2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级(上)第一次月考数学试卷...

一、选择题（每小题3分，8小题，共24分）

1．小明去电影院观看《长津湖》，如果用（3，13）表示3排13号，那么2排6号表示为（　　）

A．（3，6）    B．（13，6）    C．（2，6）    D．（6，2）

2．各组数中，是勾股数的是（　　）

A．9，16，25    B．0.3，0.4，0.5    

C．1，，2    D．8，15，17

3．在实数﹣，，0，﹣π，0.070070007…（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

4．的平方根是（　　）

A．±2    B．2    C．±4    D．4

5．下列二次根式中，能与合并的是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．18    B．22    C．28    D．36

7．若6﹣的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（　　）

A．﹣2+    B．﹣2﹣    C．2+    D．2﹣

8．观察下列运算：，计算的值为（　　）

A．﹣1    B．    C．﹣1    D．

二、填空题（每小题3分，4小题，共12分）

9．若4a+1的算术平方根是3，则a的值　 　．

10．已知实数a，b满足，则（a+b）2021的立方根为 　   　．

11．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是　            　cm．

12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知BD＝1，AD＝CD＝2，BC上方有一动点P，且点P到A，D两点的距离相等，则△BCP周长的最小值为 　              　．

三、解答题（共6小题，共分）

13．（16分）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

14．求下列各式中x的值．

（1）16（x+1）2＝；

（2）（2x﹣1）3＝﹣27．

15．点A，B在数轴上对应实数a，b的位置如图，化简．

16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝2，BD＝4．

（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；

（2）求DE的长．

18．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作∠DCE＝45°，且CD、CE分别与AB相交于D、E两点，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF．

（1）DE与AD、EB的数量关系是 　            　；若AD＝4，EB＝6，则DE的长等于 　            　；

（2）若将∠DCE绕点C逆时针旋转使CD与AB相交于点D，边CE与AB的延长线相交于点E，而其他条件不变，如图②所示，猜想DE与AD、EB之间有何数量关系？证明你的猜想．

参

一、选择题（每小题3分，8小题，共24分）

1．小明去电影院观看《长津湖》，如果用（3，13）表示3排13号，那么2排6号表示为（　　）

A．（3，6）    B．（13，6）    C．（2，6）    D．（6，2）

【分析】根据题意形式，写出2排6号形式即可．

解：2排6号可表示为（2，6）．

故选：C．

2．各组数中，是勾股数的是（　　）

A．9，16，25    B．0.3，0.4，0.5    

C．1，，2    D．8，15，17

【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．

解：A、∵62+92≠252，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、∵0.32+0.42＝0.52，能组成直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是正整数，故本选项不符合题意；

C、∵12+2＝22，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意；

D、∵82+152＝172，能组成直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D．

3．在实数﹣，，0，﹣π，0.070070007…（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．

解：是分数，属于有理数；

0是整数，属于有理数；

无理数有，﹣π，0.070070007…（相邻两个7之间0的个数逐次加1），共3个．

故选：B．

4．的平方根是（　　）

A．±2    B．2    C．±4    D．4

【分析】先求出16的算术平方根为4，再根据平方根的定义求出4的平方根即可．

解：∵＝4，4的平方根为±2，

∴的平方根为±2．

故选：A．

5．下列二次根式中，能与合并的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据同类二次根式的概念解答即可．

解：A、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

B、＝2，与是同类二次根式，故本选项符合题意；

C、＝与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

D、＝与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B．

6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．18    B．22    C．28    D．36

【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．

解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，

即得a2+b2＝42＝16，ab＝3，

由题意4×3+（a﹣b）2＝16，ab＝6，

所以（a﹣b）2＝4，

所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×6＝28，

故选：C．

7．若6﹣的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（　　）

A．﹣2+    B．﹣2﹣    C．2+    D．2﹣

【分析】先估算的大小，再估算6﹣的大小，可得x和y的值，代入x﹣y中可得答案．

解：∵3＜＜4，

∴﹣4＜﹣＜﹣3，

∴2＜6﹣＜3，

∴6﹣的整数部分为2，小数部分为4﹣，

∴x＝2，y＝4﹣，

∴x﹣y＝2﹣（4﹣）＝﹣2．

故选：A．

8．观察下列运算：，计算的值为（　　）

A．﹣1    B．    C．﹣1    D．

【分析】先分母有理化，然后合并即可．

解：原式＝+++•••++

＝．

故选：D．

二、填空题（每小题3分，4小题，共12分）

9．若4a+1的算术平方根是3，则a的值　2　．

【分析】根据算术平方根的定义求出a的值即可．

解：∵4a+1的算术平方根是3，

∴4a+1＝9，解得a＝2．

故答案为：2．

10．已知实数a，b满足，则（a+b）2021的立方根为 　﹣1　．

【分析】根据非负数的性质可得a﹣1＝0，b+2＝0，解出a、b的值，进而可得答案．

解：由题意得：a﹣1＝0，b+2＝0，

解得：a＝1，b＝﹣2，

则（a+b）2021＝（1﹣2）2021＝﹣1，

所以（a+b）2021的立方根为﹣1．

故答案为：﹣1．

11．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是　　cm．

【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；

（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；

（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．

所以最短路径的长为AB＝（cm）．

故答案为：．

12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知BD＝1，AD＝CD＝2，BC上方有一动点P，且点P到A，D两点的距离相等，则△BCP周长的最小值为 　+3　．

【分析】先确定P点在AD的垂线平分线l上，再作作B点关于l的对称点B'，连结B'C交l于点P，此时△BCP的周长最小，求出B'C，进而可求解．

解：∵点P到A，D两点的距离相等，

∴P点在AD的垂线平分线l上，

作B点关于l的对称点B'，连结B'C交l于点P，

∴BP＝B'P，

∴BP+CP＝B'P+CP＝B'C，此时△BCP的周长最小，

∵AD⊥BC，BD＝1，AD＝CD＝2，

∴BB'＝2，BC＝3，

在Rt△BCB'中，B'C＝＝＝，

∴△BCP的周长最小值为+3，

故答案为：+3．

三、解答题（共6小题，共分）

13．（16分）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【分析】（1）根据二次根式的加法运算法则，先化简，再计算加减．

（2）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加减．

（3）根据二次根式的混合运算法则，先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根，再计算加减．

（4）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘方、乘法，再计算减法．

解：（1）

＝

＝．

（2）

＝

＝．

（3）

＝5﹣1+9+3

＝16．

（4）

＝

＝9﹣

＝．

14．求下列各式中x的值．

（1）16（x+1）2＝；

（2）（2x﹣1）3＝﹣27．

【分析】（1）根据平方根解决此题．

（2）根据立方根解决此题．

解：（1）∵16（x+1）2＝，

∴（x+1）2＝4．

∴x+1＝±2．

∴x＝1或＝﹣3．

（2）∵（2x﹣1）3＝﹣27，

∴2x﹣1＝3．

∴x＝2．

15．点A，B在数轴上对应实数a，b的位置如图，化简．

【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简得出答案．

解：由数轴可得：a+b＜0，a＞0，a﹣b＞0，

故原式＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）+a+b

＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b+a+b

＝﹣2a+b．

16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．

解：设OB＝OA＝x（尺），

∵四边形BECD是矩形，

∴BD＝EC＝5（尺），

在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x﹣4，BE＝10，

∴x2＝102+（x﹣4）2，

∴x＝．

∴OA的长度为（尺）．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝2，BD＝4．

（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；

（2）求DE的长．

【分析】（1）先根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理求出△ABD是直角三角形；

（2）由三角形的面积即可求出DE的长．

解：（1）△ABD是直角三角形，理由如下：

∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝，

∵AD2+BD2＝（2）2+（4）2＝100＝AB2，

∴△ABD是直角三角形，

（2）∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

∴△ABD的面积＝AB•DE＝AD•BD，

∴DE＝．

18．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作∠DCE＝45°，且CD、CE分别与AB相交于D、E两点，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF．

（1）DE与AD、EB的数量关系是 　BE2+AD2＝DE2　；若AD＝4，EB＝6，则DE的长等于 　2　；

（2）若将∠DCE绕点C逆时针旋转使CD与AB相交于点D，边CE与AB的延长线相交于点E，而其他条件不变，如图②所示，猜想DE与AD、EB之间有何数量关系？证明你的猜想．

【分析】（1）根据旋转的性质证明△ECD≌△ECF（SAS），可得DE＝EF，∠EBF＝90°，然后利用勾股定理即可得结果；

（2）连接EF，根据旋转的性质证明△ECD≌△ECF（SAS），可得DE＝EF，∠EBF＝90°，然后利用勾股定理即可得结论．

【解答】（1）解：∵△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF，

∴△ACD≌△BCF，∠ACB＝∠DCF＝90°，AD＝BF，

∴∠ACD＝∠BCF，∠A＝∠CBF，CD＝CF，AD＝BF＝6，

∵∠DCE＝45°，

∴∠DCE＝∠ECF＝45°，

∵CE＝CE，

∴△ECD≌△ECF（SAS），

∴DE＝EF，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠ABC＝∠CBF＝45°，

∴∠EBF＝90°，

∴BE2+BF2＝EF2，

∴BE2+AD2＝DE2；

∵AD＝4，EB＝6，

∴DE＝＝＝2；

故答案为BE2+AD2＝DE2；2；

（2）解：DE2＝AD2+BE2，理由如下：

如图②中，连接EF，

∵将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF．

∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，

∴∠ACB＝∠DCF＝90°，

∴∠ECF＝∠ECD＝45°，

∵CE＝CE，

∴△ECD≌△ECF（SAS），

∴DE＝EF，

∵∠ABC＝45°，∠CBF＝45°，

∴∠ABF＝∠EBF＝90°，

∴BF2+BE2＝EF2，

∵BF＝AD，EF＝DE，

∴DE2＝AD2+BE2．