高二数学圆锥曲线试题及答案解析

1. 椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则为（     ）                                               

    A .  4         B.             C.  20      D.  不确定   

答案: C 解析: 设直线方程为,解出,写出

2. 过椭圆的焦点F(c,  0)的弦中最短弦长是         (     )

  A.      B.       C.       D. 

答案: A 

3. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（     ）                                         

      A．          B.        C.        D.  

答案: D

4. 过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是                      (    )

  A      B   C   D. 

答案: D  解析: 用弦长公式

5. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为(      )                                        

  A      B    C    D  

  答案: B

6. 椭圆上离顶点A(0,)最远点为 (0,成立

的充要条件为(     )

A         B     C    D. 

答案: C  解析: 构造二次函数.

7. 若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是                       (     )

   A     B    C       D 

答案: A  解析: 解齐次不等式:,变形两边平方.

8. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是      (    )

   A (1,   +∞)    B    C      D 

答案: D

解析: 焦三角形AFO,如图:为锐角.转化为三角函数问题.

9. P是椭圆上一定点,是椭圆的两个焦点,若,则

 解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.

10.(2000全国高考) 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是         解析: 焦半径公式.

11. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 

12. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为      解析: 同填空(1)

13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为 

    解析: 求

14. 如果满足则的最大值为     解析: 三角代换.

16. 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.

 解:设椭圆方程为,为椭圆上的点,由得 

  若,则当时最大,即, ,故矛盾.

  若时,时,   所求方程为   

17.已知曲线按向量平移后得到曲线C.

  ① 求曲线C的方程;

②过点D(0, 2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间,设,求实数的取值范围.

解:① 由已知设点P(满足,点P的对应点Q(

    则   .

2当直线的斜率不存在时, ,此时;   当直线的斜率存在时,设ｌ:代入椭圆方程得:   得

设,则  , 

又则..

又

由,得,即即,又

综上: 

双曲线

1. 已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为                    (      )

  A.      B. 8        C.       D. 随的大小变化

  答案: A  解析: 用双曲线定义列方程可解

2. 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在(     )                                                 

    A. 0条        B. 1条      C. 2条       D. 3条

答案: D解析: x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.

3. 直线与曲线的交点个数是   (     )

   A. 0个       B.  1个       C.  2个       D.  3个.

   答案:  D

   解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点.

4. P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为                                              (    )

A.  内切     B.  外切     C.  内切或外切      D.  无公共点或相交.

答案: C  解析: 用两圆内切或外切的条件判断

5. 已知是双曲线的离心率,则该双曲线两条准线间的距离为(    )                                                    

    A.  2        B.        C.  1       D.  

答案: C   解析: 

6. 设,则二次曲线的离心率的取值范围是 (    )

    A.     B.     C.     D.  

答案:  C   解析:  

 7. 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,

   则的面积为                                       (    )

   A.  1        B.        C.  2       D.  

答案:  A   解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组.

 8. 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,

    的值为                                       (    )

   A.  0        B.  1      C.         D.  2

答案:  A

 解析: 不妨设由, 

, ,

9.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为  

 10. 双曲线两条渐进线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为 

  解析: 可设双曲线方程为:  (

 11. 设双曲线的半焦距为,直线过点,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为  2          解析: 由

12. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆相交于A(4, -1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为 

  解析:设双曲线方程为: ,再用待定系数法.

 13. 直线和双曲线的左支交于不同两点,则的取值范围是解析: 用判别式和韦达定理

  14.是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,     则 解析: 列方程组解.

15. 以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆,与相应准线有两个不同的交点,求证:

  ①这圆锥曲线一定是双曲线;

②对于同一双曲线, 截得圆弧的度数为定值.

解:①如图:,， 

  所以圆锥曲线为双曲线.

②为定值所以弧ST的度数为定值.

16. M为双曲线上异于顶点的任一点,双曲线

的焦点为,设,求的值.

解: 

,  

17.(2000全国高考)已知梯形ABCD中, ,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围.

 解:如图建系:设双曲线方程为: 

则B(c,0), C(,A(-c,0)

,代入双曲线方程得:

,      

抛物线

1. 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有(      )

     A.  1条       B.  2条      C.  3条      D.  无数条.

 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点.

2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 (     )

     A.      B.         C.      D. 

答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题.

3. 抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是                       (     )

     (A)         (B)          (C)        (D) 

答案: D解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短.

 4. 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则(      )        

    A.  4        B.    2         C.           D.   

答案: A解析: 所截线段长恰为通径

5. (2000全国高考)过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于(     )

   A.          B.       C.         D. 

答案: C解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,

6. 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 (    )

    A.    B.    C.        D. 不确定

  答案: C 解析: 向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出

7. 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时, ,则点Q的横坐标的取值范围是    (    )

  A.     B.   C. [-3,  -1]     D. 

答案: D  解析: 均值不等式

8. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则   (    )   

     A.    B.    C.     D.   

  答案: C

  解析: 如图,   

因为A、F、B三点共线 所以

9. 一动点到轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 

  解析: 用抛物线定义.

 10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为     解析: 考虑两种可能.

 11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为

       米    解析: 坐标法

 12. 以椭圆的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则  解析: 略

 13. 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线必过的定点坐标为

   解析: 设直线方程为,解出A点坐标,再写出B点坐标;写出直线方程.

14. 抛物线的焦点弦AB,求的值.

解:由得  

15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程，

并说明该轨迹是什么图形.

解析: 设,

, 

由得--------------------①

又代入①式得-----------------------------------------②

由得代入②式得: 

由得或, 又由①式知关于是减函数且

,  且

所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):       (且)

 16. 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且

    ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)

   ①求抛物线方程;

②求面积的最大值.

解析: ①设, AB中点 

  由得

  又得

所以  依题意,       抛物线方程为 

②由及,令得

 又由和得: 

轨迹与轨迹方程

1. 与圆x2+y2-4y=0外切, 又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是 (        ).  

   A. y2=8x                           B. y2=8x (x>0) 和 y=0

   C. x2=8y (y>0) D. x2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0)

   答案: D  

   解析: 设所求圆的圆心为, 已知圆圆心, 半径为2, 则或点在轴负半轴.

 2. 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离比它到直线x=8的距离大1, 则动点M的轨迹方程为 (        ).   

    A. y2=16(x-5)                     B. x2=16(y-5)

    C. x2=-16(y-5)                    D. y2=-16(x-5)       

    答案: D   

    解析: 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离等于它到直线x=9的距离. 所以动点M的轨迹是以点F(1,0)为焦点, 直线x=9为准线的的抛物线.

 3. 已知, A、B分别在y轴和x轴上运动, O为原点,则动点P的轨迹方程是(    ). 

    A.                     B. 

    C.                     D. 

    答案:  A  

    解析: 由知: P点是AB的三等分点(靠近B), 设P(x,y), 则, 又, 由距离公式即得.

4. A、B、C是不共线的三点, O是空间中任意一点, 向量, 则动点P的轨迹一定经过△ABC的(        ).      

   A. 内心        B. 外心         C. 重心           D. 垂心 

   答案:  C

   解析: 向量与边中线的向量是平行向量, , 则点P在边中线上.

 5. 已知两定点F1(-1,0) 、F2(1,0), 且是与的等差中项,则动点P的轨迹是(        ).     

    A. 椭圆        B. 双曲线        C. 抛物线          D. 线段 

    答案: D

    解析:作图可知点P的轨迹为线段.

 6. 已知点P(x,y)对应的复数z满足, 则点Q(x+y,xy)的轨迹是 (      ).    

    A. 圆     B. 抛物线的一部分       C. 椭圆        D. 双曲线的一部分

    答案: B  

    解析: 设, 则

, ,轨迹为抛物线的一部分.

 7. 已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆的左、右焦点, 三个内角A、B、C满足, 则顶点C的轨迹方程是(        ).   

    A.          B. (x<0) C. (x.<-2 ) D.  

    答案:  C

    解析:, 点C 的轨迹是以A、B为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C与A、B不共线.    

 8. 抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1的焦点的轨迹是 (       ).   

    A. 抛物线    B. 直线       C. 圆           D. 线段

    答案: B  

    解析: 设焦点坐标为M(x,y), 顶点,.

 9. 点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动, 则△PF1F2的重心G的轨迹方程是

    解析:设,

    代入即得, 再注意三角形三顶点不共线.

 10. 过椭圆内一点M(2,0) 引椭圆的动弦AB, 则弦AB的中点N的轨迹方程是  

    解析: 设N(x,y), 动弦AB方程为, 与联立, 消去y得:, 消参即得.

11. 直线l1: x-2y+3=0, l2: 2x-y-3=0, 动圆C与l1、l2都相交, 并且l1、l2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C的轨迹方程是      解析: 设C(x,y), 点C到距离分别为, , 化简即得.

12. 点P是曲线f(x , y)=0上的动点, 定点Q(1,1), ,则点M的轨迹方程是   

    解析: 设则:, 代入f(x , y)=0即得.

13. 已知圆的方程为x2+y2=4, 动抛物线过点A(-1,0), B(1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是   

   解析: 设抛物线焦点为F, 过A、B、O作准线的垂线, 则, 由抛物线定义得:,

   , 故F点的轨迹是以A、B为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)

14. 设为坐标原点,为直线上动点, , , 求点的轨迹方程.

    解: 设, 则由得:, 即, 由得:, 将代入得:, 且.所求点的轨迹方程为:.

15. 半径为R的圆过原点O, 圆与x轴的另一个交点为A, 构造平行四边形OABC, 其中BC为圆在x轴上方的一条切线, C为切点, 当圆心运动时, 求B点的轨迹方程.

    解: 设圆心为M(x0, y0), B(x,y), 则     又 BC为圆的切线, 得:, ,    

直线与圆锥曲线（1）

1．若倾角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则线段的长为（    ）

（A）　　 （B）　　　（C）　　　（D）

（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）

【答案】（B）

【解析】由条件，过焦点的直线为代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得

2．直线与实轴在轴上的双曲线的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么的取值范围是（   ）

（A）　（B）　（C）　　　（D）

（目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置）

【答案】（D）

【解析】将直线代入双曲线求得，则有同理亦得，又对实轴在轴上的双曲线有，故。

3．过点可作条直线与双曲线有且只有一个公共点。

（目的：掌握直线与双曲线交点的特殊性-----与其渐近线的关系）【答案】4条

【解析】设过点的直线为代入双曲线，求出有一个解的的值。或讨论与渐进线的斜率的关系。

5．已知抛物线的过焦点的弦为，且，又，则

（目的：利用定义理解抛物线的焦点弦的特殊性质）

【答案】2

【解析】利用抛物线的定义，焦点弦，所以

6．椭圆长轴上的一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是。

（目的：椭圆的对称性在解题中的运用）【答案】

【解析】设内接于椭圆的等腰直角三角形为，则，直线求得， 

7．已知抛物线与直线

（1）求证：抛物线与直线相交；

（2）求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；

（3）当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值。

（目的：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题）

【解析】

（1）由直线与抛物线总相交。

（2）其顶点为，且顶点在直线的下方，，即。

（2）设直线与抛物线的交点为，

则当

8．已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点

（I）求双曲线的方程；

(II)动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 

（目的：借用中点弦的特性，及三角形的重心的知识讨论双曲线上关于直线对称的两点的存在性）

【解析】

（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以

所求所求的双曲线方程为。

(II)由条件的坐标分别为，点坐标为

假设存在直线使平分线段设的坐标分别为

      得

又即

的方程为   由 

消去整理得所求直线不存在。

9．一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于两点，求直线与双曲线的方程

（目的：利用向量的观点和方程的思想，求直线与圆锥曲线的方程及有关性质）

【解析】

由双曲线方程为

设直线

则

又因为

则有： 

由（1），（2）得代入（3）得

所以，所求的直线与双曲线方程分别是

直线与圆锥曲线（2）

1．过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率

的取值范围是                                                          （    ）

（A）　（B）　　（C）　　（D）

（目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法）

【答案】（B）

【解析】直接法：由题意，点是双曲线的右焦点，过的直线平行于渐进线时，此时与双曲线只有一个交点，若使交点同在右支，则。

2．已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点，则直线的方程是                （     ）                                

（A）（B）（C）（D）（目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量）

【答案】（D）

【解析】由题设，设直线方程为则：

代入方程检验即可。

3．过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（     ）

（A）4条　　　　（B）3条　　　　　　（C）2条　　　　　　（D）1条

（目的：掌握判断直线与抛物线位置关系的方法）

【答案】（B）

【解析】当直线垂直于轴时满足条件，当直线不垂直于轴时，设直线方程为满足条件的直线有两条。

5．抛物线上不存在关于直线对称的两点，求的范围

（目的：学会运用间接、假设的方法解决存在性问题）

【答案】

【解析】若时，不存在。若时，设有这样的两点，则 上，且消恒成立，故满足条件。

6．已知中心在原点的椭圆经过点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是。

（目的：学会运用函数的观点解决几何问题）

【答案】

【解析】不妨设椭圆方程为，椭圆经过点，则又根据图有再由

8．已知双曲线的两条渐进线过坐标原点，且与以点为圆心，为半径的圆相且，双曲线的一个顶点与点关于直线对称，设直线过点，斜率为。

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值和相应的点的坐标。

（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题）

【解析】

（Ⅰ）设双曲线的渐进线方程是与圆相切，渐进线方程为，又双曲线的一个顶点关于的对称点为双曲线的方程为。

（Ⅱ）直线  设在上方与平行且相距的直线的直线方程是由的方程是代入，解得

（Ⅰ）当时方程只有一组解，符合题意。此时

（Ⅱ）当时，由与有且只有一个公共点，

得

综上所述： 

圆锥曲线的几何性质

1．已知点是抛物线上的动点，焦点为，点的坐标是，则的最小值是（    ）

（A）　　 （B）　　　　（C）　　　（D）

（目的：熟练掌握抛物线的定义在解题中的灵活应用。

【答案】（C）

【解析】由抛物线的定义，三点共线时最小

2．（2003年全国高考.文）双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为（  ）

（A）　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（目的：理解焦点三角形中各边之间的关系）

【答案】（B）

【解析】由条件， 利用余弦定理求解。

3．已知是抛物线上的任意两点，是焦点，是准线，若三点共线，那么以弦为直径的圆与的位置关系是（     ）

（A）相交　　　　（B）相切　　　　　　（C）相离　　　　　　（D）不确定

（目的：加深对椭圆的第二定义的理解，并推广到双曲线和抛物线）

【答案】（B）

【解析】利用抛物线的定义，将的长转化为到准线的距离即可。

4．等轴双曲线的两个顶点分别为，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点，则

（目的：理解用向量的方法解决有关夹角的问题有其简便之处）

【答案】

【解析】写出的坐标，利用向量的坐标运算求解。

5．过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知|AB|=10,O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标是

（目的：运用抛物线焦点弦的性质求重心坐标）

【答案】

【解析】设则重心，因为直线过焦点，所以

又，所以

6．（2001高考广东、河南卷）

     已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴。

求证：直线经过线段的中点。

（目的：结合例1，进一步探讨圆锥曲线的共性）

【解析】由题设，椭圆的半焦距，由焦点，右准线方程为点的坐标为，的中点为。

若垂直于轴，则中点为，即过中点。

若直线不垂直于轴，由直线过点，且由轴知点不在轴上，故直线的方程为， 

记，且满足二次方程即

又得

故直线的斜率分别是

故三点共线，所以，直线经过线段的中点

7．已知：若点满足。

（I）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

【解析】

设为点的轨迹方程，该曲线是以为焦点，长轴长为4的椭圆。

【综合训练】

1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是(    )

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

解析：当sinθ∈［－1，0)时，方程x2＋y2sinθ＝4的曲线是双曲线；sinθ＝0时，方程的曲线是两条平行直线；sinθ∈(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sinθ＝1时，方程的曲线是圆．

答案：C

2．已知椭圆＝1的一条准线方程为y＝8，则实数t的值为(    )

A．7或－7  B．4或12 C．1或15 D．0

解析：由题设y－t＝±7，∴y＝t±7＝8，∴t＝1或15．

答案：C

3．双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是(    )

A．(－∞，0) B．(－12，0) C．(－3，0) D．(－60，－12)

解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k．

∵e∈(1，2)，∴∈(1，4)，∴k∈(－12，0)．

答案：B

4．以＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(    )

A．＝1 B．＝1 C．＝1 D． ＝1

解析：双曲线＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±)．∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±)．∴在椭圆中a＝4，c＝，∴b2＝4．∴椭圆的方程为＝1．

答案：D

5．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于(    )

A．2a  B．  C．4a  D． 

解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此xP＝－，xQ＝，

∴＝4a．

答案：C

6．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于(    )

A．4  B．－4  C．－p2  D．以上都有可能

解析：由已知｜AB｜＝x1＋＋x2＋，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1＋x2＋p)2，

整理得4x1x2＋2y1y2＋p2＝0，

又2px1＝y12，2px2＝y22，∴4x1x2＝，

∴＋2y1y2＋p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝，∴＝－4．

答案：B

7．抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是(    )

A． B．(1，1)  C D．(2，4)

解析：设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离

d＝，

∴x＝1时，d取最小值，此时P(1，1)．

答案：B

8．与＝1(a＞b＞0)的渐近线(    )

A．重合

B．不重合，但关于x轴对称

C．不重合，但关于y轴对称

D．不重合，但关于直线y＝x对称

解析：双曲线的渐近线方程为y＝±＝1的渐近线方程y＝±x、y＝x与y＝x关于直线y＝x对称，y＝－x与y＝－x关于直线y＝x对称．   答案：D

9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点(    )

A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)

解析：直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由于动圆恒与直线x＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2，0)．   答案：B

10．设P是椭圆＝1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是(    )     A．－  B．－1  C． D． 

解析：设P(x0，y0)，则－3≤x0≤3．

cosF1PF2＝

∴当x0＝0时，cosF1PF2最小，最小值为－．

答案：A

11．已知点A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________．

解析：∵点P在椭圆上，∴设点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，

则｜AP｜＝．∴当sinθ＝－时，

｜AP｜最大，此时P的坐标为(±)． 答案：(±)

12．已知F1、F2是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率是_________．

解析：由｜PF2｜＝｜QF2｜，∠PF2Q＝90°，知｜PF1｜＝｜F1F2｜即

，

∴e2－2e－1＝0，e＝1＋或e＝1－(舍)．

答案：1＋

13．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则抛物线的方程为_________．

解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝16，抛物线的准线为x＝－，由题设可知3＋＝4，∴p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4x．

答案：y2＝4x

14．点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______．

解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x12－4y12＝4，x22－4y22＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．∵AB的中点为P(8，1)，

∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝2．

∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0．

答案：2x－y－15＝0

15．P为椭圆＝1(a＞b＞0)上一点，F1为它的一个焦点，求证：以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．

证明：设PF1的中点为M，则两圆圆心之间的距离为

｜OM｜＝｜PF2｜＝(2a－｜PF1｜)＝a－｜PF1｜．

即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，∴两圆内切．即以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．

16．已知双曲线的一个焦点为(－1，－1)，相应准线是x＋y－1＝0，且双曲线过点(－，0)．求双曲线的方程．

解：设P(x，y)为双曲线上的任意一点，则

，化简整理，

得2xy－4x－4y－1＝0．即所求双曲线方程为2xy－4x－4y－1＝0．

17．人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p，远地点离地面距离为q，地球的半径为R．求卫星运行轨道的短轴长．

解：由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为2a，∴2a＝(p＋R)＋(q＋R)，

∴．

∴．

∴短轴长为2．

18．抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．求证：

(1)A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；

(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点)．

证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、中点M(x0，y0)，焦点F的坐标是(，0)．

由得ky2－2py－kp2＝0．

∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，∴C(－，y1)、D(－，y2)、N(－，y0)．

∵，由ky2－2py－kp2＝0得y1y2＝＝－p2，

∴kOA＝kOD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．

(2)kFN＝，当x1＝x2时，显然FN⊥AB；当x1≠x2时，kAB＝

，∴kFN·kAB＝－1．∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．

19．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝x，问是否存在点P，使d、

｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由．

解：假设存在点P(x0，y0)满足题中条件．

∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴，∴b2＝3a2，c2－a2＝3a2， ＝2．即e＝2．

由＝2得，

｜PF2｜＝2｜PF1｜          ①∵双曲线的两准线方程为x＝±，

∴｜PF1｜＝｜2x0＋2·｜＝｜2x0＋a｜，｜PF2｜＝｜2x0－2·｜＝｜2x0－a｜．

∵点P在双曲线的左支上，∴｜PF1｜＝－(a＋ex0)，｜PF2｜＝a－ex0，代入①得：a－ex0＝－2(a＋ex0)，∴x0＝－a，代入＝1，得y0＝±a．

∴存在点P使d、｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列，点P的坐标是(－a，±a)．