2011--2012北京市2年中考数学真题(含答案)

数 学 试 卷

学校______________ 姓名_________________ 准考证号_______________

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．

1．（2011北京市，1，4分）34

-

的绝对值是( )

A ． 43

-

B ．

43

C ． 34

- D ．

34

【答案】D 2．（2011北京市，2，4分）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为( ) A ． 766.610⨯

B ． 80.66610⨯

C ． 86.6610⨯

D ． 76.6610⨯

【答案】C 3．（2011北京市，3，4分） 下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A ． 等边三角形 B ． 平行四边形 C ． 梯形 D ． 矩形 【答案】D 4．（2011北京市，4，4分） 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则

A O C O

的值为( )

O

A

D

B

C

A ．

12

B ．

13

C ．

14

D ．

19

【答案】B 5．（2011北京市，5，4分） 北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：

区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 最高气温

32

32

30

32

30

32

29

32

30

32

则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是( ) A ． 32，32 B ． 32，30 C ． 30，32 D ． 32，31 【答案】A 6．（2011北京市，6，4分） 一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( )

A ． 518

B ． 13

C ． 215

D ． 115

【答案】B

7．（2011北京市，7，4分）抛物线2

65y x x =-+的顶点坐标为( )

A ． （3，4-）

B ． （3，4）

C ． （3-，4-）

D ． （3-，4） 【答案】A 8．（2011北京市，8，4分） 如图在Rt △ABC 中，90AC B ∠=︒，30BAC ∠=︒，AB ＝2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点

E ．设

A D x

=，CE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( )

E C

A

B

D

【答案】B

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．（2011北京市，9，4分）若分式8

x x

-的值为0，则x 的值等于________．

【答案】8

10．（2011北京市，10，4分）分解因式：321025a a a -+=______________． 【答案】a (a -5)2

11．（2011北京市，11，4分）若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是____________．

【答案】圆柱

12．（2011北京市，12，4分）在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为,i j a （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数,i j a ，规定如下：当i ≥j 时，,1i j a =；当i j <时，

,0i j a =．例如：当2i =，1j =时，,2,11i j a a ==．按此规定，1,3a =_____；表中的25

个数中，共有_____个1；计算1,1,11,2,2

1,3,31,4,41,5

i i

i

i i a a a a

a

a

a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．

【答案】0、15、1

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．（2011北京市，13，5分） 计算：1

1

()2cos 3027(22

--︒+

+-π)．

【答案】解：（12）-1-2cos30+27+(2-π)0

=2－2×

3

2

+33+1 =2－3+33+1 =23+3

14．（2011北京市，14，5分）解不等式：4(1)56x x ->-． 【答案】解：去括号，得4x －4>5x －6

移项，得4x －5x >4－6 合并，得－x >－2 解得x <2

所以原不等式的解集是x <2

15． （2011北京市，15，5分）已知2220a ab b ++=，求代数式(4)(2)(2)a a b a b a b +-+-的值．

【答案】解：a (a +4b )－(a +2b )(a －2b )

=a 2+4ab －(a 2－4b 2) =4ab +4b 2

∵a 2+2ab +b 2=0 ∴a +b =0

∴原式=4b (a +b )=0

16．（2011北京市，16，5分）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，A F ∠=∠，AB FD =．

1,1a

1,2a

1,3a

1,4a

1,5a

2,1a 2,2a 2,3a 2,4a 2,5a 3,1a 3,2a 3,3a 3,4a 3,5a 4,1a 4,2a 4,3a 4,4a 4,5a 5,1a

5,2a

5,3a

5,4a

5,5a

求证：A E F C =．

E

B C D

F

A

【答案】证明：∵BE ∥DF

∴∠ABE =∠D

在△ABE 和△FDC 中

⎩

⎪⎨⎪⎧∠ABE =∠D ，AB =FD ， ∠A =∠F ， ∴△ABE ≌△FDC ∴AE =FC 17．（2011北京市，17，5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函数k y x

=

的图象的一个交点为A （1-，n ）．

（1）求反比例函数k y x

=的解析式；

（2）若P 是坐标轴上一点，且满足P A O A =，直接写出点P 的坐标． 【答案】解：（1）∵点A （-1，n ）在一次函数y =-2x 的图象上，

∴n =-2×(-1)=2

∴点A 的坐标为(-1,2)

∵点A 在反比例函数y =k

x 的图象上，

∴k =-2

∴反比例函数的解析式为y =-2

x

(2)点P 的坐标为（-2，0）或（0，4） 18．（2011北京市，18，5分）列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

37

．小王用自驾车方式上班

平均每小时行驶多少千米？

【答案】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米．

依题意，得

182x +9=37×18

x

解得 x =27

经检验，x =27是原方程的解，且符合题意．

答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．（2011北京市，19，5分）如图，在△ABC ，∠ACB =90°中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC =2，CE =4，求四边形ACEB 的周长．

【答案】解：∵∠ACB =90°，DE ⊥BC ，

∴AC ∥DE ． 又∵CE ∥AD ，

四边形ACED 是平行四边形． ∴DE =AC =2

在Rt △CDE 中，由勾股定理CD =CE 2－DE 2=23． ∵D 是BC 的中点，

∴BC =2CD =43．

在Rt △ABC 中，由勾股定理AB =AC 2+BC 2=213． ∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴EB =EC =4

∴四边形ACEB 的周长=AC +CE +BE +BA =10+213 20．（2011北京市，20，5分）如图，在△ABC ，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、

BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且1

2

C BF C AB ∠=∠．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =5，5sin 5

C BF ∠=

，求BC 和BF 的长．

【答案】证明：（1）证明：连结AE ．

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°． ∴∠1=∠2=90°． ∵AB =AC

D

E

F

A

O

C B

G

∴∠1=1

2∠CAB ．

∴∠CBF =1

2

∠CAB ，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF +∠2=90°． 即∠ABF =90°

∵AB 是⊙O 的直径，

∴直线BF 是⊙O 的切线．

（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ． ∵sin ∠CBF =5

5

，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=

55

∵∠AEB =90°，AB =5， ∴BE =AB ·sin ∠1= 5 ∵AB =AC ，∠AEB =90°， ∴BC =2BE =2 5

在Rt △ABE 中，由勾股定理AE =AB 2－BE 2=2 5 ∴sin ∠2=255，cos ∠2=55

．

在Rt △CBG 中，可求得GC =4，GB =2，

∴AG =3． ∵GC ∥BF

∴△AGC ∽△ABF ． GC BF =AG AB ． ∴BF =GC ·AB AG =203

21．（2011北京市，21，5分） 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数

据，绘制统计图的一部分．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有量是多少万辆（结果保留三个有效数字）？ （2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为1．6L 的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它的碳排放量约为2．7吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示．如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市．．．仅排量为1．6L 的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？

【答案】解：（1）146×（1+19%）

=173．74 ≈174（万辆）

所以2008年北京市私人轿车拥有量约是174万辆． （2

）如图

（3）276×75

150

×2．7=372．6（万吨）

估计2010年北京市仅排量为1．6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为372．6万吨． 22．（2011北京市，22，5分）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形的面积．

O

A

B

D

C

E

O

A

B D

C 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点

D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点

E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BDE 的面积等于 ． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

排量（L ） 小于1．6 1．6 1．8

大于1．8

数量（辆）

29 75 31 15

图1

图2

如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF ． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ．

【答案】解：△BDE 的面积等于 1 ．

（1）如图

以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是 △CFP ．

（2）以AD 、BE |、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于3

4

．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．（2011北京市，23，7分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数

2

(3)3(0)y m x m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y

轴交于点C ．

（1）求点A 的坐标；

（2）当45A B C ∠=︒时，求m 的值；

（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数

2

(

3)3(0)y m x m x m =+-->的图象于N ．若只有当22n -<<时，点M 位于点N 的上

方，求这个一次函数的解析式．

【答案】解：（1）∵点A 、B 是二次函数y =mx 2+(m -3)x -3(m >0)的图象与x 轴的交点，

∴令y =0，即mx 2+(m -3)x -3=0

解得x 1=-1，x 2=3

m

，

又∵点A 在点B 左侧且m >0， ∴点A 的坐标为（-1，0）

A 1 C

1

B

F

E

D

A

B

C

P

2)由(1)可知点B 的坐标为(3

m ，0)，

∵二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，-3)． ∵∠ABC =45° ∴3m

=3 ∴m =1

(3)由(2)得，二次函数解析式为 y =x 2-2x -3 依题意并结合图象可知，一次函数的图象

与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2， 由此可得交点坐标为(一2，5)和(2，-3)．

将交点坐标分别代入一次函数解析式y =kx +b 中，

得⎩⎨⎧-2k +b =52k +b =-3 解得⎩

⎨⎧k =-2b =1

∴一次函数的解析式为y =-2x +1．

24．（2011北京市，24，7分）在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．

（1）在图1中证明C E C F =；

（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120A B C ∠=︒，FG ∥CE ，F G C E =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．

A 1 C

1 B

M N

P G

F

E D

A

C B

1 2

3 图 3

F

E

D A

C

B

图 1

G F

E D

A

C

B

图2

【答案】(1)证明：如图1．

∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF =∠DAF

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ．

∴∠DAF =∠CEF ，∠BAF =∠F ． ∴∠CEF =∠F ． ∴CE =CF

(2)∠BDG =45°

(3)解：分别连结GB 、GE 、GC （如图3） ∵AB ∥DC ，∠ABC =120° ∴∠ECF =∠ABC =120° ∵FG ∥CE 且FG =CE ．

∴四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE =CF ，

平行四边形CEGF 是菱形．

∴EG =EC ，∠GCF =∠GCE =1

2

∠ECF =60°

∴△ECG 是等边三角形 ∴EG =CG ， ① ∠GEC =∠EGC =60°

∴∠GEC =∠GCF ．∴∠BEG =∠DCG ． ②

由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ． ∴AB =BE ．

在平行四边形ABCD 中，AB =DC ． ∴BE =DC ． ③

由①②③得△BEG ≌△DCG ．

∴BG =DG ．∠1=∠2．∴∠BGD =∠1 +∠3=∠2+∠3=∠EGC =60° ∴∠BDG =180°－∠BGD 2

=60°．

25．（2011北京市，23，8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C ．（注：不含AB 线段）已知A （1-，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上． （1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；

（2）当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；

当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围； （3）已知□AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．

【答案】解：(1)分别连结AD、DB则点

D在直线AE上，

如图1．

∵点D在以AB为直径的半圆上，

∴∠ADB=90°

∴BD⊥AD．

在Rt△DOB，由勾股定理得BD=OD2+OB2= 2

∵AE∥BF，

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为 2 .

图1

(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是

b=2或-1当一次函数y=x+b的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1(3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：

①当点M在射线AE上时，如图2．

∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的上方．

∴P、Q两点都在 A D上，且不与点A、D重合．

∴0∵AM∥PQ且AM=PQ，

∴0∴-2∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的下方．此时，不存在满足题意的平行四边形．

③当点M在DB上时

设 DB中点为R，则0R∥BF

i)当点M在 DR（不包括点R)上时，如图4．

过点M作DR的垂线交 DB于点Q，垂足为

点S，可得S是MO的中点．

连结AS并延长交直线BF于点P．

∵O为AB的中点，可证S为AP的中点．

∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形．

∴0≤x<

2

2

图4

M

R

S Q

P

图3

M

图2

M P

Q

ii)当点M在 R B上时，如图5．

直线PQ必在直线AM的下方

此时，不存在满足题意的平行四边形．

④当点M在射线BF(不包括点B)上时，如图6．直线PQ必在直线AM下方．

此时，不存在满足题意的平行四边形．

综上，点M的横坐标x的取值范围是

-22

2．

M

P1

P2

P3

图6

M

R

P1 P2

P3

图5

2012年北京市高级中等学校招生考试

数 学 试 卷（答案）

学校 姓名 准考证号

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 9-的相反数是

A ．19

-

B ．1

9

C ．9-

D ．9

2． 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交

会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为 A ．96.01110⨯

B ．960.1110⨯

C ．106.01110⨯

D ．110.601110⨯

3． 正十边形的每个外角等于

A ．18︒

B ．36︒

C ．45︒

D ．60︒

4． 右图是某个几何体的三视图，该几何体是

A ．长方体

B ．正方体

C ．圆柱

D ．三棱柱

5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英

等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A ．

16

B ．1

3

C ．

12

D ．

23

6． 如图，直线A B ，C D 交于点O ，射线O M 平分A O C ∠，若76BO D ∠=︒，则B

O M ∠等于 A ．38︒ B ．104︒

C ．142︒

D ．144︒

7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量（度）

120

140

160

180 200 户数

2 3 6 7

2

则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是

8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

A．点M B．点N C．点P D．点Q

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．分解因式：269

mn mn m

++=．

10．若关于x的方程220

x x m

--=有两个相等的实数根，则m的值是．11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板D EF测量树的高度

A B，他调整自己的位置，设法使斜边D F保持水平，并且边

D E与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边

40cm

D E=，20cm

EF=，测得边D F离地面的高度

1.5m

A C=，8m

C D=，则树高AB=m．

12．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是

整数的点叫做整点．已知点()

04

A，点B是x轴

正半轴上的整点，记AO B

△内部（不包括边界）的

整点个数为m．当3

m=时，点B的横坐标的所有

可能值是；当点B的横坐标为4n（n为

正整数）时，m=（用含n的代数式表示．）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：()

1 01

π3182sin45

8-

⎛⎫

-+-︒- ⎪

⎝⎭

.

14．解不等式组：

43

42 1.

x x

x x

->

⎧

⎨

+<-⎩

，

15．已知0

2

3

a b =≠，求代数式

()2

2

5224a b a b a b

-⋅--的值．

16．已知：如图，点E A C ，在同一条直线上，A B C D ∥，

AB CE AC CD ==，．

求证：B C E D =.

17．如图，在平面直角坐标系

xOy 中，函数()40y x x

=

>的图象与一次函数

y kx k =-的图象的交点为()2A m ，.

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点，

且满足P A B △的面积是4，直接写出点P 的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形ABC D 中，对角线AC BD ，交于点E ，

9045302BAC CED D CE D E ∠=︒∠=︒∠=︒=

，，

22BE =．求C D 的长和四边形ABC D 的面积．

20．已知：如图，A B 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，O D BC ⊥于点D ，

过点C 作O ⊙的切线，交O D 的延长线于点E ，连结B E ． （1）求证：B E 与O ⊙相切；

（2）连结AD 并延长交B E 于点F ，若9OB =，2sin 3

ABC ∠=，求B F 的长．

21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修

订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发

布的有关数据制作的统计图表的一部分．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？ （3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每

年需新增运营里程多少千米？

22．操作与探究：

（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以1

3，再把所得数对应的点

向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.

点A B ，在数轴上，对线段A B 上的每个点进行上述操作后得到线段A B ''，其中点

A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数

是 ；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段A B 上

北京市轨道交通已开通线路

相关数据统计表（截至2010年底） 开通时间 开通线路 运营里程 (千米) 1971 1号线 31 1984 2号线 23 2003 13号线 41 八通线 19 2007 5号线 28 2008

8号线 5 10号线 25 机场线 28 2009

4号线 28 2010

房山线 22 大兴线

22 亦庄线 23 昌平线 21 15号线

20

的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是 ；

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABC D 及其内部的每

个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''。

已知正方形ABC D 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，求点F 的坐标。

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数23(1)2(2)2

y t x t x =++++

在0x =和2x =时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的

图象都经过点(3)A m -，求m 和k 的值；

（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B

在点C 的左侧），将二次函数的图象在点

B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移

(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将

（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。

24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，M 是A C 的中点，P 是线段B M 上的动点，将线

段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。

（1） 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段C Q 的延长线交射线B M 于点D ，

请补全图形，并写出C D B ∠的度数；

（2） 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段C Q 的延长线与射线B M 交于点D ，猜

想C D B ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段B M 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）

时，能使得线段C Q 的延长线与射线B M 交于点D ，且P Q Q D =，请直接写出α的范围。

25．在平面直角坐标系

xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，

给出如下定义：

若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.

例如：点1(12)P ，点2(35)P ，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”

为|25|3-=，也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）。 （1）已知点1

(0)2A -，B 为y 轴上的一个动点，

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线33

4y x =

+上的一个动点，

①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相

应的点C 的坐标；

②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的

“非常距离”

的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。

2012年北京中考数学试卷分析

一、各个知识板块所占分值

二、各个知识板块考查的难易程度

三、试卷整体难度特点分析

2012年北京中考数学刚刚结束, 今年试卷整体呈现出“新颖”的特点，与近几年中考试题以及今年一模、二模试题有比较大的差异。总体难度与去年持平，但是最难的题目难度并没有去年高。考生做起来会感觉不太顺手，此份试卷对于优秀学生的区分度将会比去年大，而对于中当学生的区分度将不会有太大变化。

此份试卷呈现出以下几个特点：

1.题目的背景和题型都比较新颖。例如选择题的第8题、解答题第25题，尤其是25题第

一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖，知识点融合度较高。考察的方式都是平常同学们很少见到的题型。

2.填空题第12题试题结构与往年不同，考察观察能力和精确作图能力。本试卷的填空题

第12题，需要同学们在试卷上画出比较精确的线段才能很好的发现其中的规律，而所体现的规律本身并不复杂，是一个等差数列问题。

3.弱化了对于梯形的考察。解答题第19题并没有像之前一样是一道题型的问题，取而代

之的是一道四边形的题目。难度并不大。

4.与圆有关的题目增多，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第24题第二问也可

以通过构造辅助圆来解决。

5.考察学生对于知识点的深入理解能力。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物

线位置关系的深入理解，难度较大。

四、试题重点题目分析

（2012年北京中考第23题）

23．已知二次函数23(1)2(2)2

y t x t x =++++

在0x =和2x =时的函数值相等。

（4） 求二次函数的解析式；

（5） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的

图象都经过点(3)A m -，求m 和k 的值；

（6） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B

在点C 的左侧），将二次函数的图象在点

B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移

(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上

平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。

【解析】⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为1x

=

则()()

22121t t +-

=+。

∴32t =-

∴2

32

2

y x x =-

++

1

⑵ ∵因二次函数图象必经过A 点 ∴()()2

1

3336

22

m =--+-+

=-×

又一次函数6y kx =+的图象经过A 点 ∴366

k -+=-，∴4

k

=

⑶ 由题意可知，点B C ，间的部分图象的解析式为()()1

312

y x x =--+，

13x -≤≤

则向左平移后得到的图象C 的解析式为()()312

y x n x n =--+++1

13n x n

---≤≤

此时平移后的解析式为46y x n =++

由图象可知，平移后的直线与图象C 有公共点， 则两个临界的交点为()10n --，与()30n -， 则()0416n n =--++ 23

n =

()0436n n =-++ 6n =

∴2

6

3

n ≤≤

【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n 的取值范围。

（2012年北京中考第24题）

24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，M 是A C 的中点，P 是线段B M 上的动点，将线

段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。

（1） 若α=60︒且点

P 与点M 重合（如图1），线段C Q 的延长线交射线B M 于点D ，

请补全图形，并写出C D B ∠的度数；

（2） 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段C Q 的延长线与射线B M 交于点D ，猜

想C D B ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段B M 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）

时，能使得线段C Q 的延长线与射线B M 交于点D ，且P Q Q D =，请直接写出α的范围。

【解析】

A （-3，-6）此为两个函数的切点

坐标为（-n-1,0）

坐标为（3-n,0）

⑴

，30C D B

∠=︒

⑵ 连接PC AD ，易证APD C PD △≌△

∴A P P C = A D B C D B ∠=∠ P A D P C D ∠=∠ 又∵PQ PA =

∴2PQ PC ADC CDB =∠=∠，PQC PCD PAD ∠=∠=∠ ∴180PAD PQD PQC PQD ∠+∠=∠+∠=︒ ∴()360180APQ ADC PAD PQD ∠+∠=︒-∠+=︒ ∴1801802ADC APQ α∠=︒-∠=︒-

∴21802C D B α∠=︒- ∴90C D B α∠=︒-

⑶ ∵90CDB α∠=︒-，且PQ QD =

∴21802PAD PCQ PQC CDB α∠=∠=∠=∠=︒- ∵点P 不与点B M ，重合 ∴BAD PAD M AD ∠>∠>∠ ∴21802ααα>︒-> ∴4560α︒<<︒

【评价】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。

（2012年北京中考第25题）

25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，

给出如下定义：

若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.

例如：点1(12)P ，点2(35)P ，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”

为|25|3-=，也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）。 （1）已知点1

(0)2A -，B 为y 轴上的一个动点，

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线334

y x =

+上的一个动点，

①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相

应的点C 的坐标；

②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的

“非常距离”

的最小值及相应的点E 和点C

的坐标。

【解析】⑴ ①()02-，或()02，

②

2

1

⑵ ①设C 坐标00334

x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭

， ∴当00324x x -=+

此时087

x =-

∴距离为

87

此时8

1577C ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，

. ②3

45

5E ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，

00334354

5

x x --=

+-

∴08

5

x =-

∴5

5C ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，

最小值1。

C

C

Q

C’

Q

Q ’

25

【评价】此题是第一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖。知识点融合度较高。需要同学们有较强的阅读理解题目的能力和数形结合能力。计算并不复杂，关键在于对于几何图形最值问题的探讨。

从第二题第一问的作图中可以发现，过C 点向x 、y 轴作垂线，当CP 和CQ 长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C 点到达C’点，其与点D 的“非常距离”都会增大。故而C 、D 为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。

发现这一点对于同学们更好的理解题意十分重要。

Q ’ C’ P P P ’ P ’

D

D O