高二第一学期(理科)期末复习专题训练(圆锥曲线)

(圆锥曲线)

1．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋y2＝1　　 B．x2＋＝1      C.＋＝1     D.＋＝1

2、在一椭圆中以焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则此椭圆的离心率e等于(　　)

A.         B.        C.        D.

3、以椭圆＋＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝4x　　 B．y2＝－4x    C．y2＝8x      D．y2＝－8x

4、若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　)

A．－3＜k＜－2      B．k＜－3

C．k＜－3或k＞－2      D．k＞－2

5、设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于(　　)

A．－4p2       B．－3p2          C．－2p2        D．－p2

6、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)

A．圆          B．椭圆      C．双曲线      D．抛物线

7、已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1        B．x＝－1        C．x＝2      D．x＝－2

8、抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是(　　)

A．(，)       B．(1,1)      C．(，)          D．(2,4)

9、已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为_______________________．

10、已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是___________________．

11、设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________．

12、已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

13、已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．

14、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.

15、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

16、已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是.直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．

17、已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

18、如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

19、已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．

20、已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线y2＝4x的焦点，离心率是.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点C(－1,0)的动直线与椭圆相交于A，B两点．

若线段AB的中点的横坐标是－，求直线AB的方程．

高二第一学期(理科)期末复习专题训练

(圆锥曲线)参

1．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋y2＝1　　 B．x2＋＝1      C.＋＝1     D.＋＝1

解析：选C.由题意，c＝1，e＝＝，

∴a＝2，∴b＝＝，

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的方程为＋＝1.

2、在一椭圆中以焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则此椭圆的离心率e等于(　　)

A.         B.        C.        D.

解析：选B.∵以椭圆焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，∴椭足b＝c，∴e＝＝，将b＝c代入可得e＝.

3、以椭圆＋＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝4x　　 B．y2＝－4x    C．y2＝8x      D．y2＝－8x

解析：选D.由椭圆的方程知，

a2＝13，b2＝9，焦点在x轴上．

∴c＝＝＝2.

∴抛物线的焦点为(－2,0)，

∴抛物线的标准方程是y2＝－8x.

4、若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　)

A．－3＜k＜－2      B．k＜－3

C．k＜－3或k＞－2      D．k＞－2

解析：选A.由题意可知解得－3＜k＜－2.

5、设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于(　　)

A．－4p2       B．－3p2          C．－2p2        D．－p2

解析：选A.∵OA⊥OB，∴O·O＝0.

∴x1x2＋y1y2＝0.①

∵A、B都在抛物线上，∴∴

代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.

6、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)

A．圆          B．椭圆      C．双曲线      D．抛物线

解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，

故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，

∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．

7、已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1        B．x＝－1        C．x＝2      D．x＝－2

解析：选B.∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

8、抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是(　　)

A．(，)       B．(1,1)      C．(，)          D．(2,4)

解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x2上任 一点，则P到直线的距离d＝＝＝，

∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)．

9、已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．

解析：由题意，c＝4，且椭圆焦点在x轴上，

∵椭圆过点(5,0)．∴a＝5，

∴b＝＝3.

∴椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

10、已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．

解析：由椭圆的定义知，动点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且c＝1,2a＝4，

∴a＝2，b＝＝.

∴椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

11、设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．

解析：在椭圆C1中，由，得

椭圆C1的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，

曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，

故C2的标准方程为：－＝1.

答案：－＝1

12、已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.

答案：2

13、已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．

解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，

故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.

故水面宽4 米．

答案：4

14、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.

解析：如图，由AB的斜率为，知∠α＝60°，又＝，

∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P.则∠ABP＝60°，

∴∠BAP＝30°.

∴|BP|＝|AB|＝|BM|.

∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.

答案：2

15、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，

由已知条件得，

a＝4，c＝2，b2＝12.

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

法二：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．两个焦点分别为F1，F2.

由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，∴a＝4.

在方程＋＝1中，令x＝±c得|y|＝，

在方程＋＝1中，令y＝±c得|x|＝，

依题意有＝3，∴b2＝12.

∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

16、已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是.直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．

解：(1)因为＝，且c＝，

所以a＝，b＝＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由题意知P(0，t)(－1由得x＝±.

所以圆P的半径为.

当圆P与x轴相切时，|t|＝.

解得t＝±.

所以圆心P的坐标是(0，±).

17、已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

解：椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，

又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.

∴＝3，得a＝3，b＝4，

∴双曲线G的方程为－＝1.

18、如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

解：设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，

F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos

＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，

即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，

又∵S△PF1F2＝2，

∴|PF1|·|PF2|·sin ＝2，

∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.

又∵e＝＝2，∴a2＝，

∴双曲线的方程为：－＝1.

19、已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．

解：由题意得kOD＝，

∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，

∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵以AB为直径的圆过点O，∴O·O＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，

由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)

＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，

∴＋(－5p)＝0，∴p＝，

∴抛物线方程为y2＝x.

20、已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线y2＝4x的焦点，离心率是.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点C(－1,0)的动直线与椭圆相交于A，B两点．

若线段AB的中点的横坐标是－，求直线AB的方程．

解：(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴上，且a＝ .又c＝ea＝×＝，故b＝＝ ＝ ，故所求的椭圆方程为＋＝1.

(2)依题意，直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，

将y＝k(x＋1)代入＋＝1，消去y整理得，

(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

由线段AB的中点的横坐标是－，

得＝－＝－，解得k＝±，适合①.

所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.