2014届高三数学一轮复习专讲专练：2.6 指数与指数函数

巩固双基,提升能力

一、选择题

1．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为(　　)

A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D. 

解析：由题意有3a＝9，则a＝2，所以tan＝tan＝，故选D.

答案：D

2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞c＞b     B．a＞b＞c

C． c＞a＞b      D．b＞c＞a

解析：构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝x(x∈R)与y＝x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有x＞x，故＞，∴a＞c，故a＞c＞b.

答案：A

3．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　)

A．1个      B．2个  

C．3个      D．4个

解析：画出函数y1＝x和y2＝x的图像，如图所示．

由a＝b结合图像，可得a＜b＜0，或a＞b＞0，或a＝b＝0.

答案：B

4．(2013·济南质检)定义运算a⊗b＝则函数f(x)＝1⊗2x的图像大致为(　　)

　A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　D.

解析：由a⊗b＝得f(x)＝1⊗2x＝ 

答案：A

5．(2013·长春质检)若x∈[－1,1]时，22x－1＜ax＋1恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(，＋∞)      B．(，＋∞)

C．(2，＋∞)      D．(，＋∞)

解析：由22x－1＜ax＋1⇒(2x－1)lg2＜(x＋1)lga⇒x·lg－lg(2a)＜0.

设f(x)＝x·lg－lg(2a)，由x∈[－1,1]时，f(x)＜0恒成立，得⇒⇒a＞为所求的范围. 

答案：A

6．设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a，且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是(　　)

A．3c≥3b      B．3c＞3b

C．3c＋3a＞2     D．3c＋3a＜2

解析：画出f(x)＝|3x－1|的图像(如图)，

要使c＜b＜a，且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0，且a＞0.

由y＝3x的图像，可得0＜3c＜1＜3a.

∵f(c)＝1－3c，

f(a)＝3a－1，f(c)＞f(a)，

∴1－3c＞3a－1，即3c＋3a＜2. 

答案：D

二、填空题

7．

解析：

答案：－23

8．(2013·桐乡月考)函数y＝ax＋2 012＋2 012(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________．

解析：令x＋2 012＝0，则x＝－2 012，

此时y＝a0＋2 012＝1＋2 012＝2 013.

∴恒过定点(－2 012,2 013). 

答案：(－2 012,2 013)

9．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________．

解析：∵a＝＜1，

∴f(x)＝ax是递减函数．

由f(m)＞f(n)，得m＜n. 

答案：m＜n

三、解答题

10．(2013·银川质检)设a＞0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

解析：y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，由x∈[－1,1]知，

①当a＞1时，ax∈[a－1，a]，显然当ax＝a，

即x＝1时，ymax＝(a＋1)2－2，

∴(a＋1)2－2＝14，即a＝3(a＝－5舍去)；

②当0＜a＜1时，则由x∈[－1, 1]时，得ax∈，显然ax＝，

即x＝－1时，ymax＝2－2.

∴2－2＝14.

∴a＝.

综上所述，a＝，或a＝3.

11．(2013·南京模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.

(1)求函数g(x)的值域；

(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．

解析：(1)g(x)＝＋2＝|x|＋2，

因为|x|≥0，所以0＜|x|≤1，即2＜g(x)≤3.

故g(x)的值域是(2,3]．

(2)由f(x)－g(x)＝0，得2x－－2＝0.

当x≤0时，显然不满足方程．

即只有x＞0时，满足2x－－2＝0.

整理，得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，故2x＝1±.

因为2x＞0，所以2x＝1＋，即x＝log2(1＋)．

12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)；

(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围. 

解析：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得

结合a＞0，且a≠1，解得

∴f(x)＝3·2x.

(2)要使x＋x≥m在(－∞，1]上恒成立，

只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．

∵函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，

∴当x＝1时，y＝x＋x有最小值.

∴只需m≤即可．