△ABD≌△CDB(SAS)

　　　　　　∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)

　　　　　　∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)

　　【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．

　　　　　　 求证 AF＝DE．

　　【答案】∵EB⊥AD(已知)

　　　 　　 ∴∠EBD＝90°(垂直定义)

　　　　　　同理可证∠FCA＝90°

　　　　　　∴∠EBD＝∠FCA

　　　　　　∵AB＝CD，BC＝BC

　　　　　　∴AC＝AB+BC

　　　　　　　　＝BC+CD

　　　　　　　　＝BD

　　　　　　在△ACF和△DBE中

　　　　　　∴△ACF≌△DBE(S．A．S)

　　　　　　∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)

类型三：综合应用

　　4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD.

　　思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。

　　解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE

　　　　　因为AD为ΔABC的中线，

　　　　　所以BD=CD.

　　　　　在ΔACD和ΔEBD中，

　　　　　所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).

　　　　　所以BE=CA.

　　　　　在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.

　　总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

　　举一反三：

　　【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，

　　　　　　 求证：BD=2CE.

　　【答案】分别延长CE、BA交于F. 

　　　　　　因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.

　　　　　　在ΔBEF和ΔBEC中，

　　　　　　所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).

　　　　　　所以CE=FE=CF.

　　　　　　又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.

　　　　　　所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.

　　　　　　所以∠BDA=∠BFC.

　　　　　　在ΔABD和ΔACF中，

　　　　　　所以ΔABD≌ΔACF(AAS)

　　　　　　所以BD=CF.所以BD=2CE.

　　5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D， 

　　　　　　求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF

　　思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．

　　解析：

　　(1)在△ABE与△CDF中

　　　　∴△ABE≌△CDF(SAS)

　　　　∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)

　　(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)

　　　　∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)

　　(3)在△AEF与△CFE中

　　　∴△AEF≌△CFE(SAS)

　　　∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)

　　总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．

　　举一反三：

　　【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．

　　【答案】在△AGE与△BCE中

　　　　　　∴△AGE≌△BCE(SAS)

　　　　　　∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)

　　　　　　在△AFD与△CBD中

　　　　　　∴△AFD≌△CBD(SAS)

　　　　　　∴AF＝CB(全等三角形对应边相等)

　　　　　　∴AF＝AG(等量代换)

　　6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F． 

　　　　　　求证：AF平分∠BAC．

　　思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．

　　解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中

　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)

　　　　　∴AD=AE(全等三角形对应边相等)

　　　　　在Rt△ADF与Rt△AEF中

　　　　　∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)

　　　　　∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)

　　　　　∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)

　总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

　举一反三：

　　【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．

　　【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．

　　已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′

　　求证：△ABC≌△A′B′C′

　　证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中

　　　　　∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′(HL)

　　　　　∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)

　　　　　在△ABC与△A′B′C′中

　　　　　∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)

　　【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90° 求证：OC=OD

　　【答案】∵∠C=∠D=90°

　　　　　　∴△ABD、△ACB为直角三角形

　　　　　　在Rt△ABD和Rt△ABC中

　　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)

　　　　　　∴AD=BC

　　　　　　在△AOD和△BOC中

　　　　　　∴△AOD≌△BOC(AAS)

　　　　　　∴OD=OC．

　　7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G.. 

　　试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

　　思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径

　　解析：结论：DE+DF=CG

　　方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）

　　 　　　　作DM⊥CG于M

　　 　　　　∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG

　　 　　　　∴四边形EDMG是矩形

　　 　　　　DE=GM

　 　　　　　DM//AB

　　 　　　　∴∠MDC=∠B

　　 　　　　∵AB=AC

　 　　　　∴∠B=∠FCD

　 　　　　　∴∠MDC=∠FCD

　　 　　　　而DM⊥CG，DF⊥AC

　　 　　　　∴∠DMC=∠CFD

　　 　　　　在⊿MDC和⊿FCD中

　 　　　　　∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）

　 　　　　　MC=DF

　 　　　　　∴DE+DF=GM+MC=CG

　　总结升华：

　　方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）

　　总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

　　方法三（面积法）使用等积转化

　　引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明

　　举一反三：

　　【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。

　　【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法