2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详解)

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.命题“，”的否定是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2.抛物线的准线方程是

A.  B.  C.  D. 

3.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为

A.  B.  C.  D. 

4.设直线：，：若，则的值为

A. 或 B. 或 C.  D. 

5.下列有关命题的表述中，正确的是

A. 命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题

B. 命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题

C. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

D. 若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题

6.执行如图所示的算法框图，则输出的结果是

A.  B.  C.  D. 

7.方程表示椭圆的充分不必要条件可以是

A.  B. 

C.  D. 

8.如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩单位，分进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是

A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分

B. 该同学次测试成绩的众数是分

C. 该同学次测试成绩的中位数是分

D. 该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

9.若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为

A.  B. 

C.  D. 

10.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为

A.  B.  C.  D. 

11.已知双曲线的左、右焦点分别为、若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的浙近线方程为

A.  B.  C.  D. 

12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

曲线围成的图形的面积是；

曲线上的任意两点间的臥离不超过；

若是曲线上任意一点，则的最小值是．

其中正确结论的个数为

A.  B.  C.  D. 

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.椭圆的长轴长为______．

14.某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______．

15.根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，年至年每年进口总额单位：千亿元和出口总额单位：千亿元之间的一组数据如下：

16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且为坐标原点若，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知的三个顶点是，，．

Ⅰ求边所在的直线方程；

Ⅱ求经过边的中点，且与边平行的直线的方程．

18.某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：

Ⅱ若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生．现要从这名学生中任取名学生了解情况，求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率．

19.已知圆的圆心为，且圆经过点．

Ⅰ求圆的一般方程；

Ⅱ若圆：与圆恰有两条公切线，求实数的取值范围．

20.为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了名学生的得分得分均为整数，满分为分进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组单位：分，得到如下的频率分布直方图．

Ⅰ求图中的值，估计此次活动学生得分的中位数；

Ⅱ根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖．

21.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且．

Ⅰ求抛物线的方程；

Ⅱ经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值．

22.已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．

当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，，以，为直径的圆的面积分别为，当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，

故选：．

根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

2.【答案】

【解析】解：由已知抛物线方程可得：，所以，

所以准线方程为，即，

故选：．

由已知抛物线方程以及求出的值，进而可以求解．

本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：点，

一个点关于轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，

点关于轴对称的点的坐标为 

故选：．

根据所给的点的坐标，知一个点关于轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．

本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．

4.【答案】

【解析】解：直线：，：，，

，

解得或．

故选：．

利用直线与直线垂直的性质直接求解．

本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】

【解析】解：对于：命题“若是偶数，则，都是偶数”的逆命题是：“若，都是偶数，则是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；

对于：命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则也为无理数”是假命题，故B错误；

对于：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故C正确；

对于：若命题“”，“”均为假命题，则为假命题，为真命题，故D错误．

故选：．

直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．

本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，

．

故选：．

模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，进而根据裂项法即可求解．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：若方程表示椭圆，

则，解得：且，

则方程表示椭圆的充要条件是：且，

则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是：且的真子集，

选项D，符合条件．

故选：．

求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：由散点图得：

对于，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差为：，超过分，故A正确；

对于，该同学次测试成绩的众数是分，故B正确；

对于，该同学次测试成绩的中位数是：分，故C错误；

对于，该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．

故选：．

利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．

本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.【答案】

【解析】解：设，，则，，

两式相减得：，

因为弦恰好被点平分，所以有，．

所以直线的斜率，

因此直线的方程为，即，

故选：．

设，，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：如图，设大正方形的边长为， 

则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，

白色部分的面积为：

，

在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：

．

故选：．

设大正方形的边长为，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．

本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11.【答案】

【解析】解：设双曲线的左、右焦点分别为：

，，

一条渐近线方程为，

可得到渐近线的距离为，

则，，

在直角三角形中，，

在中，可得，

化为，

所以双曲线的渐近线方程为： 

故选：．

设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得到渐近线的距离，可得，，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得，可得渐近线方程．

本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：曲线：可知曲线关于原点，，轴对称，

当，时，可得，可得，所以可得是以为圆心，为半径的半圆， 

由此可作出曲线的图象，如图所示，

所以曲线围成的图形的面积是，故命题正确；

曲线上任意两点间距离的最大值为，故命题错误；

设圆心到直线的距离为，

故曲线上任意一点到直线的距离的最小值为最小值为，

故的最小值是，故命题正确．

故选：．

由曲线方程知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得是以为圆心，为半径的半圆，由此可作出曲线的图象，从而通过运算可判断命题的真假．

本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：椭圆，可得，

可得，所以椭圆长轴长为：．

故答案为：．

化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．

14.【答案】

【解析】解：系统抽样间隔为，且抽取的第一位编号是，

所以第四位的编号是．

故答案为：．

求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．

本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．

15.【答案】  

【解析】解：由题意可得：．

．

因为样本中心满足回归直线方程，可得，

解得．

，

年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为，

则，解得．

故答案为：；．

求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划年出口总额达到千亿元，求解即可．

本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：设椭圆：，

双曲线：，

，为与的共同焦点，

则，，

由，得，

所以，所以，

所以，

所以为与的一个公共点，

设，，则， 

，，

， 

，得，

代入，得，

所以，所以， 

又，，所以，，

所以化为，即，

因为，所以，

所以，所以，

所以，即，

则，又，所以，

所以的取值范围为，

故答案为：．

设椭圆：，双曲线：，，为与的共同焦点，则，，由，得，则为与的一个公共点，设，，可得，，，进一步求出的取值范围．

本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．

17.【答案】解：Ⅰ由题意知斜率为，所以边所在直线方程为，即．

    Ⅱ由Ⅰ知可设为，又边中点为，将点代入直线的方程得，解得，所以方程为．

【解析】Ⅰ由、两点坐标可以写出直线斜率，再代入、中的一个点就可以求出方程．Ⅱ求出中点，与平行，从而斜率相等，即可设出，代入、中点求得．

本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．

18.【答案】解：：Ⅰ用表示“认为作业不多”，用表示“喜欢手机网游且认为作业多”，

则，．

Ⅱ若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生，

“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为，

采用分层抽样方法抽取人，其中“不喜欢手机网游”的有人，

“喜欢手机网游”有人，

记“不喜欢手机网游”的名学生为，“喜欢手机网游”的名学生分别为，，，，

从名学生中抽取名学生的所有可能情况有，

恰有名“不喜欢手机网游”学生的情况有：

，，，，共种，

其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率．

【解析】Ⅰ利用古典概型直接求解．

Ⅱ采用分层抽样方法抽取人，其中“不喜欢手机网游”的有人，“喜欢手机网游”有人，记“不喜欢手机网游”的名学生为，“喜欢手机网游”的名学生分别为，，，，从名学生中抽取名学生的所有可能情况有，利用列举法求出恰有名“不喜欢手机网游”学生的情况有种，由此能求出其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：设圆的方程为 为圆的半径，

圆经过点，

，即，

圆的标准方程为．

由知圆的圆心为，半径为，

圆：与圆恰有两条公切线，

圆与圆相交，

，

，

，

故的取值范围是．

【解析】设圆的方程为 为圆的半径，再将点代入圆方程，即可求解．

将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．

本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．

20.【答案】Ⅰ由图知第三组频率为，所以第三组矩形的高为．

         因为前两组的频率为，前三组的频率为，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为，，解得，所以估计此次得分的中位数是

分．

Ⅱ由频率分布直方图知，学生得分的平均值为．

         参赛的名学生中得分不低于分的人数为，

        所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为分，参赛的名学生中有名学生获奖．

【解析】Ⅰ所有组频率之和为，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是值．频率分布直方图中的中位数是频率位置为应的的值．

Ⅱ平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数乘以不低于平均值的频率．

本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．

21.【答案】解：Ⅰ由题意，，得．

抛物线的方程为；

Ⅱ由Ⅰ知焦点为．

由已知可得两直线、的斜率都存在且均不为．

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

故直线的方程为，

联立方程组，消去，整理得，

设点，，则，

为弦的中点，．

由，故点，

同理，可得，

故，．

．

当且仅当，即时，等号成立．

的最小值为．

【解析】Ⅰ由题意可得，求得，则抛物线的方程可求；

Ⅱ由Ⅰ知焦点为由已知可得两直线、的斜率都存在且均不为设直线的斜率为，则直线的斜率为，可得直线与的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得与的坐标，再求出与的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．

本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．

22.【答案】解：由题意知，

又，且，

，

由椭圆定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

设椭圆的方程为，

则．

．

曲线的方程为．

由题意知直线的方程为，

设直线与椭圆的交点为，，

由，消去，化简得，

，

即，

，

，

，

，

，

，

，

是定值，为．

【解析】由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；

设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值．

本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于难题．