高中数学课本选修2-1例习题精选

一、简易逻辑

1.判断下列命题的真假：

（1）命题“若2

2

0x y +=，则,x y 全为0”的逆命题； （2）命题“全等三角形是相似三角形”的否命题. 2.写出下列命题的否定：

（1）1994与2000都是5的倍数； （2）任何一个整数，都是奇数；

（3）存在一个实数a ，能使210a +=成立； （4）每一个数列都是等差数列； （5）每个数列都有一项为“1”； （6）任何有理数都是实数.

3.写出下列命题的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题，并判断其真假： （1）:p 24是8的倍数，:q 24是6的倍数；

（2）:p 矩形的对角线相等，:q 矩形的对角线互相平分； （3）:p 正方形的四条边相等，:q 正方形的四个角相等； （4）:p π是无理数，:q π是有理数.

4.请在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个使命题正确的填写在各题横线上.

（1）若A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的_______条件； （2）“6

x π

∈

”是“1

sin 2

x =

”的________条件； （3）“αβ>”是“sin sin αβ>”的________条件；

（4）在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的_________条件；

（5）已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则“12k k =”是“12//l l 的_______条件；

（6）“0ab >”是“方程22

1x y a b

+=表示椭圆”的________条件； （7）“α是第二象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的______条件；

（8）“a b =”是“a b =”的_______条件；

（9）“实数0λ=”是“向量0a λ⋅=”的________条件；

（10）“四边形的两条对角线相等”是“四边形是等腰梯形”的_______条件. 5.填空题.

（1）“一元二次方程2210ax x ++=有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是___________； （2）“两个平面α和β，//αβ”的一个必要不充分条件是__________； （3）“函数[)2

(0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数”的充要条件是________.

二、空间向量

1. 证明：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直.

2.一直两个不同的平面12,ππ的法向量分别为12,n n ，判断两平面是平行还是垂直： （1）12(1,2,3),(1,2,3)n n ==---； （2）12(2,2,3),(1,2,2)n n =-=---.

3.已知直线l 的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，且l π⊄，判断直线与平面是平行还是垂直： （1）2(1,1,1),(1,4,3)s n =-=-； （2）2(1,3,2),(2,6,4)s n =-=--.

4.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A B C D ''''-，且2AB =，

2,1AD AA '==，求异面直线A B '与C D '夹角的余弦值.

5.已知直线1l 的方向向量为1(1,1,1)s =-，平面2l 的方向向量为

2(1,2,0)s =-，求这两条直线夹角的余弦值.（课本45页练习1）

6.如图所示，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD A B C D ''''-.

求平面BCD A ''与平面ABCD 的夹角θ.

7.如图，在空间直角坐标系中，四棱锥S ABCD -

的底面ABCD 为直角梯形，0

90,1ABC SA AB BC ∠====，1

2

AD =.求平面SAB 与平面SCD 夹角的余弦值.

8.如图所示，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD A B C D ''''-.求对角线A C '与平面ABCD 的夹角θ的正弦值.

9.已知直线l 的方向向量为(1,1,1)s =-，平面π的法向量为

(1,2,3)n =-，求直线与平面夹角的余弦值.

10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A B C D ''''-，

1,2AB BC ==，3AA '=.求点B 到直线A C '的距离.

11.如图，长方体

1111ABCD A B C D -中，1,2AB BC ==，13,AA M =是

AD 的中点.求点M 到直线11AC 的距离.

12.如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD A B C D ''''-. （1）证明：AC '是平面A BD '的法向量；

（2）求点C 到平面A BD '的距离.

13.已知点(1,2,3)M -，平面π经过点(1,2,0),(2,0,1),(0,2,2)A B C -,求点M 到平面π的距离.

三、圆锥曲线

1.已知两定点之间的距离为5cm ，动点到两定点距离之和为5cm ，那么动点的轨迹是椭圆吗？

2. 如图所示，一圆形纸片的圆心为,O F 是圆内一定点，M 是圆周上一动

点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

3.如果椭圆

22

110036

x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是________.

4.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,2),(0,2)-并且经过点35

(,)22

-，求椭圆的标准方程. 5.写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出草图：

（1）1a b ==，焦点在x 轴上； （2）焦点坐标为(0,4),(0,4),5a -=.

6.若椭圆经过点(M -和N ，求椭圆的标准方程，并画出草图.例1.求椭圆

22925225x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图像.

7.求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图. （1）2

2

416x y +=； （2）2

2

981x y +=. 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）长轴在x 坐标轴上，长轴的长等于12，离心率等于23

； （2）经过点(6,0)P -和(0,8)Q .

9.求满足下列条件的椭圆的标准方程，并画出草图： （1）3

10,5

a e ==，焦点在x 轴上； （2）1

3,2

c e ==

，焦点在y 轴上； （3）长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点(3,0)P .

10.ABC 两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49

-.求顶点C 的轨迹方程，并画出草图.

11.设点12,F F 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上左、右焦点，P

为椭圆上异于左右顶点的一点，若12F PF θ∠=，求证：

12

2tan

2

F PF S

b θ

=.

12.点M 到点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2求点M 的轨迹.

13.平面上动点M 到定点(3,0)F 的距离比M 到直线1x =-的距离大2，求动点M 满足的方程，并画出相应的草图.

14.根据下列条件求抛物线的标准方程： （1）已知抛物线的焦点坐标是(2,0)F ； （2）已知抛物线的准线方程是3

2

x =-

. 15.分别写出满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，关于x 轴对称，过点(4,4)M -； （2）顶点在原点，焦点是(5,0)F ；

（3）焦点式(0,8)F -，准线是8y =.

16.已知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，

求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.

17.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.

（1

）2y =； （2）216x y =； （3）2

250y x +=； （4）2

80x y +=. 18.已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212

y y x x 的值一定等于( )

A ．－4

B ．4

C ．2p

D ．2

p -

19.设F 为抛物线2

:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30o 的直线交C 于,A B 两点，则AB =

________.

例2.抛物线2

y x =上到直线24x y -=的距离最小的点的坐标是（ ） A.11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.()1,1 C.39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭

D.()2,4 20. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，过(1,0)M

l 相交于点A ，与C

的一个交点为B ，若AM MB =，则p =________.

21.抛物线的顶点是椭圆

22

1259

x y +=的中心，而焦点是椭圆的左焦点，求抛物线方程. 22.已知圆2

2

670x y x +--=与抛物线2

2(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为（ ） A.1 B.2 C.

1

2

D.4 23.已知两定点12(4,0),(4,0)F F -，曲线上的点P 到12,F F 的距离之差的绝对值为6，求曲线的方程，并画出草图.

24. 若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于【 】.

22

:

1916

x y E -=12,F F P E 13PF =2PF

B ．9

C ．5

D ．3 25.求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）3,4a b ==，焦点在x 轴上；

（2）焦点为(0,10),(0,10)-，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16；

（3）焦点为(0,5),(0,5)-，经过点. 26.求过点9(3,2),(,5)4

-的双曲线的标准方程.

27.求与椭圆22

1255

x y +=共焦点，且过点的双曲线方程.

28.相距2km 的两个哨所,A B 听到远处传来的炮弹爆炸声，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s .已知当时的声速为340/m s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.

练习4.如图所示，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面.已知塔的总高度为150m ，塔顶直径为70m ，塔的最小直径（喉咙直径）为67m ，喉部标高112.5m ，求双曲线的方程. 29.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、焦距和离心率： （1）2

2

4x y -=-； （2）2

2

981x y -=；

（3）2211625x y -=； （4）221259

y x -=.

30.在直角坐标系中画出下列双曲线的草图，并求实轴和虚轴的长、焦距、离心率.

（1）22

1169

x y -=； （2）22520100x y -=；

（3）2

2

1x y -=； （4）2

2

169144x y -=-.

31.若双曲线

22

15y x m

-=的离心率(1,2)e ∈，求m 的取值范围. 32.已知双曲线与椭圆

221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程.

33. 与双曲线

22

132

x y -=有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的方程为（ ）

A ．2211612y x -=

B ．22214y x -=

C ．2211827y x -=

D ．22

1x y -=

34. 已知双曲线22

221(0,0)y x a b a b

-=>> ）

A ．y x =

B ．y =

C ．2y x =±

D ．12y x =± 35.证明圆心为(3,4)M ，半径等于5的圆的方程是22(3)(4)25x y -+-=，并判断点

(0,0),(1,0),(1,2)O A B -是否在这个圆上.

36.两条曲线的方程是1(,)0f x y =和2(,)0f x y =.它们的交点是00(,)P x y .求证：方程

12(,)(,)0f x y f x y λ+=的曲线也经过点P .（这里λ是任意实数）

37.已知两点(1,0),(1,2)A B -，求到,A B 两点距离相等的点P 满足的方程.

38.已知点P 到点(4,0)A -与点(4,0)B 的距离的平方和等于，求点P 满足的方程.

39.已知圆心为C 的圆经过定点(0,2)F ，且与直线20y +=相切，求圆心C 满足的方程.

40.设(2,0),(2,0)M N -为平面上两点，动点P 满足6PM PN +=，求点P 的轨迹方程.

41.已知点(0,1)A -，在抛物线2

21y x =+上任取一点B ，求线段AB 的中点满足的方程. 42.已知A 为椭圆22

12516

x y +=上的点，点B 的坐标为(2,1)，且2AP PB =. 求点P 的轨迹方程.

43.过椭圆22

143

x y +=的左焦点作直线交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 若121x x +=-，求AB 的长. 44.已知双曲线22

(8)1169

x y --=，有一椭圆的右焦点和右顶点分别是双曲线的左焦点和左顶点，且椭圆焦点到相应准线的距离 2.25p =，求椭圆方程.

45.若直线:(1)1l y a x =+-与曲线2

:C y ax =恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合.

46.如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，求k 的取值范围.

47.求直线0x y -=被曲线2222x y +=截得的弦长.

48.直线220x y -+=与椭圆22

44x y +=相交于,A B 两点.求,A B 两点的距离. 49.已知椭圆22

11

x y +=，求以点(2,1)P -为中点的弦所在直线方程. 50.已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）.

A ．2

2

14536x y += B ．2

2

13627x y += C ．2

2

12718x y += D ．2211x y +=