2022年山东省青岛市中考数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（　　）

A．3×10﹣7    B．0.3×10﹣6    C．3×10﹣6    D．3×107

2．（3分）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（3分）计算（﹣）×的结果是（　　）

A．    B．1    C．    D．3

4．（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）

A．30°    B．36°    C．45°    D．60°

6．（3分）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（　　）

A．（2，0）    B．（﹣2，﹣3）    C．（﹣1，﹣3）    D．（﹣3，﹣1）

7．（3分）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（　　）

A．b＞0    B．c＜0    C．a+b+c＞0    D．3a+c＝0

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）﹣的绝对值是 　   　．

10．（3分）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 　   　分．

11．（3分）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 　   　．

12．（3分）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是 　   　°．

13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　   　．

14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：　   　．（填写序号）

①BD＝8

②点E到AC的距离为3

③EM＝

④EM∥AC

三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．（4分）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．

求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．

四、答案题（本大题共10小题，共74分）

16．（8分）（1）计算：÷（1+）；

（2）解不等式组：

17．（6分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：

甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．

18．（6分）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

19．（6分）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．

（参考数据：sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）

20．（6分）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：

学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表

（1）补全频数分布直方图；

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　   　组；

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　   　，对应的扇形圆心角的度数为 　   　°；

（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

21．（6分）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，

则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，

∵AD＝A′D′

∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．

【性质应用】

（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　   　；

（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　   　，S△CDE＝　   　；

（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　   　．

22．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．

（1）求一次函数的表达式；

（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．

23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）连接AE，CF，已知 　   　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．

条件①：∠ABD＝30°；

条件②：AB＝BC．

（注：如果选择条件①条件②分别进行答案，按第一个答案计分）

24．（10分）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．答案下列问题：

（1）当EQ⊥AD时，求t的值；

（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．