数值分析第五版答案

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,, , ,

解：是五位有效数字；

是二位有效数字；

是四位有效数字；

是五位有效数字；

是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .

其中均为第3题所给的数。

解：

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？

解：球体体积为

则何种函数的条件数为

又

故度量半径R时允许的相对误差限为

6．设，按递推公式  （n=1,2,…）

计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？

解： 

……

依次代入后，有

即，

若取, 

的误差限为。

7．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。

解：，

故方程的根应为

故 

具有5位有效数字

具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？

解：正方形的面积函数为

.

当时，若,

则

故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过

11．序列满足递推关系 (n=1,2,…),

若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：

又

又

计算到时误差为，这个计算过程不稳定。

12．计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

,  ,  ， 。

解：设，

若，，则。

若通过计算y值，则

若通过计算y值，则

若通过计算y值，则

通过计算后得到的结果最好。

第二章 插值法

2．给出的数值表

解：由表格知，

若采用线性插值法计算即，

则

若采用二次插值法计算时，

3．给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。

解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当时，

令

取

令

则

当时，线性插值多项式为

插值余项为

又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。

总误差界为

4．设为互异节点，求证：

（1） 

（2） 

证明

（1）令

若插值节点为，则函数的次插值多项式为。

插值余项为

又

  由上题结论可知

得证。

6．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为

设步长为h，即

若截断误差不超过，则

7．若，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

14．求及。

解：

若

则

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

解：

若，且插值多项式满足条件

插值余项为

由插值条件可知

且

可写成

其中是关于的待定函数，

现把看成上的一个固定点，作函数

根据余项性质，有

由罗尔定理可知，存在和，使

即在上有四个互异零点。

根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，

故在内至少有三个互异零点，

依此类推，在内至少有一个零点。

记为使

又

其中依赖于

分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即

在小区间上

16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

设

其中，A为待定常数

从而

21．若是三次样条函数，证明：

若，式中为插值节点，且，则

证明：

从而有

第三章 函数逼近与曲线拟合

1．，给出上的伯恩斯坦多项式及。

解：

伯恩斯坦多项式为

其中

当时，

当时，

2．当时，求证

证明：

若，则

7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。

解：

若，则

令，则，且，故

又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且

是在上带权的正交多项式。

又

8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式

解：

若，则区间上内积为

定义，则

其中

12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？

解：

令

则在上为奇函数

又的最高次项系数为1，且为3次多项式。

与0的偏差最小。

从而有

16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。

解：

若

且，则

则法方程组为

解得

故关于的最佳平方逼近多项式为

18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。

解：

按勒让德多项式展开

则

从而的三次最佳平方逼近多项式为

 第四章 数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若

令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。

令，则

故此时，

故

具有3次代数精度。

（3）若

令，则

令，则

令，则

从而解得

或

令，则

故不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。

5。推导下列三种矩形求积公式：

证明：

两边同时在上积分，得

即

两边同时在上积分，得

即

两连边同时在上积分，得

即