2022河北中考数学试卷+答案解析

一、选择题(本大题共16个小题。1~10小题每题3分，11~16小题每题2分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 计算a3÷a得a?，则“?”是(　　)

A.0            B.1            C.2            D.3

2. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的    (　　)

A.中线        B.中位线    C.高线        D.角平分线

3. 与―3相等的是    (　　)

A.―3―        B.3―        C.―3＋        D.3＋

4. 下列正确的是    (　　)

A.=2＋3            B.=2×3

C.=32                D.=0.7

5. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是    (　　)

A.α―β=0

B.α―β<0

C.α―β>0

D.无法比较α与β的大小

6. 某正方形广场的边长为4×102 m，其面积用科学记数法表示为    (　　)

A.4×104 m2        B.16×104 m2            C.1.6×105 m2    D.1.6×104 m2

7. ①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择(　　)

①　②　③　④

A.①③        B.②③        C.③④        D.①④

8. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是    (　　)

A        B        C        D

9. 若x和y互为倒数，则的值是    (　　)

A.1            B.2            C.3            D.4

的长是    (　　)

图1　　　　图2

A.11π cm        B.π cm        C.7π cm            D.π cm

11. 要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2)：

方案Ⅰ        

①作一直线GH，交AB，CD于点E，F；

②利用尺规作∠HEN=∠CFG；

③测量∠AEM的大小即可.

图1

方案Ⅱ        

①作一直线GH，交AB，CD于点E，F；

②测量∠AEH和∠CFG的大小；

③计算180°―∠AEH―∠CFG即可.

图2

对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是    (　　)

A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行                B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C.Ⅰ、Ⅱ都可行                    D.Ⅰ、Ⅱ都不可行

12. 某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天。若m个人共同完成需n天，选取6组数对(m，n)，在坐标系中进行描点，则正确的是    (　　)

    A                B

    C                D

13. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，则d可能是    (　　)

A.1            B.2            C.7            D.8

14. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10(单位：元)，捐10元的同学后来又追加了10元。追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是    (　　)

A.只有平均数        B.只有中位数        C.只有众数        D.中位数和众数

15. “曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出。然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置。如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置。已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的质量是x斤，则正确的是    (　　)

A.依题意3×120=x―120

B.依题意20x＋3×120=(20＋1)x＋120

C.该象的质量是5 040斤

D.每块条形石的质量是260斤

16. 题目：“如图，∠B=45°，BC=2，在射线BM上取一点A，设AC=d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围。”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d=1.6，丙答：d=，则正确的是    (　　)

A.只有甲答得对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分。其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分)

17.( 3分)如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道。若琪琪第一个抽签，她从1~8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是　　　　. 

18.( 3分)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则

(1)AB与CD是否垂直?　　　　(填“是”或“否”)； 

(2)AE=　　　　. 

19.( 3分)如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.

(1)甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a=　　　　； 

(2)设甲盒中都是黑子，共m(m>2)个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出a(1三、解答题(本大题共7个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.( 9分)整式3的值为P.

(1)当m=2时，求P的值；

(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值.

21.( 9分)某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图.

(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

(2)将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图(图2)各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变(1)的录用结果.

图1                            图2

22.( 9分)

发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

验证　如，(2＋1)2＋(2―1)2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和.

探究　设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确.

23.( 10分)如图，点P(a，3)在抛物线C：y=4―(6―x)2上，且在C的对称轴右侧.

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；

(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P'，C'.平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数恰为y=―x2＋6x―9.求点P'移动的最短路程.

24.( 10分)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.

(1)求∠C的大小及AB的长；

(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).

(参考数据：tan 76°取4，取4.1)

25.( 10分)如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(―8，19)，B(6，5).

(1)求AB所在直线的解析式；

(2)某同学设计了一个动画：

在函数y=mx＋n(m≠0，y≥0)中，分别输入m和n的值，便得到射线CD，其中C(c，0).当c=2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出.

①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；

②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数.

26.( 12分)如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=30°，AD=3，AB=2，DH⊥BC于点H.将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q=90°，∠QPM=30°，PM=4.

(1)求证：△PQM≌△CHD；

(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3)，当边PM旋转50°时停止.

①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；

②如图2，点K在BH上，且BK=9―4.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长；

③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE=d，直接写出CF的长(用含d的式子表示).

图1                    图2                        图3

2022年河北中考数学

（参）

2.D　△ABC沿l折叠，AC边落在AB边上，则∠BAD与∠CAD重合，所以l是△ABC的角平分线.故选D.

3.A　―3―=―3，3―=2，―3＋=―2，3＋=3.故选A.

4.B　=，选项A错误；=×=2×3，选项B正确；==34，选项C错误；(0.7)2=0.49，选项D错误.故选B.

5.A　根据任意多边形的外角和都是360°可得α=β，∴α―β=0.故选A.

6.C　正方形广场的边长为4×102 m，则其面积为(4×102)2=16×104=1.6×105 m2.故选C.

7.D　①③，③④组合不是6个小正方体，故排除选项A，C.②③组合不能构成长方体，故排除选项B.①④组合能构成长方体.故选D.

8.D　选项A，B只能满足一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形；选项C不能判定对边平行，也不能得出两组对边对应相等，故不能判定四边形是平行四边形；选项D满足一组对边平行且相等，可以判定四边形是平行四边形.故选D.

9.B　=2xy―1＋2―.∵x和y互为倒数，∴xy=1，故原式=2―1＋2―1=2.故选B.

的长==11π cm，故选A.

11.C　对于方案Ⅰ，∵∠HEN=∠CFG，∴CD∥MN，根据两直线平行，内错角相等可得直线AB与CD所夹锐角等于∠AEM，故方案Ⅰ正确.对于方案Ⅱ，直线AB与CD所夹锐角、∠AEH、∠CFG是三角形的三个内角.故方案Ⅱ正确.故选C.

12.C　已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天，则每个人每天的工作量为.若m个人共同完成需n天，则·n=1，∴mn=12.∴选取的6组数对(m，n)为反比例函数图象上点的坐标.故选C.

13.C　若d为1或2，则1＋d＋1＋1≤5，不能组成凸五边形，故排除A，B；若d=8，则1＋1＋1＋5=8，不能组成凸五边形，故排除D.故选C.

14.D　捐10元的同学追加10元，则变化前后的5个数据之和发生变化，故平均数发生变化；数据10变成20，不影响数据的排序，故中位数没有变化；数据10变成20，不影响数据中出现次数最多的数，即5，故众数没有变化.故选D.

15.B　每块条形石的质量是x斤，根据已知条件可知大象的质量为(20x＋3×120)斤或[(20＋1)x＋120]斤，可得方程20x＋3×120=(20＋1)x＋120，解方程得x=240，即每块条形石的质量为240斤，故大象的质量为20×240＋3×120=5 160斤.故选B.

16.B　过C作CD⊥BM，垂足为D.∵∠B=45°，BC=2，∴CD=.

当点A与点D重合，即d=时，只能作出唯一一个△ABC，丙正确；∵2>1.6>，∴在点D的左侧或右侧都能找到线段AC=1.6，故能作出两个△ABC，乙错误；过点C作CE⊥BC，与BM交于点E.∵∠B=45°，BC=2，∴CE=2.当点A在EM上时，d≥2，显然当d≥2时，只能作出唯一一个△ABC，甲正确.故选B.

17.答案　

解析　1~8号中随机抽取一签，共有8种等可能的结果，故抽到6号的概率为.

18.答案　(1)是　(2)

解析　解法一：(1)如图，∵CG=1，DG=2，AF=2，BF=4，∴=.∵∠CGD=∠AFB=90°，∴△CGD∽△AFB，∴∠CDG=∠ABF.∵∠CDG＋∠BDC=90°，∴∠ABF＋∠BDC=90°，∴∠BED=90°，即AB与CD垂直.

(2)∵AF=2，BF=4，∴AB=2.∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴=，即=，解得AE=.

解法二：(1)如图，∵AC=CG=2，∠ACH=∠CGD=90°，CH=DG=1，∴△ACH≌△CGD，∴∠1=∠3.

又∵∠1＋∠2=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠CEA=90°，即AB与CD垂直.

(2)∵AC=2，CH=1，∴AH=.∵∠1=∠3，∠HEC=∠ACH=90°，∴△CHE∽△AHC，∴=，∴CE===，∴AE==.

19.答案　(1)4　(2)(m＋2a)；1

解析　(1)嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，则甲盒中有棋子(10―a)个，乙盒中有棋子(8＋a)个，根据“乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍”可得8＋a=2(10―a)，解得a=4.

(2)嘉嘉从甲盒中拿出a(120.解析　(1)由题意知P=1―3m.

当m=2时，P=1―3×2=―5.

(2)依题意，得1―3m≤7.

解得m≥―2.

∴m的负整数值为―1，―2.

21.解析　(1)甲：9＋5＋9=23(分).

乙：8＋9＋5=22(分).

∵23>22，∴会录用甲.

(2)由扇形统计图得学历、能力、经验所占之比为

120°∶(360°―60°―120°)∶60°=2∶3∶1.

∴甲：=7(分)，

乙：=8(分).

∵8>7，∴会录用乙.

∴会改变(1)的结果.

22.解析　验证　×10=5=22＋12.

探究　(m＋n)2＋(m―n)2=m2＋2mn＋n2＋m2―2mn＋n2

=2m2＋2n2

=2(m2＋n2).

∵m，n为正整数，∴m2＋n2是整数.

∴(m＋n)2＋(m―n)2一定是偶数.

∴该偶数的一半为[(m＋n)2＋(m―n)2]=m2＋n2.

23.解析　(1)∵y=4―(6―x)2=―(x―6)2＋4.

∴抛物线C的对称轴为直线x=6，y的最大值为4.

把P(a，3)代入y=4―(6―x)2，得

3=4―(6―a)2.

解得a=5或a=7.

又∵a>6，∴a=7.

(2)y=―x2＋6x―9=―(x―3)2.

∴y=―x2＋6x―9的顶点为N(3，0).

如图，过抛物线C的顶点M(6，4)作MA⊥x轴于点A.

连接MN，PP'.由平移的性质可知，PP'=MN.

∴点P'移动的最短路程是PP'=MN==5.

24.解析　(1)∵BC⊥AB，∴∠C＋∠CAB=90°.

∵∠CAB=14°，∴∠C=90°―14°=76°.

又∵=tan 76°=4，且BC=1.7 m，

∴AB=4×1.7=6.8 m.

(2)如图，过点O作OH⊥MN于点D，交半圆O于点H，则DH即为所求作的线段.连接OM.

∵∠BAM=7°，OA=OM，∴∠BAM=∠OMA，

∴∠BOM=2∠BAM=14°.

∴∠MOD=90°―14°=76°.

在Rt△MOD中，tan 76°==4.

设OD=k m，则MD=4k m.

∵OM2=OD2＋MD2，OM=OB=AB=3.4 m，∴3.42=k2＋(4k)2，解得k= m(舍负).

∴DH=3.4―=3.4―≈2.6(m)，

即最大水深约为2.6 m.

25.解析　(1)设AB所在直线的解析式为y=kx＋t(k≠0)，将A(―8，19)，B(6，5)代入，得

解得

∴AB所在直线的解析式为y=―x＋11.

(2)①把x=2，y=0代入y=mx＋n，得

0=2m＋n，即n=―2m.

∴m，n应满足的数量关系是n=―2m.

②设光点P击中线段AB上的点为(a，b)，

则b=―a＋11.

∴a=11―b(5≤b≤19)，当b是整数时，a也是整数.

∵点P在y=mx＋n上，

∴由①得b=ma―2m，

∴m===―1.

只有当b=6，8，10，12，18时，m为整数，则m的个数是5.

26.解析　(1)证明：∵AD∥BC，∠ABC=90°，DH⊥BC，

∴DH=AB=2.

∵∠DHC=90°，∠C=30°，∴CD=2DH=4.∴PM=CD.

在△PQM和△CHD中，∠AQM=∠DHC，∠QPM=∠C，PM=CD，

∴△PQM≌△CHD.

(2)①如图1，作QG⊥AM于点G，则AQ=CH=CD·cos 30°=6，AG=AQ·cos 30°=3，∴边PQ平移过程中，扫过的面积为3×3=9.

边PQ绕点D逆时针旋转50°扫过的面积为=5π.

∴边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，扫过的面积为9＋5π.

图1

②如图2，连接DK，由题意得BC=BH＋HC=9.

∵BK=9―4，∴CK=CD=4.

又∵∠C=30°，∴∠KDC==75°.

∵KH=CK―CH=4―6，

∴PM从点K到H，用时(4―6)秒.

当PQ过点K时，其旋转角为∠KDQ=60°＋30°―75°=15°.

∴其旋转用时为=3(秒)，

∴所求时长为(4―3)秒.

图2

③.

详解：当旋转角小于等于30°时，如图3.∵∠EDF=∠C=30°，∠DEC=∠FED，

∴△EDF∽△ECD，∴=，

∴DE2=EC·EF.

在Rt△DEH中，DE2=EH2＋DH2=(3―d)2＋(2)2=d2―6d＋21.

∵EC=BC―BE=9―d，EF=EC―CF=9―d―CF，

∴d2―6d＋21=(9―d)(9―d―CF)，

解得CF=.

图3

当旋转角大于30°且小于等于50°时，如图4.

同理可得DE2=EC·EF.

在Rt△DEH中，DE2=EH2＋DH2=(d―3)2＋(2)2=d2―6d＋21.

∵EC=BC―BE=9―d，EF=EC―CF=9―d―CF，

∴d2―6d＋21=(9―d)(9―d―CF)，解得CF=.

图4