高频考点透析及高考命题趋势分析

2010年高考数学试题分析

    2010年的数学高考，无论是教育部考试中心命制的试题，还是各省和直辖市自主命制试题，都很好的遵循2010年《考试大纲》所提出的命题准则。将知识、方法和能力融为一体，全面检测考生的数学素养。既考查了中学的知识与方法，又考查了学生的综合与应用的能力。

   基础与重点同行，思想与方法并重

   考试大纲中指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对支撑学科知识体系的重点内容要占较大比例，构成数学试题的主体。2010年试题很好的体现了这一要求。一方面试题对高中数学各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理作了较为全面的考查，知识点的覆盖率近三分之二，另一方面试题又突出考查了重点知识，使每章节的数学知识得以纵向发展，又使不同章节的知识之间相互交汇。我们知道数学思想方法蕴含在数学知识当中。它与数学知识的发展形成同步。它是数学知识的精髓，高考试题在考查数学知识的同时也对数学思想方法进行了全面的考查。

   从教育部考试重心命制的湖南、宁夏立刻试卷来看今年试题的特点。（试题见附页）

第（1）题考查了解简单的不等式、根式不等式同时考查了集合的基本运算；第（2）题考查了复数的概念与运算；第（3）题考查曲线切线的求解能力，考查导数几何意义的应用；第（4）题考查用函数图像描述运动，体现用函数思想求解问题的能力；第（5）题以函数性质为载体考查简单逻辑中命题真伪的判断能力；第（6）题考查二项分布、数学期望等的概率与统计的相关知识；第（7）题考查程序框图与数列知识；第（8）题以三次函数为背景考查函数与不等式的综合，检查考生数形结合的思想与方法；第（9）题是利用倍角公式解决三角式的半角求值问题，要求考生有较好的转化的技巧；第（10）题三棱柱与球的结合问题，它需要把空间图形转化为平面图形进行求解；第（11）题是分段函数、方程、不等式的综合问题；第（12）题是解析几何中的双曲线问题，考查学生用方程处理问题的策略。第（13）题是积分与统计相结合的试题，考查学生用概率与统计的思想处理实际问题的能力；第（14）题考查三视图，带有例题几何知识探索的味道；第（15）题考查直线与圆，充分体现用代数方法研究平面几何问题；第（16）题是三角形中的计算问题，它把三角问题与解析几何问题有机的进行结合；第（17）题是数列问题。此题涉及数列的递推关系、通项公式、求和问题，此题把非常规的数列经过加工转化为等比数列问题；第（18）题是一道例题几何问题。它在椎体中考查学生对空间解析几何关系的判断与度量，需要借用空间向量。解决垂直的证明与夹角的计算；第（19）题是一道应用问题，涉及到数据处理、性检验，考查学生是运用统计知识解决实际问题的能力；第（20）题是解析几何大题，涉及到数列知识、椭圆定义、椭圆方程椭圆性质、直线与圆锥曲线的关系等知识，考查学生的思维能力与计算能力；第（21）题是导数、函数、不等式的综合试题，用到分类讨论的思想方法；第（22）题平面几何试题，第（23）题是参数方程的试题；第（24）题是不等式问题（第（22）（23）（24）题三体任选其一）。试题既覆盖知识面广又重点突出，并且涉及到对所有的数学思想方法。

    深化能力立意，重视应用创新

对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用。尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中的能力，从而检测出考生的理性思维的广度和深度以及进一部学习的潜能。近几年的所有数学试题一直坚持能力立意，倡导理性思维，重视应用创新。

能力1：空想象能力。空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象和处理的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象。数学高考对空间想象能力提出了三个方面的要求：能根据条件做出正确的图形；根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换。会运用图形形象地揭示问题的本质。

【例题】一个四棱柱和一个三棱柱恰好可以拼接成一个三棱柱。这个四棱柱的地面为正方形。且底面边长与各侧棱长相等。这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为分别为               （  ）

A                                B 

C                                D

【例题】已知集合A={        }（k≥2）其中

a                  ，由A中的元素构成两个相应的集合；

S={（a,b）|a∈A,b∈A,a+b∈A }

T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.

其中（a,b）是有序数队，集合S和T中的元素个数分别为m和n。

若对于任意的a∈A,总有-a不属于A,则称集合A具有性质P。

（1）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（2）对任何具有性质P的集合A，证明：n≦      ;

【例题】已知{ }是等差数列，{ }是公比为q的等比数列，              ，记  为数列{ }的前n项和，

（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；

（2）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

【例题】已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R。

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设函数f（x）在区间（    ）内是减函数，求a

的取值范围。

【例题】某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果，周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）。若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互，求ξ的分布列和数学期望。

【例题】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨。那么该企业可获得最大利润是（  ）。

A．12万元    B.20万元    C.25万元    D.27万元

【例题】给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°。

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。

若OC=xOA+yOB，其中，则x+y最大值是