贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学(理)试题 含解析

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贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

将A中的元素代入B中的解析式，求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

【详解】∵集合，

∴，

∴ ，

故选：C．

【点睛】本题主要考查交集的定义及求解，涉及指数函数的值域问题，属于基础题．

2.已知为虚数单位，若复数，则复数的虚部为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得，再求出虚部即可．

【详解】∵，

∴复数的虚部等于．

故选：B．

【点睛】本题考查了复数的除法运算法则、虚部的定义，属于基础题．

3.等差数列中，与是方程的两根，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得+＝4＝+，代入所求即可得解．

【详解】∵与是方程的两根，

∴+＝4＝+，

则．

故选C．

【点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．

4.若，，，则实数，，之间的大小关系为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

判断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果．

【详解】∵，∴a=20.3＞20=1，

∵, ∴b=，

又，即0所以．

故选：B．

【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题．

5.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题：

①若，，则    ②若，，，则

③若，，则    ④若，，，则

其中正确命题的序号是（   ）

A. ①④    B. ①②    C. ②③④    D. ④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间直线和平面平行，垂直的性质分别进行判断即可．

【详解】①若，，则α∥或α与相交如墙角处的三个平面，①错误；

②若α⊥β，m⊂α，，则可能m与相交或或异面，故②错误

③若，，则可能或异面，故③错误，

对于④若，，，则，由面面平行的性质定理可知正确，④正确．

故选D.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判定和性质，考查了空间想象能力，属于基础题．

6.函数的图像大致是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性及极限思想进行排除即可．

【详解】f（x），则f（x）不是偶函数，排除A，B，

当x→+∞，4x→+∞，则f（x）→0，排除C，

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性以及利用特殊值、极限思想是解决本题的关键．

7.在直角梯形中，，，，，是的中点，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

由数量积的几何意义可得，，又由数量积的运算律可得

，代入可得结果.

【详解】∵，

由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，

又在方向的投影为=2，

∴，同理，

∴，

故选D.

【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.

8.设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

⇒0【详解】∵=，当时，,

此时令，则y=+在上，满足y>1,

反之，当时，,但不一定有，比如：，

∴“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查了三角函数求值、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，涉及二次函数求值域的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9.在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得所有基本事件的个数，再求甲去梵净山的所有情况：根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人去梵净山，②，甲和乙、丙、丁中1人去梵净山，分别求出每一种情况的方案的数目相加，由古典概型概率公式计算可得答案．

【详解】根据题意，满足每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人的所有基本事件的个数为C42 A33=36种，

若满足甲去梵净山，需要分2种情况讨论：

①，甲单独一个人去梵净山， 将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C31A22＝6种情况，则此时有6种方案；

②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，

先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起去梵净山，有C31＝3种情况，

将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A22＝2种情况，

则此时有2×3＝6种方案；

则甲去梵净山的方案有6+6＝12种；

所以甲去梵净山的概率为.

故选：B．

【点睛】本题考查概率及计数原理的应用，注意优先考虑排列问题中约束条件多的元素，属于中档题．

10.2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况。为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：

根据图中（岁以上含岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（    ）

A. 样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通

B. 样本中多数女性是岁以上

C. 岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多

D. 样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高

【答案】C

【解析】

【分析】

根据两幅图中的信息，对选项中的命题判断正误即可．

【详解】由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A正确；

由右图知女性中岁以上的占多数，B正确；

由右图知，岁以下的男性人数比岁以上的女性人数少， C错误；

由右图知样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D正确．

故选：C．

【点睛】本题考查了等高条形图的应用问题，也考查了对图形的认识问题，是基础题．

11.设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.

【详解】由题意知sin，∴，

∴，随n的增大而增大，∴,

∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，

∴正整数的最小值为3.

【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

12.已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件得到OA=OB=OF=c，过O作OC则C为AF的中点，利用等腰三角形中的边角关系，结合双曲线的定义得到，利用的范围求得结果.

【详解】如图：∵，∴F在以AB为直径的圆上，O为AB中点，则OA=OB=OF=c，

且, 过O作OC则C为AF的中点，∴CF=，OC=，

∴AE=，AF=，∴，

∴，∴，

故选D.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查了双曲线的定义的应用，涉及三角函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若实数，满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．

【详解】作出约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：

由得A（,），

由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，

易知过点A时直线在y上截距最小，

所以的最小值为+．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．

14.已知某几何体三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是矩形，俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球表面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先还原几何体得到直三棱柱，再找到球心的位置，利用垂径定理求得半径，代入表面积公式求解即可.

【详解】还原三视图可得如图直三棱柱，因为底面为直角三角形， ∴其外接球球心在底面斜边BC的中点D的正上方O处，且OD=2,所以半径，

∴外接球表面积为.

故答案为.

【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体及外接球的表面积应用问题，找到球心是解题的关键，是基础题．

15.阅读材料：

求函数的导函数

解：

借助上述思路，曲线，在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用材料中的求导方法，将，先两边同时取对，变为，再对两边同时求导，得到，进而求得切线的斜率，求得切线方程.

【详解】∵,∴,

∴,

∴=,

∴,

当x=1时，，

∴曲线，在点处的切线方程为y-1=4(x-1),

即，

故答案.

【点睛】本题考查了导数的运算法则的应用及复合函数的导数的求法，考查了导数的几何意义，考查了阅读理解的能力，属于中档的创新题型.

16.抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°，从而得到直线AB的方程，再与抛物线联立，求得A点坐标，求得切线方程，与x=-1联立，求得M的坐标．

【详解】作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，

连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E

∵3，∴设||＝m，则||＝3m，

由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得

||＝||＝m，||＝||＝3m，

∴||＝2m

因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°

所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，

得直线AB的斜率k＝tan60°．

直线AB的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x，可得3x2﹣10x+3＝0，

∴x＝3或x，

∵A在x轴上方，

∴A（3，，∴设过A的切线的斜率为m，则切线的方程为，

与联立得到，，可得，

∴过A的切线的方程为，与x＝-1联立可得

∴的坐标为

故答案为．

【点睛】本题着重考查了抛物线的定义和简单几何性质的应用，考查了直线与抛物线的位置关系，切线方程的求法，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

17.已知函数，，设的最大值为，记取得最大值时的值为.

（1）求和；

（2）在中，内角，，所对的边分别是，，若，，，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知化简，由根据正弦函数的性质得出答案；

（2）利用余弦定理即可计算求值得解．

【详解】（1）由已知

因为

所以

所以，当时，即时，

，

故，.

（2）由余弦定理，

得

即，

解得或（舍去）

故.

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用、正弦函数的图象与性质，属于基础题．

18.即将于年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到年到年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值（单位：万元），如下表：

（2）如果毕业生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用（1）的结论，预测年的非私营单位在岗职工的年平均工资（单位：万元。计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位），并判断年平均工资能否达到他的期望.

参考数据：，，

其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为

 ，

【答案】（1）；（2）预测年的非私营单位在岗职工的年平均工资为万元，达到了他的期望.

【解析】

【分析】

（1）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；

（2）由（1）求出年在岗职工的年平均工资，与期望值比较，可得结论．

【详解】（1）由已知，得，.

又 ，

所以，，

故关于的线性回归方程为

（2）由（1），

当时，.

所以，预测年的非私营单位在岗职工的年平均工资为万元，达到了他的期望.

【点睛】本题考查回归方程的求法及应用，考查了运算能力，属于基础题．

19.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）若，，点在侧棱上，且，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设是的中点，可得，所以，又由，可得平面.

（2）由二面角的定义找到二面角的平面角，得到，建系求得平面的一个法向量及直线的方向向量，利用公式求解.

【详解】（1）平行四边形中，设是中点，连结

因为是的中点，所以

又由，得

所以，平行四边形中，，则

又由，且，平面，平面，

故平面

（2）由（1）知平面，

又平面，

于是平面平面，连结，

由，可得，

则，又

所以平面

得，

故二面角的平面角为

由此得

以为原点，，，方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，由可知点，

则，，

设平面的一个法向量为，

由     得

设直线与平面所成角为

所以

【点睛】本题着重考查了空间的平行、垂直位置关系的判定与证明的知识，考查了利用空间向量法解决空间角问题，属于中档题．

20.椭圆的两个焦点，，设，分别是椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为，其内切圆周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，，为椭圆上的动点，且，试问：直线是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由.

【答案】（1）或；（2）恒过定点.

【解析】

【分析】

（1）根据条件，求出b，c的值，从而求出椭圆的方程；

（2）设直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理及，求出m，可得直线恒过定点．

【详解】（1）依题意，四边形的面积为，

则，即

又四边形的内切圆周长为，记内切圆半径为，

由，得，

由得，

又，且，

故或

所以椭圆的方程为或.

（2）因为，所以椭圆的方程为，则

设，，由题意知直线斜率存在，设直线方程为

则由得，

则。

Δ，

由，可得，即

即，又，

所以 

整理得

解得（舍去）或

又满足式

故直线方程为

所以直线恒过定点.

【点睛】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，考查了向量坐标表示垂直，是一道中档题．

21.已知函数，.

（1）求函数在的最小值；

（2）设，证明：；

（3）若存在实数，使方程有两个实根，，且，证明：.

【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，进而求得的最小值；

（2）由（1）知，，得到，化简即可证明；

（3）由题意可得两边同时取对得到，整理变形成（2）中结论的形式，即可证明.

【详解】（1）由

所以在单调递增

又因为，所以

（2）由（1）知，，即

由，得    进而

化简得

所以

（3）由，可得

即

所以 

所以由（2）知： ，把上式代入，

化简得，即

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性及最值问题，函数与方程、不等式的转化问题，考查运算变形能力，属于难题．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为原点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，的极坐标方程为，.

（1）判断，的位置关系，并说明理由；

（2）若，分别与，交于，两点，求.

【答案】（1）圆与直线相交；（2）1.

【解析】

【分析】

将，化为普通方程，利用点到直线距离判断即可.

（2）联立方程，分别求得，利用极径几何意义求得.

【详解】（1）由，可得，

即是圆心为，半径为的圆；

又可得，即是一条直线，

圆心到直线的距离，即

所以圆与直线相交.

（2）由，有，，

由得，解得，（舍去）

由，得，解得，

故

【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．

23.已知函数

（1）解关于的不等式；

（2）若函数的最大值为，设，为正实数，且，求的最大值.

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

【分析】

（1）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；

（2）根据绝对值三角不等式求得的最大值，结合柯西不等式解出即可．

【详解】（1）等价于

或或

解得，或，或，

于是原不等式的解集为

（2）易知，即.

所以，

即 ，

于是，解得，当且仅当时等号成立，

即的最大值为.

【点睛】本题考查了解绝对值不等式的问题，考查绝对值不等式的性质及柯西不等式的应用，是一道中档题．