广东省东莞市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

1. 已知集合，，则（    ）

A     B. 

C.     D. 

C

解一元二次不等式求集合A，再由集合的交运算求即可.

由，又，

∴.故选：C.

2. 已知命题p：，，则为（    ）

A. ，    B. ，

C. ，    D. ，

C

全称命题的否定定义可得.

根据全称命题的否定，：，.故选：C.

3. 若，，则（    ）

A.     B. 

C.     D. 

A

由不等式的性质判断A、B、D的正误，应用特殊值法的情况判断C的正误.

由，则，A正确；，B错误；，D错误.

当时，，C错误；故选：A.

4. 已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（    ）

A. 1    B. 2    C. 4    D. 8

B

先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.

设扇形的圆心角为，半径为，

则由题意可得

∴ ，

当且仅当时 , 即时取等号，

∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值32.故选：B.

5. 若函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

B

由题设可得，根据已知对称性及余弦函数的性质可得，即可求的最小值.

由题设，关于轴对称，

∴且，则，，又，

∴的最小值为.故选：B.

6. 如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（    ）

A.     B. 

C.     D. 

A

利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可

因为，

所以由，得，此时，所以排除CD，

当时，越来越小，单调递减，所以排除B，故选：A

7. 对于任意的实数，定义表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

B

根据充分必要性分别判断即可.

若，则可设，则，，其中，

，，即“”能推出“”；

反之，若，，满足，但，，即“”推不出“”，

所以“”是“”必要不充分条件，故选：B.

8. 已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（    ）

A     B. 

C.     D. 

D

根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.

由题设，，易知：关于对称，又恒成立，

当时，，则，可得；

当时，，则，可得；

当，即时，，则，即，可得；

当，即时，，则，即，可得；

综上，.故选：D.

关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

9. 已知函数，则其图像可能为（    ）

A.     B. 

C.     D. 

BC

按照，，讨论的取值范围，利用排除法解决.

，，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A选项错误；时，在上递增，也在递增，两个增函数相加还是增函数，即在上递增，故D选项错误，C选项正确.；时，由对勾函数的性质可知B选项正确. 故选：BC.

10. 图中阴影部分的集合表示正确的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

AC

利用韦恩图的意义直接判断即可.

由已知中阴影部分在集合N中，而不再集合M中，

故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M（属于M的补集），

即可表示为或.故选：AC

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 为偶函数

B. 的周期为

C. 在上单调递减

D. 在上有3个零点

AD

A由奇偶性定义判断；B求的解析式，判断与是否相等；C由条件可得，结合正弦函数性质判断单调性；D由题设得，根据正余弦函数的性质画出图象，数形结合判断零点个数.

A：且定义域为R，即为偶函数，正确；

B：，错误；

C：在上，又，故在上不单调，错误；

D：在上，故其图象如下：

∴在上有3个零点，正确.故选：AD.

12. 已知正数满足，则下列结论正确的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

BD

为将正数“提取”出来分析，需要进行取对数操作，利用换底公式得到的等量关系从而判断AB，利用作差法和基本不等式可判断CD.

设，是正数，于是，两边同时取自然底对数，得到

，也即，不一定成立，A选项错误；，，B选项正确；，故只需比较的大小即可，而，又，于是，C选项错误；，而根据基本不等式可得

，即，故，故，D选项正确.故选：BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．

13. 等于_______.

直接利用正切函数的性质即可求解.

由正切函数的性质，得：

.

故答案为：.

14. 声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）. 声强级为60dB声强是声强级为30dB的声强的______倍.

1000

根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.

由题设，，可得，

，可得，

∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的倍.

故答案为：1000.

15. 若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点. 请写出一个符合要求的函数___________.

（答案不止一个）

根据偶函数和零点的定义进行求解即可.

函数符合题目要求，理由如下：

该函数显然满足①；

当时，，所以有，

当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②

当时，，或，

当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，

故答案为：

16. 如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F. 记，则_______.

设，则，利用勾股定理求得，进而得出

，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.

设，则，

在中，，所以，

即，解得，所以，

所以在中，，

则，

又，

所以.

故答案为：

四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．

17. 已知集合，.

（1）分别判断元素，与集合A，B的关系；

（2）判断集合A与集合B的关系并说明理由.

（1），，，；    

（2），理由见解析.

（1）根据集合的描述，判断是否存在使，属于集合A，B即可.

（2）法一：由（1）结论，并判断是否有，即知A与B的关系；法二：={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，即知A与B的关系；

【小问1详解】

法一：令，得，故；

令，得，故.

同理，令，得，故；

令，得，故.

法二：由题意得：，

又，故，；

，.

【小问2详解】

法一：由（1）得：，，故；

又，，

由，得，故，

所以，都有，即，又，

所以.

法二：由题意得={x|x是的整数倍}，

={x|x是的奇数倍}，

因为奇数集是整数集的真子集，

所以集合B是集合A的真子集，即.

18. 已知，.

（1）求；

（2）若，，求，并计算.

（1）    

（2），

（1）利用同角三角函数的关系可得.

（2）将写成，再用两角差的余弦求解；由可求，先化简再代入求解.

【小问1详解】

，且，

解得，，

所以.

【小问2详解】

因为，，所以，

所以，

所以

.

因为，，所以，，

所以

.

19. 给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.

（1）求函数的解析式并画出其图象；

（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（1），作图见解析；    

（2）.

（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可；

（2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

①当即时，，则，

②当即或时，，则，

故 

图象如下：

【小问2详解】

由（1）得，当时，，

则在上恒成立等价于在上恒成立.

令，， 

原问题等价于在上的最小值. 

①当即时，在上单调递增，

则，故.

②当即时，在上单调递减，在上单调递增，

则，由时，，故不合题意. 

综上所述，实数的取值范围为.

20. 已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线.

（1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；

（2）判断函数的奇偶性并用定义证明；

（3）求函数的值域.

（1）函数在上单调递增，    

（2）奇函数，证明见解析    

（3）

（1）根据函数的单调性情况直接判断；

（2）根据奇偶性的定义直接判断；

（3）由奇偶性直接判断值域.

【小问1详解】

因为随着增大，减小，即增大，故随增大而增大，所以函数在上单调递增.

由的图象在直线下方，且无限接近直线，得，

所以函数的解析式.

【小问2详解】

由（1）得，整理得，

函数定义域关于原点对称，，

所以函数是奇函数.

【小问3详解】

方法一：由（1）知，

由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故， 

所以函数的值域为.

方法二：由，得，得，得，得，得，所以函数的值域为.

21. 已知函数，其中.

（1）若函数的周期为，求函数在上的值域；

（2）若在区间上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数.

（1）    

（2）最大值为，6个

(1)根据正弦的二倍角公式和辅助角公式可得，利用求出，进而求出，结合三角函数的性质即可得出结果；

(2)利用三角函数的性质求出的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出；将问题转化为函数与的图象交点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案.

【小问1详解】

由，    

由周期且，得，解得，即，

由，得，

故，

所以函数在上的值域为.

【小问2详解】

因为在区间上单调递增，

故在区间上为单调递增．

由题知，存在使得成立，则必有

则，解得，故，所以的最大值为.

当时，函数的零点个数转化为函数与的图象的公共点的个数.

画图得：

由图知与的图象的公共点的个数共6个，

即的零点个数为6个.

22. 如图，已知直线//，是直线、之间的一定点，并且点到直线、的距离分别为1、2，垂足分别为E、D，是直线上一动点，作，且使与直线交于点. 试选择合适的变量分别表示三角形的直角边和面积S，并求解下列问题：

（1）若为等腰三角形，求和的长；

（2）求面积S的最小值.

（1），；    

（2）2.

（1）根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合等腰三角形的性质、勾股定理进行求解即可；

（2）根据直角三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

由点到直线、的距离分别为1、2，得AE=1、AD=2，

由，得，则，

由题意得，在中，，从而，

由和，得 ∽，则，

即，

在中，， 

在中，，

由为等腰三角形，得，

则且，故，.

【小问2详解】

由，，，得在中，

，

当且仅当即时等号成立，

故面积S的最小值为2.