河海大学 高等数学 高等数学(下册)1-15考试试卷及解答

一、1、当时，；当时，；

2、负号；   3、；   4、；

5、180；  6、；

7、；      8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；

三、1、；；

2、；；

四、1、；

2、；

五、令则，； 

于是当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O（0，0）时，在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，则

六、由所给条件易得：

又=

即

  即

又  即  

  七、令，考虑级数

当即时，亦即时所给级数绝对收敛；

当即或时，原级数发散；

当即时，级数收敛；

当即时，级数收敛；

级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参

一、1、1；  2、-1/6； 3、； 4、；

5、；  6、； 7、；  8、0；

二、1、C；  2、B；  3、A；  4、D；  5、C；  6、D；  7、B；  8、C；

三、1、函数在点A（1，0，1）处可微，且

；

；

 而所以,故在A点沿方向导数为：

 ++

2、由得D内的驻点为且，

   又

   而当时， 

   令得

   于是相应且

   在D上的最大值为，最小值为

四、1、的联立不等式组为

所以

2、在柱面坐标系中

所以

五、1、连接，由公式得：

2、作辅助曲面，上侧，则由Gauss公式得：

  +=

    =

    =

六、由题意得： 

即

特征方程，特征根

对应齐次方程的通解为： 

又因为是特征根。故其特解可设为： 

代入方程并整理得： 

即  

故所求函数为： 

高等数学（下册）考试试卷（三）参

一、1、； 2、； 3、；

4、；  6、，

公式；  7、   8、。

二、1、C；   2、B；   3、A ；   4、C ；  5、A ；  6、D ；   7、B ；   8、B 

三、由于， 

由上两式消去，即得：   

四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为

；令，于是由：

得条件驻点： 

  依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。

五、曲线在面上的                        

投影为

     于是所割下部分在面上的投影域为：

，                                    

由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。      

六、将分为上半部分和下半部分，

   在面上的投影域都为： 

于是：

        ；

         ，

  =

七、因为，即

    所以         

八、

     又

高等数学（下册）考试试卷（四）参

一、1、；2、； 3、； 4、； 5、；

6、； 7、；

8、； 

二、1、C；  2、C；  3、A；  4、D；  5、A；  6、B； 7、A；  8、C

三、

  故

四、设是曲面上的任意点，则，

   在该点处的法向量为： 

于是曲面在点处的切平面方程为： ++=0

即++=1

因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

这是一个定值，故命题得证。 

五、由于介于抛物面，柱面及平面之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之间的立体体积为最大即可。

    设与切于点，则的法向量为，且，切平面方程为： 

    即

    于是

    则由，得驻点（1，0）

   且

   由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为： 

六、联接，并设由L及所围成的区域为D，则

七、令，则，于是原方程可化为： 

    即，其通解为

      即

故原方程通解为： 

八、易求得该幂级数的收敛区间为

，令，则

注意到， 

高等数学（下册）考试试卷（五）参

一、1、；2、；3、；4、；

   5、对任意闭曲线，或或使得；

   6、； 7、； 8、发散

二、1、C；  2、B；  3、A；   4、C；   5、C；   6、B；  7、D；   8、A

三、1、；； 

2、

  。

四、1、因为积分域D关于对称，所以

故

  =；

2、

+

        因为关于三个坐标轴都对称，而都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：

        。

五、令

    则    ， 

    由已知条件得，即有，所以

    所求的一个原函数为 ：

六、易知

    又

   ，  其中

七、方程的特征方程为：，其特征根为，

故方程的通解为： 

高等数学（下册）考试试卷（六）参

一、1、；2、；3、；

    4、； 5、； 6、；    

    7、； 8、

二、1、B；  2、D ；  3、A；  4、C；  5、D；  6、C；  7、C；  8、A。

三、令，则 

     ，， 

     于是过任意点处的切平面方程是：

取，上式被满足，即切平面过定点

四、得在D内的驻点，

令

解方程组

得条件驻点

于是由得所求的最大值为46，最小值为1。

2

五、如图          

x

4

1

2

0

1

所以    

     。

六、令，，， 

则

同理； 

于是

作辅助曲面，内侧，使得位于的内部，以表示由与所围成的立体域，表示所围成的立体域，则

          =

七、因为，所以被积函数连续。

又

于是

八、方程变形得：，这是齐次方程。

令得：，代入方程得： 

由原方程知，因此，对上式积分，得：

即

故方程的通解为： 

高等数学（下册）考试试卷（七）参

一、1、；  2、；

3、； 4、； 5、； 6、；

7、； 8、

二、1、C；  2、B；  3、A；  4、D；  5、B；  6、C；  7、D；  8、A

三、1、

2、

y

y=x

四、1、如图，积分域在极坐标中                    

D

可表示为                             

x

o

于是                              

    2、设为抛物面上的任意一点，则点处的切平面方程为： 

      该切平面与曲面的交线为：，

      消去得：，故所求体积为：

      令得：

      ,即体积为定值。

五、令

则

所以

因而是某二元函数的全微分。

又

所以

因而

六、设，取上侧，则

七、由题设条件，易得

因为

所以

因而，即

这是一个关于的一阶线性方程

故

又，即，故

高等数学（下册）考试试卷（八）参

一、1、； 2、；  3、π；  4、；

5、4；   6、；   7、；   8、

二、1、B;  2、C;  3、C;  4、D;  5、C;  6、A;  7、D;  8、D

三、对应齐次方程的特征方程为，特征根为

于是对应齐次方程的通解为

又=0不是特征根，所以特解可设为

代入微分方程可得A=，B=

故原方程的通解为

又，  

则，解得

故初值问题的解为

四、1、由题设得

所以

2、对所给方程组两端求微分得：

解以为未知量的方程组得：

， 

五、设切点为，由隐函数求导得

故切线方程为

令得

令得

注意到切点在曲线上，即

则得三角形面积为： 

                    =

要求的最小值，只要求的最大值，而

  =

令

由,得

驻点唯一，而由实际问题知最小面积存在。

故最小面积为

六、令

得， 

连接,记L及所围区域为D，则由Green公式得：

I=

 =

 ==

七、作辅助曲面，取上侧

由所围成的立体域记为，则由Gauss公式得：

  I==

   =3

   =

八、令

则

所以原级数收敛且是绝对收敛的。

高等数学（下册）考试试卷（九）参

一、1、； 2、

3、2；  4、；  5、2+；  6、-   7、；

8、

二、1、（C）； 2、（B）； 3、（B）； 4、（A）； 5、（D）； 6、（D）；7、（A）； 8、（B）

三、先把延拓为

再把延拓成以2为周期的函数，并且

        （）

因为满足收敛定理的条件，所以的Fourier级数在的连续点处收敛于，在的不连续点处收敛于， 

又因为在（）上是奇函数，于是

       =

所以展开为正弦级数为

    =  ，

在上式中，令得：1=

所以  

四、由得D内的驻点M（）

     因为在有界闭区域D上连续，于是在D上必有最大值和最小值存在。可微函数的最大值及最小值在驻点或D的边界上取得。

在线段OA上，。最大值为，最小值为

在线段AB上，。最大值为，最小值为

在线段BE上，。最大值为，最小值为

在线段EO上，。最大值为，最小值为

又，所以在D上的最大值为，最小值为。

五、令，于是

     =

=

又=

==

所以=

    因为在（0，1）上都是单调增加连续函数，所以

    （）

故

即

六、令，则P、Q在平面内有一阶偏导数，且

  由已知条件知： 

  即

  这是关于的二阶非齐次线性方程，其通解为

   由，可得

   所以

七、如图                     

        U       

V            

根据复合函数求导法则

八、如图    

   所以

而的方程为： 

   所以

的方程为

   所以

的方程为

   所以

故

高等数学（下册）考试试卷（十）参

一、1、；    2、； 

    3、++

    4、；    5、-；     6、； 

7、；      8、

二、1、C；  2、B；  3、C；  4、B；  5、C；  6、A；  7、D；  8、A

三、设水池长、高、宽分别为米，则其体积为

当时，所用水泥量为：

++

   =++

       =

 =

四、设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为

，且

这是条件极值问题。作函数为

由

得条件驻点，其中

由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。

所求的最小面积为

五、1、令                                       

  0                      

        则

           =

       =

       ==

2、由对称性得：

    ======

所以

        =

又由对称性，只需计算在第一象限内的积分，然后八倍。而第一象限部分在面上的投影为： 

因为，所以

       所以=

  3、作辅助曲面：，上侧

则

    =

    ==

    ===

六、关系式两端关于求导得：

即

这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：

      =

又，即，故，所以

七、令，则

又=

所以收敛，因而绝对收敛，故收敛。

高等数学（下册）考试试卷（十一）参

一、1、；  2、；  3、；  4、；

5、；  6、；  7、

8、， 

二、1、C;   2、B;   3、A;   4、C;   5、A;   6、D;   7、C;   8、B

三、取

作辅助曲面：，取内侧

    是由及所围成的立体，令

，， 

    则=

， 

于是

    所以=

   =

   =

四、1、，，  

2、，

五、1、

  ==

2、的参数形式为    

   所以

        =

六、幂函数的收敛区间为，。令

则， 

所以=

        =， 

又由和函数的性质得： 

即

所以

七、设均质链条的线密度为，经过时间，链条（10米的一侧）下滑米。于是由牛顿第二定律得：

   即，且， 

   解上方程得

   代入初始条件得，所以

  于是

  故当整个链条滑过钉子时，即所需时间为： 

高等数学（下册）考试试卷（十二）参

一、1、； 

2、； 3、； 4、； 

5、； 6、

7、， 

8、

二、1、D；  2、D；  3、B；  4、C；  5、A；  6、B；  7、A；  8、B

三、1、因为，所以

所以

故

2、方程两端求微分得

   所以   所以

          所以， 

   于是==

四、1、=

         ==

2、令，，则

      ， 

   于是由公式得：

              =

3、令，，，则

      ，， 

   由公式得：

      =

=

五、解：选物体的起始位置作为坐标原点，竖直向下的方向为轴正向，则物体受到的力为：

其中表示物体在时刻的瞬时速度。则由牛顿第二定律得：

         ，且

       即，且

解之得： 

由及得：

高等数学（下册）考试试卷（十三）参

一、1、；2、直线上的所有的点；3、；

4、；    5、

二、1、C；   2、A；   3、B；   4、D；   5、B

三、1、将原方程变形得： 

       由初始条件积分得：

    =

2、因为

 所以

         +

3、令

  则

       =

  又

  所以

  即该级数收敛，且其和为

4、

5、

  =  (其中)

四、因为，， 

所以

因此

其收敛半径为

五、

  =

  =

六、因为， 

所以

七、由对称性知：

八、收敛半径

收敛区间为

令，则

令

则=

所以，故， 

高等数学（下册）考试试卷（十四）参

一、1、； 2、；3、

二、1、D；   2、C；   3、B

三、1、求导得，再求导得：  

特征方程为，特征根为

故的通解为

又， 

即   所以  

故

2、因为

   其中

   设， 

   则=+

                =+

                =

即=

3、因为， 

 令得： 

  所以， 

四、因为

所以=

五、因为

而

=

所以，即该级数发散。

六、由公式有：

七、设为椭球面第一象限部分上的点，则该点处切平面方程为         

于是所研究的立体体积为：

     ，其中为椭球体的在第一象限部分上的体积，

它是一个定常数，故只要求的最大值。

令

则

由前三式可得，代入第四式即可得唯一解：

       ，， 

由于体积的最小值存在，故点为所求点。

八、面积==

九、设摆线方程为

===

十、由到平面的距离为

圆的半径为，周长为

在上

所以

高等数学（下册）考试试卷（十五）参

一、1、不存在；  2、；  3、；

4、； 5、；

二、1、D；  2、B；  3、C；  4、D；  5、A

三、1、， 

2 、等式两端求微分得：

于是

所以， 

3、令，则曲面上点处的切向量为

  于是由题设条件得：

   所以

   由得

   故切平面方程为： 

   即

   从而所求的立体体积为

四、1、

2、投影域为

  所以

3、由公式得：

五、1、令，则,且

从而收敛

又，所以

而发散，故发散，从而原级数条件收敛。

2、设的方程为，且记

  则由题设条件得： 

  即

  将改为得： 

  求导得：，且

  该方程的通解为

  又，即，所以

       故所求的曲线方程为