青海省西宁四中2014-2015学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集为R，集合M={x|x2＞4}，N={x|log2x≥1}，则M∩N=（　　）

　 A． [﹣2，2] B． （﹣∞，﹣2） C． （2，+∞） D． （﹣2，+∞）

2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（　　）

　 A． ﹣4 B．  C． 4 D． 

3．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（　　）

　 A． 2 B． ±2 C． ﹣2或﹣3 D． 2或﹣3

4．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（　　）

　 A． ﹣1 B． 0 C． 3 D． 4

5．二项式（+）10展开式中的常数项是（　　）

　 A． 180 B． 90 C． 45 D． 360

6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）

　 A． y=±2x B．  C．  D． 

8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=（　　）

　 A． ﹣2 B． 2 C． 3 D． ﹣3

9．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（　　）

　 A． 16 B． 24 C． 32 D． 48

10．已知函数f（x）=，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤﹣t+1恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

　 A． （﹣∞，1]∪[2，+∞） B． （﹣∞，1]∪[3，+∞） C． [1，3] D． （﹣∞，2]∪[3，+∞）

11．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（　　）

　[来源:学科网] A． 7π B． 14π C．  D． 

12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0．给出下列四个命题：

①f（3）=0；

②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；

④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．

其中正确命题的个数为（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

二、填空题（5×4=20分，把答案填在答题纸的相应位置上）

13．已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为　　　　　　．

14．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=　　　　　　．

15．曲线在点M（，0）处的切线的斜率为　　　　　　．

16．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1），则{an}的通项公式为　　　　　　．

三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2=S．

（1）求A；

（2）若a=5，cosB=，求c．

18．如图五面体中，四边形CBB1C1为矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四边形ABB1N为梯形，

且AB⊥BB1，BC=AB=AN==4．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；    

（2）求此五面体的体积．

19．为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者．统计如下：

（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；

（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X表示抽得甲班志愿者的人数，求X的分布列和数学期望．

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；[来源:学,科,网]

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求直线l的方程．

21．已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

四、解答题（共1小题，满分8分）

22．已知直线L的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+）（θ为参数）．

（1）求圆C的直角坐标方程．

（2）判断直线L和圆C的位置关系．

五、解答题（共1小题，满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|

（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；

（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．

2014-2015学年青海省西宁四中高三（上）

第一次月考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集为R，集合M={x|x2＞4}，N={x|log2x≥1}，则M∩N=（　　）

　 A． [﹣2，2] B． （﹣∞，﹣2） C． （2，+∞） D． （﹣2，+∞）

考点： 交集及其运算．

专题： 计算题；不等式的解法及应用；集合．

分析： 求出M中二次不等式的解集确定出M，求出N中对数不等式的解集确定出N，再求出两集合的交集即可．

解答： 解：由于M={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，

N={x|log2x≥1}={x|log2x≥log22}={x|x≥2}，

则M∩N={x|x＞2}．

故选C．

点评： 此题考查了交集及其运算，同时考查二次不等式和对数不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（　　）

　 A． ﹣4 B．  C． 4 D． 

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数求模．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部．

解答： 解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，[来源:学§科§网]

故z的虚部等于，

故选：D．

点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

3．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（　　）

　 A． 2 B． ±2 C． ﹣2或﹣3 D． 2或﹣3

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 根据程序框图，得到x的可能取值，逐个判断是否满足条件即可得到答案．

解答： 解：当输出值为4时，由程序框图知x的取值为﹣3或2或﹣2，

x=﹣3，x≥1不成立，执行y=1﹣x=4，正确．

x=2，x≥1成立，执行y=x2=4，正确．

x=﹣2，x≥1不成立，执行y=1﹣x=3，不正确．

故选：D．

点评： 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．

4．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（　　）

　 A． ﹣1 B． 0 C． 3[来源:学科网] D． 4

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

解答： 解：作出不等式对应的平面区域，

设z=x﹣y，得y=x﹣z，

平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点B（3，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大．

此时z的最大值为z=3﹣0=3，

故选：C．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

5．二项式（+）10展开式中的常数项是（　　）

　 A． 180 B． 90 C． 45 D． 360

考点： 二项式定理的应用．

专题： 二项式定理．

分析： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．[来源:Zxxk.Com]

解答： 解：二项式（+）10展开式的通项公式为 Tr+1=•2r•，

令5﹣=0，求得 r=2，可得展开式中的常数项是 •22=180，

故选：A．

点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．

6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题．

分析： 由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，求出面积．

解答： 解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，

底面是斜边上的高是1的直角三角形，

则两条直角边是，

斜边是2，

∴底面的面积是=1，

与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，

∴三棱锥的高是，

∴三棱锥的体积是

故选B．

点评： 本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度．

7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）

　 A． y=±2x B．  C．  D． 

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题．

分析： 由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．

解答： 解：∵，

故可设，则得，

∴渐近线方程为 ，

故选C．

点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．

8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=（　　）

　 A． ﹣2 B． 2 C． 3 D． ﹣3

考点： 等比数列的前n项和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 首先根据等比数列的前n项和公式建立等量关系，解方程求的结果．

解答： 解：根据等比数列的前n项和公式：Sn=

∵S3+3S2=0

∴+3=0

（1﹣q）（q2+4q+4）=0

解得：q=﹣2，q=1（舍去）

故选：A

点评： 本题考查的知识点：等比数列的前n项和公式及相关的运算问题．

9．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（　　）

　 A． 16 B． 24 C． 32 D． 48

考点： 排列、组合及简单计数问题．

专题： 计算题．

分析： 根据题意，分析可得若恰好3次就结束测试，必有前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，先分析第3次测出次品情况数目，再分析前2次测试，即一次正品、1次次品的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

解答： 解：根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，

第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C21=2种情况，

前2次测试，即一次正品、1次次品，有C81×A22=16种情况，

则恰好3次就结束测试共有2×16=32种情况，

故选C．

点评： 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，易错点是对“恰好3次就结束测试”的理解．

10．已知函数f（x）=，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤﹣t+1恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

　 A． （﹣∞，1]∪[2，+∞） B． （﹣∞，1]∪[3，+∞） C． [1，3] D． （﹣∞，2]∪[3，+∞）

考点： 函数恒成立问题．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 这是一个不等式恒成立问题，只需即可，再求分段函数的最大值，解出关于t的不等式即为所求．

解答： 解：对于f（x），当x≤1时，y=﹣在（﹣∞，]递增，在（]上递减，故此时ymax=f（）=；

当x＞1时，y=log0.5x是减函数，此时y＜log0.51=0，；综上原函数的最大值为，

故不等式f（x）≤﹣t+1恒成立，只需﹣t+1即可，解得t≤1或t≥3．

故选B．

点评： 本题考查了不等式恒成立的问题、分段函数的最值的求法等问题，一般是把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解．

11．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（　　）

　 A． 7π B．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 14π C．  D． 

[来源:Z&xx&k.Com]

考点： 球的体积和表面积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．

解答： 解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，

它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，

它的外接球半径是

外接球的表面积是4π（）2=14π

故选：B．

点评： 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．

12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0．给出下列四个命题：

①f（3）=0；

②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；

④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．

其中正确命题的个数为（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D．[来源:学.科.网] 4

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 综合题；函数的性质及应用．

分析： ①在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=﹣3，可得f（﹣3）=0，f（x）是R上的偶函数，从而可判断①；

②由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，再利用f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），从而可判断②；

③依题意知，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，利用f（x）的周期为6，且f（x）是R上的偶函数，可判断函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，从而可判断③；

④由题意可知，y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，从而可判断④．

解答： 解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），即f（﹣3）=0，

又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，即①正确；

②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，

又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），

而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），

所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；

③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0，

所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，

因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数

而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，故③错误；

④：f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，

所以：y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，

所以，函数y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，故④错误．

故正确命题的个数为2个，

故选：B．

点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．

二、填空题（5×4=20分，把答案填在答题纸的相应位置上）

13．已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为　　．

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．

专题： 平面向量及应用．

分析： 由已知得（+2）•（λ﹣）==4λ﹣18=0，由此能求出实数λ的值．

解答： 解：∵⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，

∴（+2）•（λ﹣）

=

=4λ﹣18=0，

解得．

故答案为：．

点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．

14．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=　π　．

考点： 几何概型．

专题： 概率与统计．

分析： 根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．

解答： 解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，

矩形的面积为，

则由几何概型的概率公式可得，

即cosa=﹣1，

又a∈（0，2π），

∴a=π，

故答案为：π

点评： 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．

15．曲线在点M（，0）处的切线的斜率为　　．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．

解答： 解：∵

∴y'==

y'|x==|x==

故答案为：．

点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题．

16．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1），则{an}的通项公式为　an=3n﹣1　．

考点： 数列的函数特性．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 当n≥2时，an+1=2Sn+1（n≥1），an=2Sn﹣1+1，两式相减可得an+1=3an．利用等比数列的通项公式即可得出．

解答： 解：当n≥2时，an+1=2Sn+1（n≥1），an=2Sn﹣1+1，

∴an+1﹣an=2an，

∴an+1=3an．

当n=1时，a2=2a1+1=3．

∴数列{an}为等比数列．

∴an=3n﹣1．

故答案为：3n﹣1．

点评： 本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．

三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2=S．

（1）求A；

（2）若a=5，cosB=，求c．

考点： 余弦定理．

专题： 解三角形．

分析： （1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tanA的值，即可确定出A的度数；

（2）由cosB的值求出sinB的值，进而求出sinC的值，由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵b2+c2﹣a2=2bccosA，S=bcsinA，

∴代入已知等式得：2bcosA=•bcsinA，

整理得：tanA=，

∵A是三角形内角，

∴A=60°；

（2）∵B为三角形内角，cosB=，

∴sinB==，

∴sinC=sin（B+A）=sin（B+60°）=sinB+cosB=，

∵a=5，sinA=，sinC=，

∴由正弦定理得：c==3+4．

点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．如图五面体中，四边形CBB1C1为矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四边形ABB1N为梯形，

且AB⊥BB1，BC=AB=AN==4．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；    

（2）求此五面体的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）利用直线与平面垂直的性质定理证明B1C1⊥BN，然后利用勾股定理证明BN⊥B1N，通过B1N∩B1C1=B1，利用直线与平面垂直的判定定理证明：BN⊥平面C1B1N；    

（2）连接CN，说明NM⊥平面B1C1CB，然后五面体的体积分别求解即可．

解答： 解：（1）证明：连4，过N作NM⊥BB1，垂足为M，

∵B1C1⊥平面ABB1N，BN⊂平面ABB1N，

∴B1C1⊥BN，…（2分）

又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，

∴，=，

∵，

∴BN⊥B1N，…（4分）

∵B1C1⊂平面B1C1N，B1N⊂平面B1C1N，B1N∩B1C1=B1

∴BN⊥平面C1B1N…（6分）

（2）连接CN，，…（8分）

又B1C1⊥平面ABB1N，所以平面CBB1C1⊥平面ABB1N，且平面CBB1C1∩ABB1N=BB1，NM⊥BB1，

NM⊂平面B1C1CB，

∴NM⊥平面B1C1CB，…（9分）

…（11分）

此几何体的体积…（12分）

点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力．

19．为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者．统计如下：

（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；

（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X表示抽得甲班志愿者的人数，求X的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

专题： 概率与统计．

分析： （1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5，从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有+++，由此能求出这两名来自同一个班级的概率．

（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10．X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5…（2分）

从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有种，

这两名志愿者来自同一班级的取法共有+++=350．…（5分）

∴．…（6分）

（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，

来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10．

X的可能取值为0，1，2，…（8分）

P（X=0）=，

，

．

∴X的分布列为：

X 0 1 2

P   

…（11分）

EX=0×=1.2．…（12分）

点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求直线l的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；

（2）为避免讨论可设过F1的直线l的方程为x=ty﹣1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF2B的面积就是=，由此求出t的值，则直线l的方程可求．

解答： 解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

由|F1F2|=2得c=1，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），

又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2﹣c2=4﹣1=3．

∴椭圆C的方程为；

（2）如图，

设直线l的方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），

把x=ty﹣1代入，得：（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0

，

∴==，

∴，

解得：（舍）或t2=1，t=±1．

故所求直线方程为：x±y+1=0．

点评： 本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x=ty﹣1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．

21．已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．

专题： 计算题．

分析： （I）首先求出f（1）的值，进而得出b﹣a=﹣4，然后求出函数的导数，求出f'（﹣1）==﹣1，就可以求出a、b的值，得出函数的解析式；

（II）将不等式整理得出（x2+1）lnx≥2x﹣2，问题转化成x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，然后设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，并求出h'（x），得出x≥1时h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而求出h（x）的最小值，得出结果．

解答： 解：（Ⅰ）将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2

∴，化简得b﹣a=﹣4．                …（2分）

．                    …（4分）

解得：a=2，b=﹣2

∴．                                      …（6分）

（Ⅱ）由已知得在[1，+∞）上恒成立

化简得（x2+1）lnx≥2x﹣2[来源:学科网]

即x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．             …（8分）

设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，

∵x≥1∴，即h'（x）≥0．         …（10分）

∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0

∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．                      …（12分）

点评： 本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题，关于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．

四、解答题（共1小题，满分8分）

22．已知直线L的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+）（θ为参数）．

（1）求圆C的直角坐标方程．

（2）判断直线L和圆C的位置关系．

考点： 直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．

分析： （1）运用代入法，即可得到直线的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）求出圆心到直线的距离你，再由d，r的大小，即可判断直线和圆的位置关系．

解答： 解：（1）消去参数t，得直线l的方程为y=2x+1；

ρ=2sin（θ+），即ρ=2（sin θ+cos θ），

两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsin θ+ρcos θ），

消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；

（2）由于圆心C（1，1）到直线l的距离，

d==＜r=，

所以直线l和⊙C相交．

点评： 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程或直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，属于基础题．

五、解答题（共1小题，满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|

（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；

（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．

考点： 绝对值不等式的解法．

专题： 计算题；压轴题；分类讨论．

分析： （Ⅰ）分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f（x）=，然后即可证明﹣3≤f（x）≤3

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f（x）≥x2﹣8x+15的解集．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=

当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3，

所以，﹣3≤f（x）≤3

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；

当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}

当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}

综上：不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集：{x|5﹣≤x≤6}

点评： 本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．

参与本试卷答题和审题的老师有：双曲线；caoqz；w3239003；qiss；涨停；chenzhenji；danbo7801；王兴华；刘长柏；wfy814；zlzhan；maths；minqi5；孙佑中；sllwyn；sxs123；wubh2011（排名不分先后）

菁优网

2015年9月5日