2021高考数学新高考1卷含答案

2021 年普通高等学校招生全国统一考试

数    学

本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在 试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

1．设集合 A ={x | -2 <x <4}， B ={2,3, 4,5}，则 A   B =（    ）

A． {2}

B． {2, 3}

C． {3, 4}

D． {2, 3, 4}

【答案】B

2．已知 z =2 -i ，则 z (z +i)=（    ）

A． 6 -2i

【答案】C

B． 4 -2i

C． 6 +2i

D． 4 +2i

2

3．已知圆锥的底面半径为

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． 2    B． 2 2    C． 4    D． 4 2

【答案】B

4．下列区间中，函数 f (x)=7 sin ⎛x -π⎫单调递增的区间是（    ）

    6 ⎪

A． ⎛0 π⎫

⎝    ⎭

⎛π    ⎫

⎛    3π⎫

⎛3π    ⎫

，    B．    ,π

C． π,

D．    , 2π

    2 ⎪

2    ⎪

    2 ⎪

2    ⎪

⎝    ⎭    ⎝    ⎭

⎝    ⎭    ⎝    ⎭

【答案】A

x2

5．已知 F1  ，F2 是椭圆 C ：

y2

+    =1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则

MF1    ⋅MF2     的最大值为

9    4

A．13    B．12    C． 9    D． 6

【答案】C

sin θ(1 +sin 2θ)

6．若 tanθ=-2 ，则    =（    ）

sinθ+cosθ

A． -6

5

【答案】C

B． -2

5

C． 2

5

D． 6

5

7．若过点 (a,b)可以作曲线 y =ex 的两条切线，则（    ）

A． eb  <a

【答案】D

B． ea  <b

C． 0 <a <eb   D． 0 <b <ea

8．有 6 个相同的球，分别标有数字1 ， 2 ，3 ， 4 ，5 ，6 ，从中有放回的随机取两次，每次 取1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1 ”，乙表示事件“第二次取出的球的数 字是 2 ”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8 ”，丁表示事件“两次取出的球的数

字之和是 7 ”，则（

题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。

9．有一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn ，由这组数据得到的新样本数据 y1  ， y2 ，…， yn ，其中

yi  =xi  +c (i =1, 2, , n)， c 为非零常数，则（  ）

A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

10．已知 O 为坐标原点，点 P1    (cosα,sinα)， P2  (cos β, -sin β)，

P3  (cos(α+β), sin (α+β))， A(1, 0)，则（    ）

A． OP1        =OP2

B． AP1      =

AP2

C． OA ⋅OP3    =OP1   ⋅OP2

D． OA ⋅OP1    =OP2   ⋅OP3

【答案】AC

11．已知点 P 在圆 ( x - 5)2  + ( y - 5)2  = 16 上，点 A(4, 0) ， B (0, 2) ，则（    ）

A．点 P 到直线 AB 的距离小于10

B．点 P 到直线 AB 的距离大于 2

C．当 ∠PBA 最小时， PB =3 2

D．当 ∠PBA 最大时， PB =3 2

【答案】ACD

12．在正三棱柱 ABC -A1B1C1  中，AB =AA1   =1 ，点 P 满足 BP =λBC +μBB1  ，其中 λ∈[0,1]，

μ∈[0,1]，则（    ）

A．当 λ=1 时，   AB1P 的周长为定值

B．当 μ=1 时，三棱锥 P -A1BC 的体积为定值

1

C．当 λ=1 时，有且仅有一个点 P ，使得 A P ⊥BP

2

D．当 μ=1 时，有且仅有一个点 P ，使得 AB ⊥平面 AB P

2    1    1

【答案】BD

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．已知函数 f (x)=x3 (a ⋅2x -2-x )是偶函数，则 a =    ．

【答案】1

14．已知 O 为坐标原点，抛物线 C ：y2 =2 px (p >0)的焦点为 F , P 为 C 上一点，PF 与 x 轴 垂直， Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥OP ．若 FQ =6 ，则 C 的准线方程为    ．

【答案】 x =-3

2

15．函数 f (x)=2x -1 -2 ln x 的最小值为    ．

【答案】1

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格

1

为 20 dm ⨯12 dm 的长方形纸，对折1 次共可以得到10 dm ⨯12 dm ， 20 dm ⨯6 dm 两种规 格的 图形，它 们的面积之和 S =240 dm2 ， 对折 2 次共可 以得到 5 dm ⨯12 dm ，

2

10 dm ⨯6 dm ， 20 dm ⨯3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S =180 dm2 ，以此类

推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为    ；如果对折 n 次，那么

n

2

∑Sk =    dm  ．

k =1

【答案】 5 ， 720 -240 ⋅n +3

2n

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10 分）

n    1    n+1    ⎨    + 2

已知数列{a }满足 a  =1 ， a    =⎧an  +1

⎩an

n为奇数 ．

n为偶数

（1）记 bn   = a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列 {bn }的通项公式；

（2）求 {an } 的前 20 项和．

【答案】（1） 2n 为偶数，

则 a    =a

+2 ， a

=a    +1 ，

2n+1    2n

2n+2    2n+1

∴a2n+2  =a2n +3 ，即 bn+1 =bn  +3 ，且 b1   =a2  =a1  +1 =2 ，

∴{bn }是以 2 为首项，3 为公差的等差数列，

∴b1  =2 ， b2  =5 ， bn  =3n -1 ．

（2）当 n 为奇数时， an =an+1 -1 ，

∴{an }的前 20 项和为

a1  +a2 +  +a20

= (a1  + a3  +  + a19 ) + (a2  + a4  +  + a20 )

= ⎣⎡(a2  - 1) + (a4  - 1) +  + (a20  - 1)⎦⎤ + (a2  + a4  +  + a20 )

= 2(a2  + a4  +  + a20 ) - 10 ． 由（1）可知，

a2 +a4 +  +a20  =b1  +b2  +  +b10

=2 ⨯10 +10 ⨯9 ⨯3

2

=155 ．

∴{an }的前 20 项和为 2 ⨯155 - 10 = 300 ．

18．（12 分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ， B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类 问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答 正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结 束． A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分； B 类问题中的每个问题回答 正确得 80 分，否则得 0 分．

已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6 ，且能正 确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【答案】（1） X 的取值可能为 0 ， 20 ，100 ，

P (X =0)=1 -0.8 =0.2 ，

P (X =20)=0.8 ⨯(1 -0.6)=0.32 ，

P (X =100)=0.8 ⨯0.6 =0.48 ，

∴X 的分布列为

P (Y =0)=1 -0.6 =0.4 ，

P (Y =80)=0.6 ⨯(1 -0.8)=0.12 ，

P (Y =100)=0.6 ⨯0.8 =0.48 ，

∴Y 的分布列为

∴E (Y )>E (X )，

∴应先答 B 类题．

19．（12 分）

记   ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 b2  =ac ，点 D 在边 AC 上，

BD sin ∠ABC =a sin C ．

（1）证明： BD =b ；

（2）若 AD =2DC ，求 cos∠ABC ．

【答案】

（1）在  ABC 中，    AC    =AB    ① ，

sin ∠ABC

  BD sin ∠ABC =a sin C ，

sin C

∴BD  =    a        ② ，

sin C

sin ∠ABC

联立 ①② 得 AB =AC ，即 ac =b ⋅BD ，

BD    a

 b2  =ac ，

∴BD =b ．

（2）若 AD =2DC ，

a2  +b2  -c2

  ABC 中， cos C =    ③ ，

2 ⋅a ⋅b

a   +

2

2    ⎛b ⎫

⎪

-b2

 BCD 中， cos C =    ⎝3 ⎭        ④ ，

2 ⋅a ⋅b

3

 ③=④ ，

⎡

2

∴(a2  + b2  - c2 ) = 3  a2  + ⎛ b ⎫

⎤

-b2    ，

⎢    ⎪    ⎥

⎢    ⎝3 ⎭    ⎥⎦

2

整理得 a2 +b2  -c2  =3a2  +b  -3b2 ，

3

∴2a2 -11 b2 +c2 =0 ，

3

 b2  =ac ，

∴6a2 -11ac +3c2  =0 ，即 a =c 或 a =3 c ，

3    2

2

若 a =c 时， b2  =ac =c ，

3

则 cos∠ABC =

3

a2  +c2  -b2

2 ⋅a ⋅c

c 2    c 2

+c2 -

=9    3  2 c2

3

7 c2

=9       2 c2

3

=7 （舍），

6

若 a =3 c ， b2 =ac =3 c2 ，

2

则 cos∠ABC =

2

a2  +c2  -b2

2 ⋅a ⋅c

9 c2  +c2  -3 c2

=4          2    3c2

7 c2

=4       3c2

=7 .

12

20．（12 分）

如图，在三棱锥 A -BCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ， AB =AD ， O 是 BD 的中点．

（1）证明： OA ⊥CD ；

（2）若  OCD 是边长为1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE =2EA ，且二面角

E -BC -D 的大小为 45︒，求三棱锥 A -BCD 的体积．

【答案】

（1）  AB =AD ， O 为 BD 中点，

∴AO ⊥BD ，

  AO ⊂面 ABD ，

面 ABD ⊥面 BCD 且面 ABD   面 BCD =BD ，

∴AO ⊥面 BCD ，

∴AO ⊥CD ．

（2）以 O 为坐标原点， OD 为 y 轴， OA 为 z 轴，垂直 OD 且过 O 的直线为 x 轴，

⎛3  1    ⎫

设 C    ,   ,0 

， D (0,1, 0)， B (0, -1, 0)， A(0, 0, m)， E ⎛0, 1 , 2 m ⎫,

    ⎪⎪        ⎪

⎝2   2    ⎭

⎝    3  3    ⎭

        ⎛    ⎫

  EB= ⎛0，-4 , -2 m ⎫， BC =3 , 3 ,0 ⎪，

    3    3    ⎪

2    2    ⎪

⎝    ⎭    ⎝    ⎭

设 n1   =(x1 , y1 , z1 )为面 EBC 法向量，

⎧EB ⋅n

=-4 y

-2 mz  =0

⎪    1

3  1    3    1

∴⎨             ，

⎪BC ⋅n

=3 x

+3 y  =0

⎪⎩    1

2    1    2  1

⎧⎪2 y1  +mz1   =0

∴⎨    ，

⎪⎩x1                   +

3y1  =0

令 y  =1 ，∴z

=-2 ， x  =-3 ，

1    1    m    1

∴n1

=⎛-

3，1，-2 ⎫，

m ⎪



⎝    ⎭

面 BCD 法向量为 OA =(0, 0, m)，

cos

1

n ,OA

=    -2    =2 ，解得 m =1，

m ⋅4 +4    2

m2

∴OA =1 ，

∴S  ABD

=1 ⨯BD ⨯OA =1 ⨯2 ⨯1 =1 ， 2    2

3

1

VA-BCD =    ⋅S  ABD  ⋅xc  =    ．

3    6

21．（12 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1 (-

17, 0)， F2 (

17, 0)，点 M 满足

MF1     -MF2

=2 ．记 M 的轨迹为 C ．

（1）求 C 的方程；

（2）设点 T 在直线 x =1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A ， B 两点和 P ， Q 两点，

2

且 TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．

【答案】（1）  MF1     -MF2

=2 ，

∴轨迹 C 为双曲线右半支， c2  =17 ， 2a =2 ，

∴a2  =1， b2  =16 ，

2

∴x2 -y  =1(x >0)．

16

（2）设 T ⎛1 , n ⎫，

2    ⎪

⎝    ⎭

⎛    1 ⎫

2

设 AB ： y -n =k1 x -    ⎪，

⎝    ⎭

⎧    ⎛    1 ⎫

2

⎪y -n =k1 x -    ⎪

⎨

2

联立 ⎪    ⎝    ⎭，

⎪x2  -y   =1

⎩⎪    16

∴(16 -k 2 )x2 +(k 2  -2k n)x -1 k 2  -n2 +k n -16 =0 ，

1    1    1

4  1    1

∴x  +x

k 2  -2k n

=1    1     ，

1

1    2    k 2  -16

1 k 2  +n2  -k n +16

4

1    1

x  +x  =    ，

1

1    2    k 2  -16

TA =

1 +k 2  ⎛x

-1 ⎫，

1    1    2 ⎪

⎝    ⎭

TB =

1 +k 2 ⎛x

-1 ⎫，

1    2    2 ⎪

⎝    ⎭

∴TA ⋅TB =(1 +k 2 )⎛x

-1 ⎫⎛x

-1 ⎫

1      1

2 ⎪2    2 ⎪

⎝    ⎭⎝    ⎭

1

(n2  + 12)(1 + k 2 )

=    ，

1

k 2  -16

2 

2

⎪

设 PQ ： y -n =k  ⎛x -1 ⎫，

⎝

⎭

(n2  + 12)(1 + k 2 )

同理 TP ⋅TQ =    2       ，

2

k 2  -16

  TA ⋅TB  =TP ⋅TQ ，

1 +k 2

1 +k 2

17    17

∴    1      =    2       ，1 +    =1 +    ，

k 2  -16

k 2  -16

k 2  -16

k 2  -16

1    2    1    2

2    2    2    2

∴k1

-16 =k2

-16 ，即 k1

=k2   ，

  k1  ≠k2 ，

∴k1  +k2  =0 .

22．（12 分）

已知函数 f (x)=x (1 -ln x)．

（1）讨论 f (x)的单调性；

（2）设 a ， b 为两个不相等的正数，且 b ln a -a ln b =a -b ，证明： 2 <1 +1 <e ．

a    b

【答案】（1） f (x)=x (1 -ln x), x ∈(0, +∞)

'

∴f  (x)=1 -ln x -1 =-ln x

∴x ∈(0,1), f ' (x)>0, f (x)↗

x ∈(1, +∞), f ' (x)<0, f (x)↘

∴f (x)在 (0,1)单调递增， f (x)在 (1, +∞)单调递减

（2）由 b ln a -a ln b =a -b ，得 -1 ln 1 +1 ln 1 =1 -1

a    a    b    b    b    a

即 1 ⎛1 -ln 1 ⎫=1 ⎛1 -ln 1 ⎫

a     a ⎪    b     b ⎪

⎝    ⎭    ⎝    ⎭

令 x =1 ， 1 =x

1    a    b    2

则 x1 , x2 为 f (x)=k 的两根，其中 k ∈(0,1)． 不妨令 x1 ∈(0,1)， x2 ∈(1, e)，则 2 -x1  >1

先证 2 <x +x

，即证 x

>2 -x

1    2    2    1

即证 f (x2 )=f (x1 )<f (2 -x1 )

令 h (x)=f (x)-f (2 -x)

则 h' (x)=f ' (x)+f ' (2 -x)

=-ln x -ln (2 -x)

=-ln ⎡⎣x (2 -x)⎤⎦

  x ∈(0,1)

∴x (2 -x)∈(0,1)

∴h' (x)>0 恒成立，∴h (x)↗

∴h (x)<h (1)=0

∴f (x1 )<f (2 -x1 )

∴2 <x1  +x2 得证

同理，要证 x +x  <e

1    2

即证 f (x2 )=f (x1 )<f (e -x1 )

令 ϕ(x)=f (x)-f (e -x), x ∈(0,1)

0

则 ϕ' (x)=-ln ⎡⎣x (e -x)⎤⎦，令 ϕ' (x )=0

'

x ∈(0, x0 ),ϕ(x)>0,ϕ(x)↗

'

x ∈(x0 ,1),ϕ(x)<0,ϕ(x)↘

又 x >0 ， f (x)>0 ，且 f (e)=0

故 x →0 ， ϕ(0)>0 ，

ϕ(1)=f (1)-f (e -1)>0

∴ϕ(x)>0 恒成立

∴x1  +x2 <e 得证

∴2 <1 +1 <e

a    b