2013四川高考数学理科试题及答案

数  学（理科）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合，集合，则（    ）

（A）       （B）          （C）        （D）

2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（    ）

（A）          （B）          （C）             （D）

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（    ）

4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（    ）

（A）                   （B）

（C）                    （D）

5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

（A）       （B）       （C）       （D）

6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

（A）           （B）         （C）            （D）

7．函数的图象大致是（    ）

8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（    ）

（A）            （B）             （C）              （D）

9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（    ）

（A）            （B）             （C）              （D）

10．设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（    ）

（A）          （B）         （C）         （D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．二项式的展开式中，含的项的系数是_________．（用数字作答）

12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则_________．

13．设，，则的值是_________．

14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是________    ．

15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：

①若三个点共线，在线AB上，则是的中位点；

②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分) 在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．

17．(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且．

（Ⅰ）求的值； 

（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影． 

18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

运行

运行

当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；

（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．

19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．

（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．

20．(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．

21．(本小题满分14分)已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．

（Ⅰ）指出函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；

（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．

参

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.

1.答案　A

解析　A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，∴A∩B＝{－2}∩{－2,2}＝{－2}，选A.

2.答案　B

解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.

3、答案　D

解析　由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.

4.答案　D

解析　命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.

5、答案　A

解析　T＝－，T＝π，∴ω＝2，

∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，

又φ∈，∴φ＝－，选A.

6、答案　B

解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0，∴所求距离为＝.选B.

7.答案　C

解析　对于函数y＝定义域为{x∈R，且x≠0}去掉A，当x<0时，3x－1>0，x2>0，∴y>0，去掉B，x=3时,y=1,x=4时，y<1,去掉D，选C.

8.答案　C

解析　由于lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝20－2＝18，选C.

9.答案　C

解析　设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互，由题意可知，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|X－Y|≤2)＝＝＝＝.

10．答案　A

解析　由于f(x)＝(a∈R)在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f－1(x)存在，由于y0∈[－1,1]，且f(f(y0))＝y0，∴f－1(f(f(y0)))＝f－1(y0)，即f(y0)＝f－1(y0)，∴y＝f(x)与y＝f－1(x)的交点在y＝x上．即＝x在x∈[－1,1]上有解，即＝x在[0,1]上有解．∴a＝ex＋x－x2，x∈[0,1]，a′＝ex－2x＋1，当0e0－2×1＋1＝0，∴a＝ex＋x－x2在[0,1]上递增，当x＝0时，a最小＝1；当x＝1时，a最大＝e，故a的取值范围是[1，e]，选A.

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分25分.

11. 答案　10

解析Tr＋1＝Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，由题意知，∴含x2y3的系数为C＝＝10.

12. 答案　2

解析　由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.

13、答案　

解析　∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.

14. 答案　{x|－7解析　令x<0，则－x>0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，由得0≤x＜5；由得－515、答案　①④

解析　①正确，因为C点到A、B的距离之和小于AB上其它点到A、B的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B、C在线段AD上，则线段BC上的任一点到A、B、C、D距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小．

三、解答题:共6小题,共75分.

16.解：设该数列公差为,前项和为.由已知,可得

.

所以,

解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

所以数列的前项和或.               ………….12分

17.解：由,得

,

即,

则,即.   ………….. 5分

由,得,

由正弦定理,有,所以,.

由题知,则,故.

根据余弦定理,有,

解得或(舍去).

故向量在方向上的投影为.  ………….12分

18. 解：.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;

当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故.  ……………3分

当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：

（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3.

故的分布列为

即的数学期望为1.                             ………12分

19.解：如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,

在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面.

由已知, ,是的中点,所以, ,则直线.

因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面.    …………………………………………………………………………….6分

解法一:

连接,过作于,过作于,连接.

由知,平面,所以平面平面.

所以平面,则.

所以平面,则.

故为二面角的平面角(设为).

设,则由, ,有,.

又为的中点,所以为的中点,且,

在中,;在中,.

从而, , ,

所以.

所以.

故二面角的余弦值为.   ………………12分

解法二: 

设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).

则,.

因为为的中点,所以分别为的中点,     

故,

所以, ,.

设平面的一个法向量为,则

即故有

从而

取,则,所以.

设平面的一个法向量为,则

即故有

从而

取,则,所以.

设二面角的平面角为,又为锐角,

则.

故二面角的余弦值为.   ………………12分

20．解：

所以，.

又由已知，,

所以椭圆C的离心率……………4分

由知椭圆C的方程为.

设点Q的坐标为(x,y).

(1)当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为

(2) 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.

因为在直线上，可设点的坐标分别为，则

.   又

由，得

，即

          ①

将代入中，得

                   ②

由得.

由②可知

代入①中并化简，得          ③

因为点在直线上，所以，代入③中并化简，得.

由③及，可知,即.

又满足，故.

由题意，在椭圆内部，所以，

又由有

且，则.

所以点的轨迹方程是，其中，，………..13分

21．解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.

当时，对函数求导，得.

因为，所以，

所以.

因此

当且仅当==1，即时等号成立.

所以函数的图象在点处的切线互相垂直时，的最小值为1…………7分

当或时，，故.

当时，函数的图象在点处的切线方程为

，即

当时，函数的图象在点处的切线方程为

，即.

两切线重合的充要条件是

由①及知，.

由①②得，.

设，

则.

所以是减函数.

则，

所以.

又当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是.

故当函数的图像在点处的切线重合时，的取值范围是.14分