2020年贵州省黔西南州中考数学试卷

（考试时间：120分钟        满分：150分）

一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）

1．2的倒数是（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣    D．

2．某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（　　）

A．0.36×106    B．3.6×105    C．3.6×106    D．36×105

3．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．a3+a2＝a5    B．a3÷a＝a3    C．a2•a3＝a5    D．（a2）4＝a6

5．某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）

A．4，5    B．5，4    C．4，4    D．5，5

6．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（　　）

A．37°    B．43°    C．53°    D．54°

7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A．米    B．4sinα米    C．米    D．4cosα米

8．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2    B．m≤2    C．m＜2且m≠1    D．m≤2且m≠1

9．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）

A．y＝﹣    B．y＝﹣    C．y＝﹣    D．y＝

10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）

A．点B坐标为（5，4）    B．AB＝AD    

C．a＝﹣    D．OC•OD＝16

二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）

11．把多项式a3﹣4a分解因式，结果是　   　．

12．若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝　   　．

13．不等式组的解集为　   　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　   　．

15．如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是　   　．

16．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　   　．

17．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为　   　．

18．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了　   　个人．

19．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　   　．

20．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　   　．

三、解答题（本题6小题，共80分）

21．（12分）（1）计算（﹣2）2﹣|﹣|﹣2cos45°+（2020﹣π）0；

（2）先化简，再求值：（+），其中a＝﹣1．

22．（12分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．

根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　   　；

A．矩形

B．正五边形

C．菱形

D．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　   　（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有　   　个；

A．0

B．1

C．2

D．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

23．（14分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　   　名；

（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是　   　，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　   　；

（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

24．（14分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

25．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

参与试题解析

一、填空题

D．B．D．C．A．     C．B．D．B．D．

二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）

11．a（a+2）（a﹣2）．

12．8．

13．﹣6＜x≤13．

14．2．

15．y＝﹣2x．

16．．

17．1

18．10人．

19．57．

20．﹣．

三、解答题（本题6小题，共80分）

21．解：（1）原式＝4﹣﹣2×+1

＝4﹣﹣+1

＝5﹣2；

（2）原式＝[+]•

＝•

＝，

当a＝﹣1时，原式＝＝．

22．解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，

故选B．

（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．

故答案为（1）（3）（5）．

（3）命题中①③正确，

故选C．

（4）图形如图所示：

23．解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）；

（2）∵A级的百分比为：×100%＝15%，

∴∠α＝360°×15%＝54°；

C级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）．

如图所示：

（3）500×15%＝75（人）．

故估计优秀的人数为 75人；

（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，

∴选中小明的概率为．

故答案为：40；54°；75人．

24．解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得

＝，

解得：x＝2000．

经检验，x＝2000是原方程的根．

答：去年A型车每辆售价为2000元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得

y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），

y＝﹣300a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y＝﹣300a+36000．

∴k＝﹣300＜0，

∴y随a的增大而减小．

∴a＝20时，y有最大值

∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

25．解：（1）连接OD、DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，

∴DE垂直平分OB，

∴DB＝DO．

∵在⊙O中，DO＝OB，

∴DB＝DO＝OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠BDO＝∠DBO＝60°，

∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．

∵∠DBO＝60°，

∴∠CDB＝30°．

∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）答：这个确定的值是．

连接OP，如图：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．

∴＝＝，

又∵∠COP＝∠POE，

∴△OEP∽△OPC，

∴＝＝．

26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，

∴C（0，6），

∴OC＝6，

∵A（6，0），

∴OA＝6，

∴OA＝OC，

∴∠OAC＝45°，

∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD+PE＝2PE，

∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，

∵A（6，0），C（0，6），

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），

∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，

当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，

∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，

∵l∥y轴，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，

∴NF∥x轴，

由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

当x＝时，y＝，

∴F（，），

∴点N的纵坐标为，

设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），

∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，

∴点N的坐标为（，）或（，）．