第2课 振动图像与波的图像及多解问题

知识目标

一、振动图象和波的图象

  振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．

简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：

  （1）说出两图中AA/的意义？

  （2）说出甲图中OA/B图线的意义？

  （3）求该波速v=？

  （4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图

（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移

  【例2】如图所示，（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是

A．该列波的波速度为4m／s ；

B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播

C、该列波的频率可能为 2 Hz；  

D．若P点的坐标为xp＝4 m，则该列波沿x轴负方向传播；

二、波动图象的多解

波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．

1.波的空间的周期性

2.波的时间的周期性

3.波的双向性

   说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．

【例3】一列在x轴上传播的简谐波，在xl= 10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期与这列简谐波的波长．

【例4】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：

①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）

③可能的波速  ④若波速是35m/s，求波的传播方向   

⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。

试题展示

1．一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距10.5m的a、b两处的质点振动图象如图中a、b所示，则

A．该波的振幅可能是20cm

B．该波的波长可能是8.4m

C．该波的波速可能是10.5 m/s

D．该波由口传播到6可能历时7s

2、一列简谐横波沿x轴负方向传播，图1是t = 1s时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同同一时间起点)，则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？

A．x = 0处的质元；      

B．x = 1m处的质元；

C．x = 2m处的质元；    

D．x = 3m处的质元。

3、如图所示，实线和虚线分别为某种波在t时刻和t＋Δt时刻的波形曲线。B和C是横坐标分别为d和3d的两个质点，下列说法中正确的是（       ）

A．任一时刻，如果质点B向上运动，则质点C一定向下运动

B．任一时刻，如果质点B速度为零，则质点C的速度也为零

C．如果波是向右传播的，则波的周期可能为Δt

D．如果波是向左传播的，则波的周期可能为Δt

4、 图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象。从该时刻起（     ）

.

A．经过0.35 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离

B．经过0.25 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度

C．经过0.15 s，波沿x轴的正方向传播了3 m

D．经过0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向

5．如图所示为一列沿x轴正方向传播、频率为50Hz的简谐横波在t=0时刻的波形,此时P点恰好开始振动.已知波源的平衡位置在O点,P、Q两质点平衡位置坐标分别为P(12,0)、Q(56,0),(    ). 

(A)波源刚开始振动时的运动方向沿＋y方向

(B)这列波的波速为600m/s

(C)当t=0.11s时,Q点刚开始振动

(D)Q点刚开始振动时,P点恰位于波谷

6、一列波在介质中向某一方向传播，如图是此波在某一时刻的波形图，且此时振动还只发生在M、N之间，并知此波的周期为T，Q质点速度方向在波形中是向下的。则：波源是_____；P质点的起振方向为_________；从波源起振开始计时时，P点已经振动的时间为______。

7. 一列沿x轴正方向传播的横波，某时刻的波形图象如图中的实线Ⅰ所示，经t＝0.2 s后，波形图象如图中虚线Ⅱ所示．求这列波的波速。 

8.一列简谐波沿x轴正方向传播，t=0时波形如图甲所示.已知在0.6s末，A点恰第四次（图中为第一次）出现在波峰，求

（1）该简谐波波长、波速分别为多少？

（2）x=5m处的质点p第一次出现波峰的时间为多少？

（3）如果以该机械波传到质点p开始计时，请在下图乙中画出p点的振动图像，并标明必要的数字，至少画出一个周期的图像。

1.解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是 P质点在 0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．

（2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠衡位置方向振动．

（3）甲图得波长λ＝4 m，乙图得周期 T＝1s  所以波速v=λ/T=4m/s

（4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十½）λ

所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6——28所示

（5）求路程：因为n==7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m  

求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．

2.解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速

v＝λ／T＝4m／s．    由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp＝4 m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝  l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．

3. 【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：（1）波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x2一 x1＝（n十1/4）λ，λ=400/（1十4n）cm

（2）波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，x2一 x1＝（n十3/4）λ，λ=400／（3＋ 4n）cm     

4.     

解析：①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m  （n=0、1、2  …）

向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m   （n=0、1、2  …）

②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2  …）

向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1）   （n=0、1、2  …）

③计算波速，有两种方法。v=x/t   或v=λ/T

向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2  …）

向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2  …）

④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。

⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。则：

向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.

点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。

5.  解析：从振动模型分析，若质点P从t1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有：  t2—t1＝（n＋1／4）T      n＝0，1，2……

   周期为：T=（t2一t1）／（n十1/4）   n＝0，1，2……

  由公式：v＝λ／T  得出速度v的通解为：

 v＝20（n＋l／4） n=0，1，2……方向向左．

  若质点 P从 t1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：

   t2—t1＝（n＋3／4）T      n＝0，1，2……

   周期为：T=（t2一t1）／（n十3/4）   n＝0，1，2……

  由公式：v＝λ／T  得出速度v的通解为： v＝20（n＋3／4） n=0，1，2……方向向右．

  答案：v＝20（n＋l／4）（n＝0，1，2……）    方向向左．

    或v＝ 20（ n＋ 3／4）（ n＝ 0，1，2，……）方向向右

6.解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,…)；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100(3n+2)m/s  (n=0,1,2,…)

    ⑵P质点速度向上，说明波向左传播，T< t2-t1 <2T，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v=500m/s

    ⑶“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s7.分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：若波的传播方向由M到N，那么：

   在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．

    在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．

    在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．

    在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．

    若波的传播方向从N到M，那么：

    在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．

    在B图中，经过时间t， N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．

    在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速．

    在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．

所以该列波可能的波速有五种、、、、．

 其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速．其它情况读者可自行解决．

1.答案：D

解析：题目中给出了两个质点的振动图像，从图中直接可以看出振动的振幅为10cm,周期为4S，A错误，因为波是沿着a向b传播，所以从振动形式可以看出，b比a至少晚振动3/4个周期，满足t=nT+3，（n=0，1，2……），再利用v=  =  ，可得BC错，D正确。

2.答案：AC    

解析：由振动图象可知，振动周期为0.1s，故此列波的频率一定是10Hz，A正确；因为波速为，当n=2时，波速为34m/s，故C正确；由图不能断定波长一定是0.1m，也无法确定哪一点距波源近一些．

3.答案：C

解析：交流电的概念，大小和方向都随时间变化，在t轴的上方为正，下方为负，A错。有效值只对正弦交流电使用，最大值一样，所以B错。由图可知，C对。变压之后频率不变，D错。

4.C  5.A 6.A   7.AC

8.解析：由Q点的振动方向可知波向左传播，N是波源。由M点的起振方向（向上）得P质点的起振方向向上。振动从N点传播到M点需要1T，传播到P点需要3T/4，所以质点P已经振动的时间为T/4.