导数与微分试题及答案

1. 

2. 下列各题中均假定存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么,

并将答案填在括号内。

⑴ （）；

⑵ （）， 其中

⑶ （）.

3. 求下列函数的导数：

⑴  ⑵ 

⑶    ⑷ 

4． 求曲线

所以切线方程为 化简得

法线方程为 化简得

5. 讨论函数 在处的连续性和可导性.

所以函数在处连续

因为 

所以函数在处可导.

6. 已知

 不存在

7. 

当时, ;

当时, ;

当时

综上，

8. 求下列函数的导数：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7）  （8）

（9）  

（10）

9. 已知

因为  

所以  

10. 

令，得

因为， 所以 

曲线在处的切线方程为，即；

曲线在处的切线方程为，即。

11. 求下列函数的导数：

（1） 

   其导数

（2）函数  

（3）  

（4）  

12. 写出下列函数的导数（只需写出结果）：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

13. 求下列函数的导数（要有解题步骤）：

（1）  （2）

（3）   （4）

14. 设

（1） （2）

15.  求下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）

（4）

16.  求下列函数的二阶导数：

（1）

（2）

（3）

17.  若

（1）  （2）

18.  求下列函数的阶导数的一般表达式：

（1）  （2）  

19.  求下列函数所指定阶的导数：

（1） 求 （2） 求

20.  求下列方程所确定的隐函数

（1）  (2) 

方程两边关于求导得： 方程两边关于求导得：

所以  所以 

21.  

方程两边关于求导得：

所以 

从而切线斜率 ，法线斜率 

所以切线方程为，即；

法线方程为，即。

22.  

23.  用对数求导法求下列函数的导数

（1） （2）

24.  求由参数方程，所确定的曲线在处的切线方程和法线方程.

25.  

（1）   （2）,

26.  注水入深上顶直径的正圆锥形容器中，其速率为.当水深为时,其表面上升的速率为多少？

27.  求下列函数的微分:

⑴  ⑵ 

⑶     ⑷  

28.  将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

⑴  ⑵；

⑶  ⑷ 

⑸  ⑹ 

⑺  ⑻ 

29.  计算三角函数值的近似值。

因为 

所以 

30.  计算根式的近似值。

因为

所以

31.  当较小时，证明下列近似公式：(利用)

（1）    （2）

所以   所以