2020-2021学年湖南沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.  

1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（　　）

A．B∈A    B．A∩B＝∅    C．A⊆B    D．B⊆A

2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（　　）

A．有最小值2+4    B．有最小值2﹣4    

C．有最大值2+4    D．有最大值2﹣4

3．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（　　）

A．    B．    C．    D．10

4．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜b＜a    C．b＜a＜c    D．b＜c＜a

5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cosx，x∈R上所有的点的（　　）

A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变    

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变    

C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变    

D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变

6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（　　）

A．这9年我国快递业务量有增有减    

B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%    

C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%    

D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（　　）

A．相交但不垂直    B．垂直但不相交    

C．不相交也不垂直    D．无法判断

8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）

A．0≤α≤    B．＜α＜π    C．≤α＜    D．＜α≤

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（　　）

A．﹣1    B．1    C．2    D．5

10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）的定义域为R    

B．函数f（x）在R上为增函数    

C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）    

D．函数f（x）只有一个零点

11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（　　）

A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线    

B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形    

C．对任意复数z，    

D．当z为实数时，

12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（　　）

A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交    

B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直    

C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交    

D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知，，则tan2α＝　                　．

14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为　         　．

15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为 　              　．

16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为　                　．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）

（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；

（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．

18．已知函数f（x）＝．

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．

19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．

（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；

（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．

20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：

（1）AC1的长；

（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．

21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1

（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．

（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．

（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝PA＝AD＝AB＝2．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；

（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．

参

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.  

1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（　　）

A．B∈A    B．A∩B＝∅    C．A⊆B    D．B⊆A

解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．

故选：D．

2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（　　）

A．有最小值2+4    B．有最小值2﹣4    

C．有最大值2+4    D．有最大值2﹣4

解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x＝是取等号．

∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．

故选：D．

3．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（　　）

A．    B．    C．    D．10

解：∵，∴，解得x＝2，

∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，

∴，，

∴．

故选：A．

4．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜b＜a    C．b＜a＜c    D．b＜c＜a

解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，

∴b＜a＜c．

故选：C．

5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cosx，x∈R上所有的点的（　　）

A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变    

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变    

C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变    

D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变

解：将函数y＝cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cosx的图象．

故选：A．

6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（　　）

A．这9年我国快递业务量有增有减    

B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%    

C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%    

D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；

将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，

故中位数为第五个数48.0%，故B错误；

这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；

由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．

故选：D．

7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（　　）

A．相交但不垂直    B．垂直但不相交    

C．不相交也不垂直    D．无法判断

解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，

又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，

所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，

所以O为△BCD的垂心，

所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，

所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．

故选：B．

8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）

A．0≤α≤    B．＜α＜π    C．≤α＜    D．＜α≤

解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），

则直线l的斜率k＝＝1+m2，

又由m∈R，则k＝1+m2≥1，

则有tanα＝k≥1，

又由0≤α＜π，

则≤α＜；

故选：C．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（　　）

A．﹣1    B．1    C．2    D．5

解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，

故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．

而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，

因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，

所以，a≠±1，

故选：CD．

10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）的定义域为R    

B．函数f（x）在R上为增函数    

C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）    

D．函数f（x）只有一个零点

解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；

选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，

所以函数在R上不单调，故B错误；

选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；

选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，

故函数有两个零点，故D错误，

故选：AC．

11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（　　）

A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线    

B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形    

C．对任意复数z，    

D．当z为实数时，

解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），

则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；

对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），

|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；

对于C，取z＝1，则，有，故C错误；

对于D，当z为实数时，，则，故D正确．

故选：ABD．

12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（　　）

A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交    

B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直    

C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交    

D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行

解：直线AB与B1C1 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取C1C的中点N，则MN∥AB，且 MN＝AB，设BN 与B1C1交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，

直线HM必与AB直线相交于某点O．

所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．

过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．

过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．

过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知，，则tan2α＝　　．

解：∵，，

∴cosα＝﹣，

∴tanα＝．

则tan2α＝＝．

故答案为：﹣．

14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为　2x+y﹣5＝0　．

解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为 ＝，中点为（3，﹣1），

则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，

故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，

故答案为：2x+y﹣5＝0．

15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为 　　．

解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．

甲胜第二局概率为：，

乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，

∴甲获胜概率为：＝．

间接法：乙获胜概率为＝，

所以甲获胜概率为：1﹣＝．

故答案为：．

16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为　　．

解：如图，

取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，

取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，

又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，

∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，

故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，

则外接球的半径R＝OC＝，

则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．

故答案为：．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）

（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；

（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．

解：由题意可得：

（1）；

（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．

当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；

当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．

∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．

最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．

18．已知函数f（x）＝．

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．

解：（I）f（x）＝，

＝﹣cosx，

＝sin（x﹣），

故函数的最大值为1；

（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，

则A＝，

因为a＝，b＝2c，

由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，

即3＝4c2+c2﹣2c2，

解得c＝1．

19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．

（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；

（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．

解：（1）由频率分布直方图的性质得：

（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，

解得a＝0.03．

∴估算这100位学生学习的平均时长为：

3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．

（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，

学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，

学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，

从这8位学生中随机抽取2位家访，

基本事件总数n＝＝28，

这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．

∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．

20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：

（1）AC1的长；

（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．

解：（1）∵，

∴＝

+

＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，

∴；

（2）∵，

∴＝12+12+0＝2，

∴，

∵，

∴＝

+

＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，

∴，

∴＝﹣2．

∴＝．

∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．

21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1

（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．

（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．

（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，

联立，解得，

∴直线恒过定点（，）；

（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，

当a＝2时，x＝，满足题意，

当a≠2时，

∴y＝x﹣，

∵直线不经过第二象限，∴，

解得a＞2．

∴实数a的取值范围是[2，+∞）；

（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，

令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．

∴S△＝•|•|＝||，

对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣

所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，

∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．

此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝PA＝AD＝AB＝2．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；

（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．

【解答】（1）证明：取PB的中点E，PA的中点F，连接DF，EF，EC，

所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，

则EF∥CD，且EF＝CD，

故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，

因为平面PDA⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，

又因为AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，又DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF，

因为PD＝PA，F为PA的中点，所以DF⊥AP，

因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，

又AP∩AB＝A，AB⊂平面PAB，所以CE⊥平面PAB，

又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．

（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，

以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，

则O（0，0，0），，

所以，，

设平面PCB的法向量为，

则，即，

令，则x＝1，y＝﹣1，

故，

设平面PCD的法向量为，

则，即，

令，则x＝3，

故，

设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，

所以|cosθ|＝＝，

则，

故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．