湖南省怀化市2014届高三第二次模拟考试统一检测数学理试题 Word版含答案

数 学（理科）

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题   共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．复数的共轭复数为

Ａ．　　　　　　Ｂ．         Ｃ．　      D．

2．已知命题；命题不等式恒成立，那么

A．“”是假命题                 B．是真命题

C．“或”为假命题                D．“且”为真命题

3．右图是2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为

A．84，4.84               B．84，1.6

C．85，1.6                D．85，4

4．若，则目标函数 的取值范围是

A．2，5    B．1，5    C．，2     D．2，6

5．如右图，程序框图输出的结果为

A.       B．      C．      D．

6．关于的不等式 的解集为，

则不等式的解集为

A．         B． 

C．          D．

7．已知为坐标原点，向量，，，且，则值为

A．              B．               C．              D．

8．抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为

A．3             B．               C．5           D． 

9．在空间中有一棱长为的正四面体，其俯视图的面积的最大值为

A．             B．              C．           D．

10．已知，，，映射.对于直线上任意一点，，若，我们就称为直线的“相关映射”，称为映射的“相关直线”.又知，则映射的“相关直线”有多少条

A．1             B．2               C．3           D．无数

第Ⅱ卷（非选择题  共100分）

二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的两个交点间的距离为       .

12．是⊙的直径，是⊙O切线，为切点，⊙O上

有两点、，直线交的延长线于点，

，，则⊙的半径是_______.

13．若，则的最大值为______.

（二）必作题（14~16题）

14．有4名同学站成一排，要求甲、乙两名同学必须相邻，有____种不同的站法（用数字作答）.

15．若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为______.

16．如图所示，在边长为3的正方形中，有一束光线从点射出，

到点反射，，，之后会不断地被正方形的各边反射，

当光线又回到点时，（1）光线被正方形各边一共反射了________次；

（2）光线所走的总路程为_______________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 

17．(本小题满分12分) 

如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为1的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为2环，圆环区域记为1环，某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.

（I）求该同学在一次投掷中获得2环的概率；

（II）设X表示该同学在3次投掷中获得的环数，求X的分布列及数学期望.

18．(本小题满分12分) 

如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，

已知已有两面墙、的夹角为60°（即），

现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），

为了使得仓库的面积尽可能大，记，问当为多少时，

所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？ 

19．(本小题满分12分) 

如图所示，空间中有一直角三角形，为直角，，，现以其中一直角边为轴，按逆时针方向旋转后，将点所在的位置记为，再按逆时针方向继续旋转后，点所在的位置记为.

（I）连接，取的中点为，求证：面面；

（II）求与平面所成的角的正弦值．

20．(本小题满分13分) 

甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，.

（Ⅰ）请用，分别表示和；

（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1% .

21．(本小题满分13分) 

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为 

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点，联结与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切则视为，重合，联结与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.

22．(本小题满分13分) 

已知函数，

（Ⅰ）已知区间是不等式的解集的子集，求的取值范围；

（Ⅱ）已知函数，在函数图像上任取两点，，若存在使得恒成立，求的最大值.

2014年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷

理科数学参及评分标准

一、选择题：

俯视图的最大值为正方体的底面积，为.

10提示：设直线的方程为，由，代入可得，即，可得   解得：  ，  故有2条直线

二、填空题：

11．；   12．；  13．；

14．12；   15．；   16． 5，.

16提示：光线反射可视为对称，作出右图，最终光线

回到P点，经过5次反射。

三、解答题：

17解：（I）由题意可得是几何概型，设={投中2环}

        ===

     ∴    该同学一次投掷投中2环的概率为…………………………………………5分

（II）由题意可知可能的值为3，4，5，6

 ……………………………9分

∴     X的分布列为

∴       环 

          答：X的数学期望为4环………………12分

18解：在中，由正弦定理：

化简得：     …………………3分

所以              

………………6分

即………………9分

所以当即时，=…………………11分

答：当时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为……………12分

19解：（I）由题意可知：与全等，

      ，，为的中点，

∴   ，

又  ∵  

∴          

     ∴     面面…………………6分

（II）由题意可知：为的中点，取的中点为，联结， 

过作的垂线，垂足为，联结，

由（I）可知面面，  ∴面，

是在平面上的射影，为与平面所成的角，

         ，     

    ∴与平面所成的角和与平面所成的角相等，

∴    与平面所成的角的正弦值为………………12分

20解（I）：由题意可设在第一次调和后的浓度为

＝20%，＝2%，

    ；

 ………6分

    （II）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列．

    由（I）可得：

=

…………8分

    所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．

    所以，……………9分

    由题，令< 0.1%，得．所以，．……11分

由得，所以，…………………12分

即第9次调和后两溶液的浓度之差小于0.1%……………………13分

21解: 解：（I）由题可知：，      

解得：，，

故椭圆的方程为：………………………5分

    （II）不妨设，，

       由题意可知直线的斜率是存在的，故设直线的斜率为，直线的斜率为

的方程为：代入椭圆方程 得

将   代入解得： ………………7分

       的方程为：代入椭圆方程   得

将，代入解得：………………9分

∴              又∵    ，不重合，∴…………10分

              =     ()………………12分

           ∴…………………13分

22解：(I)              

当时，，在区间上为增函数

   由题意可知     即         ∴     …………2分

当时，    解得：………………3分

故有  当   即：  时     即满足题意

即，   构建函数  ()

，   当时为极大值点   有

故  不等式无解…………………4分

当即时，    即   

解得： ，   ∴ 

当  即时，    即    

解得:，       ∴    ……………………6分

综上所述:   ……………………7分

（II）由题意可知：，可设任意两数

若存在使得成立，即: 

构建函数：，  为增函数即满足题意，即恒成立即可

           ，   构建函数   

                ……………………………9分

 当时        为增函数  

则不存在使得恒成立， 故不合题意………………10分

        当时， ，可解得   ………………11分

     当时，可知，即为极小值点，也是最小值点

           由于存在使得该式恒成立

      即，     由（I）可知当时，………………12分

         综上所述的最大值为1…………………………13分