2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（　　）

A．{a|3＜a≤4} ．{a|3＜a＜4} ．{a|3≤a≤4} ．∅

2．复数=A+Bi（A，B∈R），则A+B的值是（　　）

A． ．0 ．﹣ ．﹣4

3．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（　　）

A．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　）

A．25 ．30 ．31 ．61

5．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（　　）

A．﹣ ． ．﹣ ．

6．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：

参照附表，得到的正确结论（　　）

A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”

C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”

D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”

7．已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列，则数列{an}的通项公式为（　　）

A．2n﹣3 ．2n﹣2 ．2n﹣1 ．2n﹣2+1

8．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2016）的值是（　　）

A．2018 ．2017 ．2016 ．2015

9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为P，以坐标原点O为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B，∠FPB=θ，则sinθ的值为（　　）

A． ． ．﹣1 ．﹣1

10．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　）

A．2 ．4 ．8 ．16

11．已知双曲线C为：﹣=1（a＞0，b＞0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，kPA、kPB分别为直线PA、PB的斜率，且kPA•kPB=3，过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1

B．﹣=1

C．﹣=1和﹣=1

D．﹣=1或﹣=1

12．直角三角形ABC，三内角成等差数列，最短边的边长为m（m＞0），P是△ABC内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m的值为（　　）

A．1 ． ． ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn=n2+6n+1（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为　　　　　　．

14．已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是　　　　　　．

15．如图所示三棱锥A﹣BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为　　　　　　．

16．已知函数f（x）=，g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表如下：

（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，且函数y=f（x）•g（x）在区间（0，m）上是单调函数，求m的最大值．

18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：

（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；

（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

20．已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．

21．已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=lnx．

（1）若a=1，求函数y=f（x）﹣3g（x）的极值；

（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．

四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]

22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．

（1）设l与C1相交于A、B两点，求|AB|的值；

（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．

（1）求不等式f（x）＜6的解集；

（2）若关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，求实数a的取值范围．

2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（　　）

A．{a|3＜a≤4} ．{a|3＜a＜4} ．{a|3≤a≤4} ．∅

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】由集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，知，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】解：∵集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，

∴，

解得3≤a≤4，

故选C．

2．复数=A+Bi（A，B∈R），则A+B的值是（　　）

A． ．0 ．﹣ ．﹣4

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

【解答】解：A+Bi====1﹣i，

∴A=1，B=﹣1，

∴A+B=0，

故选：B．

3．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（　　）

A．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

【考点】奇偶函数图象的对称性；充要条件．

【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．

【解答】解：例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，

所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”

当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=﹣f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”

所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件

故选B

4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　）

A．25 ．30 ．31 ．61

【考点】伪代码．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．

当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，

故选：C．

5．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（　　）

A．﹣ ． ．﹣ ．

【考点】平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．

【解答】解：∵已知，，向量与垂直，

∴（）•（）=0，

即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，

∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．

故选A．

6．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：

参照附表，得到的正确结论（　　）

A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”

C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”

D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”

【考点】性检验的应用．

【分析】根据P（K2＞3.841）=0.05，即可得出结论．

【解答】解：∵K2=≈4.762＞3.841，P（K2＞3.841）=0.05

∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．

故选：A．

7．已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列，则数列{an}的通项公式为（　　）

A．2n﹣3 ．2n﹣2 ．2n﹣1 ．2n﹣2+1

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】先根据Sn，an，成等差数列，得到2an=Sn+，继而得到2an﹣1=Sn﹣1+，两式相减，整理得：an=2an﹣1（n≥2），继而得到数列{an}是为首项，2为公比的等比数列，问题得以解决．

【解答】解：由题意知2an=Sn+，

2an﹣1=Sn﹣1+，

两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），整理得：an=2an﹣1（n≥2）

当n=1是，2a1=S1+，即a1=

∴数列{an}是为首项，2为公比的等比数列，

∴an=•2n﹣1=2n﹣2，

当n=1时，成立，

故选：B

8．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2016）的值是（　　）

A．2018 ．2017 ．2016 ．2015

【考点】二项式定理的应用．

【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1．再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a2016 =1，求得a1+a2+…+a2016 =0，从而求得要求式子的值．

【解答】解：在（1﹣2x）2016=a0+a2x+a2x2+…+a2016x2016 （x∈R）中，

令x=0，可得a0=1．

再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a2016 =1，∴a1+a2+…+a2016 =0，

∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2016）=2016a0+（a1+a2+…+a2016 ）=2016，

故选：C．

9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为P，以坐标原点O为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B，∠FPB=θ，则sinθ的值为（　　）

A． ． ．﹣1 ．﹣1

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求出圆O的方程，联立方程组解出B的横坐标，根据圆的性质和抛物线的性质得出sinθ=．

【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∴P（﹣1，0），∴圆O的方程为x2+y2=1．

联立方程组，消元得x2+4x﹣1=0，解得x=﹣2或x=﹣﹣2（舍）．

∵B在抛物线y2=4x上，

∴|BF|=﹣2+1=．

∵PF是圆O的直径，∴PB⊥BF，∴sinθ==．

故选：A．

10．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　）

A．2 ．4 ．8 ．16

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而求解其体积．

【解答】解：由三视图，得

该几何体为三棱锥，

有，

∴x2+y2=128，

∵xy≤，当且仅当x=y=8时，等号成立，

此时，V=××2×6×8=16，

故选：D．

11．已知双曲线C为：﹣=1（a＞0，b＞0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，kPA、kPB分别为直线PA、PB的斜率，且kPA•kPB=3，过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1

B．﹣=1

C．﹣=1和﹣=1

D．﹣=1或﹣=1

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设P（m，n），代入双曲线的方程，由A（﹣a，0），B（a，0），kPA•kPB=3，运用直线的斜率公式化简可得b=a，讨论M，N均在左支和分别在两支，由最小值为=4，和2a=4，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，即有=，

由A（﹣a，0），B（a，0），kPA•kPB=3，

可得•===3，即为b=a，

由过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，

可得当M，N都在左支上，即有MN垂直于x轴时取得最小值，且为=4，

解得a=，b=，可得双曲线的方程为﹣=1；

当M，N分别在两支上，即有MN的最小值为2a=4，即a=2，b=2，

可得双曲线的方程为﹣=1．

综上可得，双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．

故选：D．

12．直角三角形ABC，三内角成等差数列，最短边的边长为m（m＞0），P是△ABC内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m的值为（　　）

A．1 ． ． ．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】由条件和等差中项的性质求出各个内角，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、∠ACB=60°，可以得到∠ACP=∠PBC，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB、PC的长，即可得出结论．

【解答】解：∵直角三角形ABC，三内角成等差数列，设B=90°

∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，

由AB=m得，BC=m，AC=2m，

延长BP到B′，在BB'上取点E，使PE=PC，EB′=AP，

∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，

∴△PCE是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC，

∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP≌△B′CE，

∴∠PCA=∠B′CE，AC=B′C=2m，

∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP，∴∠ACB′=∠PCE=60°，

∵∠ACB=30°，∴∠BCB′=90°，

∵PE=PC，AP=B′E，AC=2AB=2m，BC=m，

∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′===m，

∵PA+PB+PC=，∴=m，得m=，

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn=n2+6n+1（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为　41　．

【考点】数列的求和．

【分析】由Sn=n2+6n+1逐一求出数列的前四项得答案．

【解答】解：由Sn=n2+6n+1，得a1=S1=8，

，

，

．

∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=8+9+11+13=41．

故答案为：41．

14．已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是　（3，21）　．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据f（1），f（2）的范围得到：1＜a+b＜2，3＜4a+2b＜8，根据不等式的性质求出3a+b的范围，从而求出f（3）的范围即可．

【解答】解：f（x）=ax2+bx（a，b∈R），

∵1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，

∴1＜f（2）﹣f（1）＜7，

令f（3）=mf（1）+nf（2），

即9a+3b=m（a+b）+n（4a+2b），

∴，

解得：m=3，n=﹣3

∴f（3）=3[f（2）﹣f（1）]，

∴3＜f（3）＜21，

故答案为：（3，21）．

15．如图所示三棱锥A﹣BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为　55π　．

【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．

【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．

【解答】解：如图，

∵三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，∴把它扩展为长方体，

它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径，

d==．

∴它的外接球半径是．

外接球的表面积是 4π．

故答案为：55π．

16．已知函数f（x）=，g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是　≤a≤　．

【考点】分段函数的应用．

【分析】判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的值域，根据若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立得到，f（x）的值域和g（x）的值域交集不是空集即可得到结论．

【解答】解：当＜x≤1时，f（x）=的导数f′（x）===＞0，

则此时函数f（x）为增函数，则f（）＜f（x）≤f（1），即＜f（x）≤1，

当0≤x≤时，f（x）=﹣x+为减函数，

则0≤f（x）≤，

即函数f（x）的值域为[0，]∪（，1]

函数g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），在[0，1]上为增函数，

则g（0）≤g（x）≤g（1），

即2﹣2a≤g（x）≤2﹣a，

即g（x）的值域为[2﹣2a，2﹣a]

若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，

则[2﹣2a，2﹣a]∩（[0，]∪（，1]）≠∅，

若[2﹣2a，2﹣a]∩（[0，]∪（，1]）=∅，

则2﹣a＜0或或2﹣2a＞1，

即a＞或a无解或0＜a＜，

即若[2﹣2a，2﹣a]∩（[0，]∪（，1]）≠∅，

则≤a≤，

故答案为：≤a≤．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表如下：

（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，且函数y=f（x）•g（x）在区间（0，m）上是单调函数，求m的最大值．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】（1）由πω+φ=0，πω+φ=π，可解得ω，φ，由Asin=2，可得A，即可得解函数f（x）的表达式．

（2）由图象平移可求g（x），从而可求y=f（x）•g（x）=2sin（x﹣），由x∈（0，m），可求﹣π＜x﹣π＜m﹣π，由题意可得﹣π＜m﹣π≤﹣，即可解得m的最大值为．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）由πω+φ=0，πω+φ=π，可得：ω=，φ=﹣，

由Asin=2，可得：A=2，

故函数f（x）的表达式为：f（x）=2sin（x﹣），…6分

（2）由图象平移可知：g（x）=2cos（x﹣），

所以y=f（x）•g（x）=2×2sin（x﹣）cos（x﹣）=2sin（x﹣），

因为x∈（0，m），

所以：﹣π＜x﹣π＜m﹣π，要使该函数在区间（0，m）上是单调函数，

则﹣π＜m﹣π≤﹣，

所以：0＜m≤，

所以m的最大值为．…12分

18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：

（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；

（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．

【分析】（I）根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，即可求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；

（Ⅱ）确定第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A，

第三组人数为100×0.06×5=30，第四组人数为100×0.04×5=20，第五组人数为100×0.02×5=10，

根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…

第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：．…

（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3．

且，则随机变量ξ的分布列为：

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；

（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…

（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．

设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…

=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），

取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．

设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，

即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），

依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…

于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…

20．已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．

（2）设E（），F（），由A，E，F三点共线，得到x1x2=﹣8，由已知条件利用导数性质求出P点坐标为（），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x2=﹣x1时取最小值，从而能求出直线EF方程为y=2．

【解答】解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，则|ME|=，

依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，

∴x2+（y﹣2）2=22+y2，整理，得x2=4y，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y．

（2）设E（），F（），

由A，E，F三点共线，得，∴x1x2=﹣8，

由x2=4y，得y=，∴，

∴PE的方程为，即y=．

同理PF的方程为y=，

解得P点坐标为（），即（），

∴|PE|==，

∴|PE|•|PF|=

=

=

=

≥=24，

当且仅当x2=﹣x1时，上式取等号，

此时EF的斜率为0，所求直线EF方程为y=2．

21．已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=lnx．

（1）若a=1，求函数y=f（x）﹣3g（x）的极值；

（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．

【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

【分析】（1）求出y=f（x）﹣3g（x）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；

（2）令h（x）=f（x）﹣g（ax）=ax2﹣x﹣ln（ax），则问题等价于h（x）min≥0，h′（x）=，令p（x）=2ax2﹣x﹣1，△=1+8a＞0，设p（x）=0有两不等根x1，x2，不妨令x1＜0＜x2，利用导数可求得h（x）min=h（x2）≥0；由p（x2）=0可对h（x2）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h（x2）≤0，由此求得x2=1，进而求得a值．

【解答】解：（1）当a=1时，y=f（x）﹣3g（x）=x2﹣x﹣3lnx，

导数y′=2x﹣1﹣=，

因为x＞0，所以当0＜x＜时，y′＜0，当x＞时，y′＞0，

所以函数y=f（x）﹣3g（x）在x=处取得极小值f（）﹣3g（）=﹣﹣3ln=﹣3ln，

函数y=f（x）﹣3g（x）没有极大值；

（2）假设存在f（x）≥g（ax）成立．

令h（x）=f（x）﹣g（ax）=ax2﹣x﹣ln（ax），即h（x）min≥0，

所以h′（x）=2ax﹣1﹣=，

令p（x）=2ax2﹣x﹣1，△=1+8a＞0，

所以p（x）=0有两个不等根x1，x2，x1 x2=﹣，不妨令x1＜0＜x2，

所以h（x）在（0，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，

所以h（x2）=ax22﹣x2﹣ln（ax2）≥0成立，

因为p（x2）=2ax22﹣x2﹣1=0，

所以ax2=，

所以h（x2）=﹣ln≥0，

令k（x）=﹣ln=+ln2x﹣ln（1+x），

k′（x）=﹣+﹣=﹣，

所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

所以k（x2）≤k（1）=0，又h（x2）=﹣ln≥0，

所以x2=1代入ax2=，得a=1，

所以a∈{1}．

故存在实数a的取值集合{1}，使得f（x）≥g（ax）成立．

四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]

22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．

【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．

【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，

因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，

又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，

所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，

连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，

所以，所以BC=2．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．

（1）设l与C1相交于A、B两点，求|AB|的值；

（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】本题（1）可以将曲线C1的方程转化为普通方程，再将直线l：（t为参数），方程代入后，求出交点A、B对应的参数t1，t2，得到两个参数的和与积，再利用交点点A、B两点的坐标与参数t1，t2的关系，求出|AB|的值，也可以将直线l的方程化成普通方程后，利用弦长公式求出出|AB|的值，得到本题结论；

（2）将曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线C2的方程，再将直线l平移到与曲线C2的相切，

利用根据的判断式为0，求出平移后的直线方程，利用两直线间距离公式，求出两平行线距离，得到曲线C2上的一个动点P到直线l的距离的最小值．

【解答】解：（1）∵曲线C1：（θ为参数），

∴消去参数θ，得到C1：x2+y2=4．

∵直线l：（t为参数），

∴（t+1）2+（）2=4，

∴4t2+2t﹣3=0．

∴（t2﹣t1）2=（t2+t1）2﹣4t1t2==．

设l与C1相交于A、B两点，则A（x1，y1），B（x2，y2），

|AB|2=

=[（1+t2）﹣（1+t1）]2+[]2

=4（t2﹣t1）2

=13．

∴|AB|=．

（2）∵把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，

∴由C1：x2+y2=4得

C2：（4x）2+（）2=4，

∴．

∵直线l：（t为参数），

∴y=x．

 将y=x+m代入，

∴，

令△=0，

，

∴m=．

取m=﹣，得到直线：y=x，

∵直线y=x与直线y=x的距离为：

=，

∴曲线C2上的一个动点P到直线l的距离的最小值为．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．

（1）求不等式f（x）＜6的解集；

（2）若关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，求实数a的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（1）原不等式等价于或或＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；

（2）利用绝对值不等式可得f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x﹣3|=4，依题意，解不等式|a﹣2|≥4即可求得实数a的取值范围．

【解答】解：（1）原不等式等价于或或＜0…

解得﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x≤3或3＜x＜4，

故原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜4}．…

（2）∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x﹣3|=4．…

又关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，

∴|a﹣2|≥4，即a﹣2≥4或a﹣2≤﹣4，解得a≥6或a≤﹣2，…

所以实数a的取值范围为a≥6或a≤﹣2．…