高中常见数列求通项公式

数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的很好载体，高考对数列知识的考察也逐年增重，数列在高中阶段有着重要的作用。新课标将数列从大纲版高考考题的压轴题放到解答题的第一个或者第二个题位置，也是对数列考查的常规解法作进一步的强调，而数列通向公式的求法是考察该知识点的一个热点。本文想总结一下在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。高中常见求通项公式的方法有：定义法、公式法、迭加法、迭乘法、构造法（构造等差或等比数列，其中用到待定系数法）以及倒数法。

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：设数列公差为

∵成等比数列，∴，

即

∵，          ∴………………………………①

∵          ∴…………②

由①②得：，

∴

点评：此类方法着重考查学生对等差数列和等比数列定义和公式的应用，利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

2.公式法：已知（即）求，用作差法：。

例题2.数列{}的前n项和为，=1， ( n∈),求{}的通项公式。

解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n≥2),而=1不满足该式

    所以=。

点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

3. 迭代法，分为累加法和累乘法.累加法：

若求。。

例3 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以数列的通项公式为。

点评：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。这个问题通常和数列的求和练习在一起，下面这个求通项之后转化为用裂项相消来求和。

例题4 已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

累乘法：形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

已知求，用累乘法：。

例5. 已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

例6 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

点评：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

5.已知递推关系求，用构造法（等比数列、构造等差）。

构造等比数列法原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=。

（1）构造等比数列进行求解通项公式

形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

①解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例7. 已知数列中，，，求.

解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且

所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.

例8已知数列满足求数列的通项公式；

解：

    是以为首项，2为公比的等比数列。

    即　

（2）构造等差数列进行求解通项公式

构造等差数列解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。

例9  已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

点评：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

例10．已知数列中，,，求。

解：在两边乘以得：

令，则,解之得：

所以

6.倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

例11：例：已知数列满足 ，求证：是等差数列，并求的通向公式。

解：  ，，即

     是首项为1，公差为3的等差数列。

          .

例题12已知数列{}，= ，  ，求=？

解：把原式去倒数变形得

∴是首项为，d=的等差数列故∴。

变式练习 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，

7. 构造数列，使其为等比数列。 该类型中 递推公式为=p+q   (p、q均为常数)（又称二阶递归），含有三项的递推关系

解法： 将原递推公式=p+q，转化为-＝（-）并且由解出、因此可以得到数列｛-｝是等比数列。

例题13：已知数列满足，，求的通项公式。

解：设 ，即

    则 与 比较后的得

       .

  或 .

当时，，是以为首项，2为公比的等比数列。

        ().

     经验证，n=1时适合上式，.

     同理，当时，也得到.

综上知.

点评：解决此类问题主要是要把构造的等比数列找出来，也就是题目中的的值求出来。

例题14 已知数列中a1=1，a2=    =-,求数列｛｝的通项公式。

解：  令-＝（-）由解得：＝1、＝

则由此可得-＝（-）， a2-a1=    

∴-=  

∴＝（-）+（-）+┈+（a2-a1）+a1=++┈++1=3-.

∴＝3-

数列求通项的常规解法定义法、公式法、迭加法、迭乘法、构造法（构造等差或等比数列，其中用到待定系数法）以及倒数法。在运用的过程中有些题目是多种方法结合应用，对于方法的应用是要平时多训练，进行归纳总结才能将各种方法运用恰当。