《数列的综合应用》教案

教师姓名

（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想

（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题

2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题

二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容

●数列求和

数列求和的常用方法

1、公式法

（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；

（2）一些常见的数列的前n项和：

2、倒序相加法

如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；

例：=1*2+2*4+3*8+……+n*①

2=1*4+2*8+3*16+……+（n-1）*+n*②

①-②得 -=2-（4+8+16+……+）-n*

即：=（n-1）-6

4、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；

注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

例：=++……+=1-+-+……+-=1-=

5、分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；

例：=1+2+3+4+5+7+8+9+16+……+2n-1+=(1+3+……+2n-1)+（2+4+……+）=+-2

6、并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如类型，可采用两项合并求解。

例：=-+-+……+-=（100+99）+（98+97）+……+（2+1）=5050

●数列的综合应用

1、等差数列与等比数列综合题

●等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；

●利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。

例：在数列中，，，且（）．

（Ⅰ）设（），证明是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

2、以等差数列为模型的实际应用

●解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

●解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：

从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

例：气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元（n）,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天?

3、以等比数列为模型的实际应用

●函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。

●与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。这都与等比数列有关。

例：我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目，，……，是一个公差为d 的等差数列。与此同时，国家给予优惠的计息，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为以表示到第n年所累计的储备金总额。

（1）写出与（n≥2）的递推关系式；

（2）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。

4、数列与不等式、解析几何的综合应用

●数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。

●数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。

例1：设数列{}的前项和为，。

（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；

（2）设数列的前n项和为，求证：；

例2：已知曲线(n=1,2,……)．从点P(-1,0)向曲线引斜率为（）的切线，切点为．

（1）求数列与的通项公式； 

（2）证明：……<<.

5、数列与函数的综合问题

●数列与函数的综合问题主要分为两类：

①已知函数条件，解决数列问题。此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题

②已知数列条件，解决函数问题。

●解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。

例：已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列{}前项和为，问>的最小正整数是多少？

6、数列与向量交汇的综合题

●解决数列与向量相结合的综合题，一般是利用向量中的线性运算、向量的数量积等知识，因此，需要我们熟悉相关的性质。

例：已知数列的首项，前项和为，且、、（n ≥2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，，设，．

⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设，证明：．

四、真题练习

1. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。

2．设，定义，其中n∈N*.

（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）求

3．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.

⑴求点的坐标；子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.

4．已知数列的首项，前项和为，且、、（n ≥2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，，设，．

⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设，证明：．

5．已知数列满足.

(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;

(2)若,求证：对任意都成立；

(3)若,求证：对任意都成立.

五、让学生陈述本节课学习的内容

六、总结一下本节课的主要内容

七、说明下一节课的主要学习内容，以及学生应该做哪些准备工作

作业

一、选择题

1．如果-1，a, b,c,-9成等比数列，那么

A．b=3,ac=9        B.b=-3,ac=9       C.b=3,ac=-9       D.b=-3,ac=-9

2．（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

A.5          B.4           C. 3               D. 2

3．（06江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（   ）

A．100            B. 101           C.200             D.201

4．已知数列满足，则=    （     ）

    A．0　　　B．　　　C．　　　D．

5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝

A.           B.               C.           D.

6．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于(    )

A.18               B.27               C.36                D.45

7．（06天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）

A．55　　　　  B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

二、填空题

8．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.

9.  已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且010、对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是         。

三、解答题

11．（山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令  (Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

12．已知数列有，（常数），对任意的正整数，，并有满足。

（1）求的值；

（2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；

（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有，且，则称为数列的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”。