高一数学集合经典题型归纳总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。

元素与集合之间的关系：属于--    不属于--

常有集合     N  Z  R    Q   加星号或者+号表示对应集合的正的集合  

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。

4、集合的分类：

(1)有限集   含有有限个元素的集合

(2)无限集   含有无限个元素的集合

(3)空集     不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B  (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB  同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，非空真子集个数2n-1

三、集合的运算

1.下列四组对象，能构成集合的是                                   （   ）

A某班所有高个子的学生  B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有      个  

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是          .

4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是       

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有      人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=               .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

第一节集合

一 元素互异性的考察

1由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．

2集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．

3、已知集合S=中的三个元素分别是的三边长，那么一定不是（   ）

A. 锐角三角形       B.直角三角形       C. 钝角三角形    D. 等腰三角形

4由实数x,-x,|x|, ,-所组成的集合，最多含有元素的个数为（   ）           

A. 2               B. 3                C. 4             D. 5

5、设a、b、c为非零实数，则x=的所有值组成的集合为（   ）

A.             B.              C.             D. 

二元素与集合之间的关系的考察

1对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______

2．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．

3设a、b∈Z，E＝{(x,y)|(x－a)2＋3b≤6y}，点(2，1)∈E，但(1，0) E，(3，2) E。求a、b的值。

4给出下列关系：

    （１）

    （２）

    （３）

    （４）

    其中正确的个数为            （        ）

    Ａ．１个        Ｂ．２个        Ｃ．３个            Ｄ．４个

5若 ，求实数的值。

三一元二次方程与集合

1已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R

①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

2已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．

3若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．

4、集合含有两个元素，则实数m满足的条件为＿＿

5若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．

6设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为（   ）

A、R                    B、

C、{}         D、{}

7、若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是        

8、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。

9已知集合A=

1）若A是空集，求a的取值范围；

2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围

10若集合只有一个元素，则实数的值为

11M={x|x2＋2x－a=0，x∈R}≠φ，则实数a的取值范围是          ……………………………………（    ）

(A)a≤－1              (B) a≤1             (C) a≥－1             (D) a≥1.

12已知集合A={x|x2－px＋15=0}，B={x|x2－5x＋q=0}，如果A∩B={3}，那么p＋q=             .

四提示元素的考察，我们看集合的时候注意提示元素，提示元素决定了集合的元素

1用列举法把下列集合表示出来：

①A=

②B=

③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

⑤E＝

2 A=;B=

3设集合B=

（1）试判断实数1、实数2与集合B的关系；

（2）用列举法表示集合B。

2、方程组﹛的解集是（   ）

A.     B.            C.           D. 

3方程组﹛的解集是; ;  .其中正确表示的是（   ）

A.              B.             C.           D. 

4方程x2-5x+6=0的解集可表示为        

方程组          

5已知全集,则M=(      )

A、{2，3}  B、{1，2，3，4}   C、{1，2，3，6}     D、{-1，2，3，4}

五对应下列的类型题最好取对应的一系列的值

1．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则(    )

A．x＋y∈M    B．x＋y∈X    C．x＋y∈Y    D．x＋yM

2集合A={x}   B={}    C={}

又则有（   ）

A、（a+b）A     B、 (a+b) B   C、(a+b) C   D、 (a+b) A、B、C任一个

一、子集、真子集、非空真子集个数的考察

1集合{1，2，3}的真子集共有（   ）

A、5个    B、6个    C、7个     D、8个

2集合{a,b,c}的所有子集是       真子集是       ；非空真子集是        

3满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是            （    ）

A、8            B、7    C、6            D、5 

4若｛1，2，3｝A｛1，2，3，4｝，则A＝______

2、集合与集合的关系，特殊的条件：

1设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是

         。

2已知集合满足，则一定有（   ）

A、　　B、　     C、    D 、

3已知A＝｛x｜x＜3，B＝｛x｜x＜a

(1)若BA，则a的取值范围是______

(2)若AB，则a的取值范围是______

4设A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若BA，求实数a组成的集合

5已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且NM,求a 的取值范围、 

6集合，且M ，则实数a的范围是（  ）

A、     B、    C、        D、

7（本小题满分12分）已知集合，，且，求实数的取值范围。

8已知集合A＝｛x∈R｜x2+2ax+2a2-4a+4＝0｝，若A，则实数a的取值是  

9设，，若，则实数的取值范围是（  ）

（A）    （B）   （C）   （D）

10集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a，如果A∩B=，那么a的取值范围是           ……………………（    ）

  (A)a＞1              (B) a≥1               (C) a＜1           (D) a≤1

3、空集

1下列四个命题：

    （１）空集没有了集；

    （２）空集是任何一个集合的真子集；

    （３）空集的元素个数为零；

    （４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．

    其中正确的有            （        ）

    Ａ．0个            Ｂ．1个            Ｃ．2个                Ｄ．3个

2下列八个关系式①{0}= ②=0  ③  {} ④{}  ⑤{0} ⑥0 

⑦{0}   ⑧{}其中正确的个数（   ）

A、4    B、5    C、6    D、7

3给出下列关系：

    （１）｛０｝是空集；

    （２）

    （３）集合

    （４）集合

    其中正确的个数为            （        ）

    Ａ．１个        Ｂ．２个        Ｃ．３个            Ｄ．０个

4若集合，则下列结论中正确的是（       ）

   A、A=0         B、       C、       D、

5下列表示①②③ ④中,正确的个数为( )

（A）1  （B）2   （C）3    （D）4

第3节 集合的运算

       交集

       并集

       补集

  方法:1集合中为不等式的时候，学会用数标轴求解

       2 Venn图

一利用数标轴求解集合运算

1设全集U=R，M={x|x.≥1}，  N ={x|0≤x<5},则（CM）∪（CN）为（    ）

A、{x|x.≥0}               B、{x|x<1 或x≥5}

C、{x|x≤1或x≥5}         D、{x| x〈0或x≥5 }

2若集合，则等于_____

A、    B、     C、    D、

3不等式组的解集是_____

A、 B、  C、    D、

4已知集合M={y|y= x 2＋1，x∈R}，N={ x∈R|y= x＋1}，则M∩N=__________

5已知全集U={x|x-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=，求CA，CB，A∩B，A∩（CB），（CA）∩B

6设全集合，，，求，， ， 

7已知集合，，那么（ ）

　（A）   （B）  （C）   （D）

8设集合，，则（   ）

（A）       （B）  

（C）       （D） 

9集合A={y|y=x2+1}，B={y|y=x+1，则 A∩B=            ………………………………………………（    ）

  (A){(1,2),(0,1)}        (B){0,1}               (C){1,2}           (D) 

二利用Venn图求解

1集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B的元素个数为（   ）

A、10个       B、8个             C、18个           D、15个

2调查某班50名学生，音乐爱好者40名，体育爱好者24名，则两方面都爱好的人数最少是             ，最多是            

3已知全集U={ x | x＜6，x∈N*}，集合A，BU，且A∩B={2}，，那么下列结论正确的是

（A）3∈A，3∈B    （B）3∈B，3A    （C）3A ，3B    （D）3∈A，3B

4已知集合M、P，满足M∪P=M，则一定有

（A）M=P      （B）MP      （C）M∩P=P      （D）MP

5已知全集U={1，2，3，4，5}，若A∪B=U，A∩B≠Ø，，试写出满足条件的A、B集合。

已知U=

6则集合A=            

 7若集合、、，满足，，则与之间的关系为（  ）

（A）  （B） （C）   （D）

8三个集合A、B、C满足A∩B=C，B∩C=A，那么有            …………………………………………（    ）

(A)A=B=C           (B) AB               (C)A=C，A≠B     (D) A=CB

三题中定义的新的集合运算

1定义A－B={x∣x∈A，且xB}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N－M=

（A）M    （B）N    （C）{1，4，5}    （D）{6}

2定义A－B={x|xA且xB}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，

则A－（A－B）等于（  ）

  A、{2，3，6}        B、        C 、       D 、

3已知非空集合M，N，定义M－N={x|x∈M，xN}，那么M－（M－N）=        ……………………（    ）

(A)M∪N            (B) M∩N              (C)M              (D) N

四集合运算中的含参问题

1已知集合M＝{ x|－1＜x＜2}，N＝{ x| x≤a}，若M∩N≠Ø，那么实数a的取值范围是

A{ x|x＜2}　　 B{x|x＞－1}　　　 C{ x|－1≤x≤1}　  D{x|x≥－1}

2A＝{ x | a≤x≤a＋3}，B＝{ x | x＜－2或x≥4}，若A∩B＝A，则a的取值范围为__________。

3关于实数x的不等式与x-3(a+1)x+2(3a+1)≤0

(a∈R)的解集依次为A，B求使成立的实数a的取值范围

4已知全集U=R，集合A=

，试用列举法表示集合A

5（本小题满分12分）已知集合，，，求实数的取值范围

6已知集合，，若，求实数的取值范围

7设全集，集合与集合，且，求，

8、、已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜a，如果A∩B=A，那么a的取值范围是              .

9已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a，如果A∪B=R，那么a的取值范围是                 .

10已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2－3x+2=0}，且A∪B=B，求p、q的关系或p、q的值。

11已知集合求实数的取值范围。

12已知集合，求实数p的取值范围。

  （04湖南，其中R+=（0，+））

13集合A={x|x2－3x＋2=0}， B={x|x2－ax＋a－1=0} ，C={x|x2－mx＋2=0}，

若A∪B=A，A∩C=C，求实数a、m之值.

五其他

1集合P=    ，Q=    ，则A∩B=       

2设集合，，且，则满足条件的实数的个数是（    ）

A、1个    B、2个    C、3个    D、4个

3集合A={3－2x，1，3}，B={1，x2}，并且A∪B=A，那么满足条件的实数x个数有           ………（    ）

　(A)1                (B) 2                   (C)3              (D) 4