线性代数模拟题一及参

一、填空题

. 行列式          .

. 若行列式，则          .

. 设三维向量，，若向量满足，则          .

. 设是三阶方阵，将的第一行与第二行交换得到矩阵，则          .

. 三阶方阵的逆矩阵的行列式的值为，则行列式          .

. 设，矩阵满足关系式，则          .

. 设阶方阵，则的逆阵          .

. 设是矩阵，且的秩，又，则          .

. 设阶矩阵中所有元素都为，则          .

. 已知，，线性相关，则          .

. 设是阶正交阵，是维单位向量，则向量的长度          .

. 设，，是正交向量组，则          .

. 若是阶方阵的特征值，则的特征值是          .

. 设三阶方阵有三个不同的特征值，其中两个特征值分别为，已知，则的第三个特征值为          .

. 已知四阶矩阵与相似，的特征值为，为四阶单位矩阵，则          .

. 设二阶实对称矩阵的特征值为，则          .

. 设为三阶实对称矩阵，和分别为的对应于不同特征值的特征向量，则数         .

. 已知三阶实对称矩阵的特征多项式为，则二次型的正惯性指数为 .

. 二次型为正定，则应满足条件          .

. 设三阶实对称矩阵满足，且，若为正定矩阵，则数应满足的条件是          .

二、单项选择题

. 设为阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是

 .     为任意阶方阵.     .     为阶方阵.     答 【    】

. 设是两个阶方阵，则下列结论中正确的是

 .      .      .      .   答 【    】

. 设齐次线性方程组有非零解，则必有

 .         .         .         .                    答 【    】

.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是

 .                      .

 .                   .                           答 【    】

.设向量组，，，，则下列结论中正确的是

 线性无关.                      不能由线性表示.

 能由线性表示，且表示法唯一.     能由线性表示，但表示法不唯一.     答 【    】

. 设有向量组，，，，，则该向量组的最大无关组是

 .         .         .         .           答 【    】

. 设是正交矩阵，是的第列，则与的内积等于

 .                .                 .                 .                  答 【    】

. 设三维列向量组线性无关，则是

 奇异矩阵.          对称矩阵.           正交矩阵.           可逆矩阵.          答 【    】

. 设二阶矩阵满足，，则

 .                .                 .                 .             答 【    】

. 设矩阵与对角阵相似，则参数的值分别为

 .      .      .      .               答 【    】

. 设是正定矩阵，则的取值范围是

 .           .           .           .                   答 【    】

. 设，则有一个非零特征值为

 .                .                 .                 .                  答 【    】

. 设，则行列式的值为

 .            .             .             .                            答 【    】

. 设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于

 .                .                 .                 .                答 【    】

. 设，令，则经线性变换后所得到的二次型为

 .         .

 .                     .                答 【    】

二、计算题：

. 计算下列四阶行列式： .   .

. 已知矩阵，，，求及.

. 设为三阶矩阵，且满足，又，求矩阵.

. 求解齐次线性方程组

. 设有非齐次线性方程组 问取何值时，方程组有解？在方程组有解时，求其通解.

. 已知向量组，，，

（1）求该向量组的秩，判别向量组的线性相关性，并求一个最大无关组.（2）将表为的线性组合.

. 设三阶方阵的特征值为，，，所对应的特征向量分别为，，

，求.

. 设， 求一个可逆矩阵，使为对角阵.   写出对应的二次型.

. 设二次型.

 用矩阵记号写出二次型；   求一个正交变换，把二次型化为标准形； 判别二次型的正定性.

. 已知为正定二次型，

 确定的取值范围；   写出的规范形.

. 求二次型的规范形.

四、证明题：

. 设是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是该方程组的一个基础解系.

. 证明：三维向量空间中向量集合是向量空间，并求出它的维数和一个基.

. 设是阶矩阵的属于特征值的特征向量，证明：一定是的属于特征值的特征向量.

《线性代数》模拟题（一）参

一、填空题

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二、单项选择题

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二、计算题：

.解  （法一）（展开法则）.

(法二)（上三角）.

  .

. 解  .记，则，其中

，故.

. 解  （法一）由题设，得，即，其中，，知存

在，则.又，从而.故

.

（法二）由题设，得，即，其中.由

，

知可逆，且.

.解  ，则故通解为.

.解  ，当时，，方程

组有无穷多解.此时，则故通解为

.

.解  （1）设，则，知，故该向量组的秩为，

线性相关.由于，即线性无关，故即为所求的一个最大无关组.

（2）若令，则由，知.故所求的表示式为.

.解  因的特征值互不相等，所以与对角阵相似，即有可逆矩阵，使，其中

.故.

.解  由，求得的

特征值为，.

当时，解.由，得基础解系为.

当时，解.由，得基础解系为，.

故所求的一个可逆矩阵为，并使.

 .

.解   .

 ，求得的特征值为，

.

当时，解.由，得基础解系为，将单位化，得.

当时，解.由，得基础解系为，，将单位化，得，.故正交矩阵为，并使.所求的一个正交变换为，标准形为.

 由于的标准形的三个系数全为正（或的矩阵的特征值全为正），故为正定二次型.

.解   的矩阵，则，，即有

及，故所求的的取值范围为.

 由于三元二次型为正定二次型，所以的正惯性指数为，的规范形为.

.解 

，据此知原二次型的规范形为.

注  本题中二次型的标准形（即合同标准形）也是.

四、证明题：

. 证明  （法一）设有数，使，即.

因线性无关，所以 此方程组的系数行列式为，则方程组只有零解，即.

因此线性无关.依题设知是的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知

也是该方程组的三个解向量.因是的三个线性无关的解向量，故

是该方程组的一个基础解系.

（法二），记为.因，知可逆，所以.因矩

阵的列向量组线性无关，则，从而.故的列向量组线性无关.

依题设知是的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知也是该方程组的三个解

向量.因是的三个线性无关的解向量，故是该方程组的一个基础解系.

.解  证明：因齐次线性方程组的系数矩阵的秩，知有非零解，所以集合是由

的所有解向量构成的非空集合.又根据齐次线性方程组的解向量的性质知，对，有；，有，即集合对向量的加法及乘数封闭，故集合是向量空间.

因为的系数矩阵的秩，所以的基础解系中有个线性无关的解向量，即向量空间的基中含有个向量，故向量空间的维数.由此知的任两个线性无关的解向量都是的基.

.证明  依题设，有，则，即，，故依特征值和特征

向量的定义，一定是的属于特征值的特征向量.