2012年南昌一中、南昌十中第四次联考

数学试卷（理）

                   命题人：吴建民           审题人:  梁伟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 （    ）

A．            B。            C。            D。

2．函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为   (    )

    A．      B．    

    C．        D． 

3．已知直线和平面，，，，且在内的射影分别为直线和，则和的位置关系是  (      )                         

A．相交或平行     B。相交或异面     C。平行或异面     D。相交﹑平行或异面

4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形的   （  ）

A．AB边中线的中点                    B。AB边中线的三等分点（非重心）   

C．重心                                D。AB边的中点

5．下列各命题中正确的命题是 （   ）

①命题“或”为真命题，则命题“”和命题 “”均为真命题；

② 命题“”的否定是“”；

③“函数的最小正周期为错误！未找到引用源。”是“”的必要不充分条件；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。

A．②③              B．①②③      C．①②④        D．③④

6．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （     ）

A．            B 。           C。           D。  

7．已知函数， 

，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（     ）

    A．    B。

    C．    D。

8．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有，②对于任意的，都有，

    ③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是    (     )    

    A．    B． 

C．               D． 

9．已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，

 记表示第行的第个数，则（      ）

  A．          B。           C。         D。    

10．取棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为。 以上结论正确的是     (    )

A．①②⑤                                  B．①②③

C．②④⑤                                  D．②③④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则________________

12．某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的值为        

13．设是等比数列的前n项和，若，，成等差数列，则公比等于 ____________________。

14．底面边长为、侧棱长为的正四棱柱的个顶点都在球的表面上，是侧棱的中点，是正方形的中心，则直线被球所截得的线段长为        ．

15．已知正实数，记m为和中较小者，则m的最大值为      __________。

三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

    已知函数

    （Ⅰ）求的最小正周期；

    （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

17. （本小题满分12分）

已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量,  , 

（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形； 

（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积. 

18. （本小题满分12分）已知 且；

    ：集合，且．

    若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.

19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

    （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

    （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

    （3）求点G到平面BCE的距离．

20、（本小题满分13分）若由数列生成的数列满足对任意的其中 ，则称数列为“Z数列”。

   （I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；

   （II）若数列是“Z数列”，

   （III）若数列是“Z数列”，设求证

21、 （本小题满分14分） 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.

（1）求的值；   

（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；

（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

2012年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（理）

                                 参

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

答案　A

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.--------------------2n-3-------------------   ;     

12.------7 -------------------------------; 

解析 本题主要考查程序框图计算问题.

当；

；

；

；

；

；

；所以最后输出值为7

13.--------------------------1/3---------------------;

14.----------------- ----------------------------;

15.----------- ------------------------ ---------。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

 解：（Ⅰ） 

∴函数的最小正周期．                  …………………6分

（Ⅱ）∵，，

∴                              …………………9分

∴

∴在区间上的最大值为，最小值为0．     ……………12分

17. （本小题满分12分）

已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量,  , 

（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形； 

（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积. 

证明：(Ⅰ) ∵∥，  ∴，由正弦定理可知，

，其中R是外接圆的半径，

∴.

因此，为等腰三角形.                          …………………6分

（Ⅱ）由题意可知，，即

由余弦定理可知，即

，(舍去)

∴.                      …………………12分

18．（本小题满分12分）已知 且；

    ：集合，且．

    若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.

    解答：若成立，则，

    即当时是真命题；                          ……………………4分

    若，则方程有实数根，

    由，解得，或，

    即当，或时是真命题；                     ……………………8分

    由于∨为真命题，∧为假命题，∴与一真一假，

    故知所求的取值范围是．     ……………………12分

19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

    （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

    （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

    （3）求点G到平面BCE的距离．

    解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，

    ，，，

    （1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

    设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，

    显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD；       ……………………4分

    （2）设平面BCE的法向量为，

    则，且，

    由，，

    ∴，不妨设，则，即，

    ∴所求角满足，∴；       ……………………8分

    （3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，

    由（2）平面BCE的法向量为，

    ∴所求距离．                        ……………………12分

    解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，        

    设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，    

    连接FH，则，∴ ，        …………………2分

    ∴四边形ABFH是平行四边形，∴，                  

    由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；    ……………4分

    （2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，

    设所求的二面角的大小为，则，            ……………………6分

    易求得BC=BE，CE，

    ∴，

    而，

    ∴，而，

    ∴；                  ………………8分

    （3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE，

    由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD ，

    又，∴平面ABED，

    设G点到平面BCE的距离为，则即，

    由，，

    ∴即为点G到平面BCE的距离．………………12分

20、（本小题满分13分）若由数列生成的数列满足对任意的其中 ，则称数列为“Z数列”。

   （I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；

   （II）若数列是“Z数列”，

   （III）若数列是“Z数列”，设求证

解：（I）因为

所以    ………………2分

所以

所以是“Z数列”。    ………………4分

   （II）因为

，    ………………6分

所以，    

又    ………………8分

   （III）因为，

    ………………10分

又，

所以    ………………12分

所以    ………………13分

21. （本小题满分14分） 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.

（1）求的值；   

（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；

（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

解.（1） 图象与轴异于原点的交点，

图象与轴的交点，

由题意可得，即，                    ……………………2分

∴，                   …………………3分

（2）=…4分

令，在 时，，

∴在单调递增，                    ………………5分

图象的对称轴，抛物线开口向上

①当即时，               　………………6分

②当即时，   ……………7分

③当即时，

            …………………8分

,

所以在区间上单调递增      　　………………………9分

∴时，

①当时，有，

，

得，同理，　　…………………１０分

∴ 由的单调性知    、

从而有，符合题设.          ………………11分

②当时，，

，

由的单调性知 ，

∴，与题设不符 ……………12分

③当时，同理可得，

得，与题设不符.           ……………………13分

∴综合①、②、③得                       ……………14分

说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.