《直线与平面垂直的判定定理》教学设计

作者：黄章盛

来源：《学校教育研究》2017年第09期

        一、对本节课教与学的认识

        1.对本节的教学分析

        新课标指出，以空间几何的定义和公理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。对于判断定理不要求证明，但对于性质定理要求证明。这样的要求是体现出立体几何初步以直观感知和操作确认为重点，强调建立和提升学生的空间想象力和几何直观能力，而对于推理论证能力，需要根据学生的实际情况进行适度合理的要求。线面垂直关系的模型在我们所生活的环境中普遍存在，因此，在立体几何初步中，垂直关系必然成为线面关系中的核心内容之一。

        2.学情分析

        学生生活的空间存在着丰富的垂直关系，因此学生对直线与平面的垂直关系并不陌生，只不过学生头脑中的对直线与平面垂直的理解还不能数学概念上的理解。

        3.教学目标分析

        知识与技能

        （1）理解直线和平面垂直判定定理的含义；

        （2）会用直线和平面垂直判定定理解决相关问题。

        过程与方法

        （1）通过类比，合作等学习活动，体验“无限有限化”“线面线线化”等化归思想等；

        （2）经历观察与猜想、操作与实验、思辨与验证、归纳与概括等活动，体悟学习数学的思想与方法；

        （3）经历线面垂直判定定理的探究过程，掌握“现象-猜想-证明”科学探究模式。

        情感态度与价值观

        （1）经历操作与实验、思辨与验证、归纳与概括等数学活动，感受数学美，增强好学乐学的情感；

        （2）经历学习内容与生活实际的联系，进一步感受学习的乐趣与信心；

        （3）经历合作学习，感受合作学习数学的意义与价值。

        4.教学重难点

        重点：理解直线与平面垂直判定定理含义。

        难点：确认和应用直线与平面垂直判定定理。

        二、教学过程

        1.提出问题

        问题1：如何检验铜针与圆盘垂直？

        设计意图：根据学习内容，结合学生的知识水平，创设有利于学生进行探究研讨的问题情境，把教材中阐述的内容创造性地组织成生动有趣的、有利于学生探究发现的研究材料，让学生从中自主掌握有关知识与技能，体验科学探究的乐趣，学习科学探究的方法，领悟科学的思想和精神，对于培养学生学会学习至关重要。

        2.合情推理

        思考1：猜想判定线面垂直的简便方法。

        问题2：如果一条直线垂直平面内的一条直线，能否判定这条直线垂直该平面？两条平行直

        线呢？

        设计意图：“问题是数学的心脏”，数学学习很重要的一个方面是学会“问”数学，要使更多的学生敢问、愿问、会问，教师将知识问题化，将问题层次化，用一个个问题将课堂串联起来，渗透科学探究数学思想方法，驱动学生全体参与学习活动中。

        问题3：你能回顾并类比直线与平面平行的判定定理结合生活实例，对线面垂直判定方法做出自己的猜想吗？

        问题4：那要怎样才能判断直线与平面垂直？下面拿出课前准备的三角形纸片每4个同学为一组，我们一起利用一个有趣的折纸试验来验证猜想。

        设计意图：新课程理念强调“要重视直接经验”数学学习本该是学生自己的生活实践，数学教学则更应与学生的实践充分地结合起来。在探究过程中，引导学生有意识地动手折一折、做一做，不但加深学生对知识的了解，提高了学生学习兴趣，还让学生在具体的操作情境中，感受到数学知识的形成过程。同时与教学信息技术的结合，将抽象问题动态化，具体化，高效地帮助学生突破了这一难点。

        3.合作探究

        思考2：如何验证猜想？（小组合作探究）

        问题5：折痕所在直线与桌面所在平面的位置关系如何？

        问题6：如何翻折才能使折痕所在直线与桌面所在平面垂直？

        问题7：将三角形纸片分别换成矩形、半圆形纸片重复上述操作对比三角形纸片翻折结果，结论一致吗？

        问题8：判断折痕所在直线与桌面所在平面垂直的关键是什么？与我们的猜想一致吗？

        设计意图：验证活动的提出充分发挥了学生的主观能动性，变“要我学”为“我要学”，强调富有个性的学习活动过程，关注学生在这一活动过程中获得的丰富多彩的学习体验和个性化的创造性表现，这体现了发现性学习的开放性。本环节设计充分体现了“先问后思”，“师生共享”，“全面参与”的教学理念，充分鼓励学生上台汇报发言，提高了学生的综合素质和合作交流意识，优化了学生的学习方式，促进学生深度的认知投入，积极的情感体验和主动的行为参与。

        4.回归定义

        思考3：结论与定义相符合吗？

        问题9：AD⊥BD，AD⊥CD，就有AD⊥α.它与直线与平面垂直的定义相符合吗？（组织小组讨论）

        动画展示，回归定义，截图如下：

        设计意图：运用动态的课件展示，帮助学生由形象思维过渡到抽象思维突破难点，回归定义，促进知识间的相互联系，多元理解定理，丰富了学生的认知方式。

        5.归纳概括

        思考4：如何数学化和形式化判定定理？

        文字语言：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

        图形特征：

        符号描述：

        关键：线线垂直→线面垂直 线不在多，相交则灵

        设计意图：学生不但学会了一种来判断线面垂直的简便方法—定理，而且经历了“提出问题——分析问题——解决问题”的研究路线，经历合情推理、操作确认、回归定义和归纳概括等活动，同时体悟“无限有限化”“立体平面化”两种“化归思想与策略”。

        6.小试牛刀

        问题10用所学知识与方法检验日晷的铜针与圆盘平面垂直？

        问题11（变式问题）：现有一根旗杆，在旗杆顶端系有一根比旗杆长的升旗用的绳子，已知该旗杆和该绳子的长度，你手上有一条皮尺.现要检验旗杆是否与水平地面垂直，你有什么好办法？

        问题12（拓展问题）：如下图，已知a∥b，a⊥α。如何证明：b⊥α。

        设计意图：教学中注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学的抽象过程，引导学生从数学的角度思考、提出、构造问题，鼓励学生去猜想、实践，学会主动寻求解决问题的方法，将探究性学习向课外延伸，这样能有效激发学生的潜能、发展学生创造力、培养学生的应用意识和促进学生学习方式的转变。老师恰到好处的点拨，拉近师生之间距离，帮促学生掌握高效的学习方法并养成记笔记的好习惯，帮助学生树立终身学习的理念。

        7.小结与反思，整理收获画成框图

        知识上：

        方法上：探究模式“现象——猜想——证明”

        思想上：无限有限化、线面线线化等化归思想。

        设计意图：有助于学生将所学知识系统化。

        8.作业布置

        必做题：

        1.已知：平面α∩平面β=直线l.A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C.

        求证：AC⊥l.

        2.已知：AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A和B的点，PA⊥⊙O所在的平面.

        求证：BC⊥PC.

        选做题：

        已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D.

        求证：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA.

        探究题：课后寻找生活中应用直线与平面垂直判定定理的例子。

        设计意图：分层的作业可以有效地检查学生的收获如何。

        三、教学反思

        课堂是师生互动的一种生命体验与体悟，强化“以人为本”的理念，刷新“教师权威”角色，做学生学习过程中的引导者、指导者、组织者、帮促者、合作者与“高级伙伴”，追求一种民主的、平等的、自然的、交往的、高效的、和谐的生命课堂。

        本节课，在目标上，突出了数学活动经验、思想方法和情感态度目标的有机融合；在资源上，突出了“学生主体”的意义与价值，充分发挥学生在学习过程中的自主性、合作性、创造性等学习资源的作用；

        在内容上，整合教学内容，创造性地用活教材，使教学内容源于教材又高于教材。

        在过程上，先学后教，努力寻求“接受—探究”间的平衡，做到了明线鲜明、暗线不虚。“明线鲜明”即指“问题情境—合情推理—操作确认—回归定义—归纳概括”的基本教学主线，凸显知识的“再创造”、发生与发展过程。“暗线不虚”即指指导学生从“学会”走向“会学”，通过“画龙点睛”，帮促学生养成良好的学习习惯、掌握高效的学习方法、体悟灵活的数学思想与方法。