广东省广州市广雅中学2014届高三数学第三次模拟试题 文 新人教A版

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。 参考公式：柱体的体积公式sh V =，其中s 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式sh V 3

1

=，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高。 一组数据n x x x ⋯⋯,,21的方差])()()[(12

_

2_22_12x x x x x x n

s n -+⋯⋯+-+-=，

其中_

x 表示这组数据的平均数。

第一部分选择题（共50分）

一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）

1.函数y ）

A. )3,(-∞

B. ]1,0(

C. ]3,0(

D.]3,(-∞

2.下列函数中周期为π且图象关于直线

3x π

=

对称的函数是（ ）

2sin()

23

x y π

=+ B.

2sin(2)

6

y x π

=- C.

2sin(2)

6y x π

=+

D.

2sin()

23x y π

=- 3.已知i 是虚数单位，若

31i

i z

+=-，则z 的共轭复数为（ ）

A.12i -

B.24i - D.12i + 4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A.2-

B.1

2 C.1- D.2

5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公

比为( )

A ．1

B ．2

C ．1

2 D ．3

6.下列说法错误的是（ ） A.在统计学中，性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.

B.线性回归方程对应的直线a x b y

ˆˆˆ+=至少经过其样本数据),,(11y x ),,(22y x ),(,33y x …),(n n y x 中的一个点.

C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高.

D.在回归分析中，相关指数2R 为98.0的模型比相关指数2R 为80.0的模型拟合的效果好. 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ） A ．

61 B ．23+ C ．23 D ．2

1

8.已知x 、y 满足2311

43

x y x y +≥⎧⎪

≤⎨⎪≤⎩

，则12y z x -=+的取值范围为（ ）

A ．]32

,0[ B ．]1,0[ C ．]32,(-∞ D ．),3

2[+∞

9.已知定义域为)1,1(-的奇函数)(x f y =又是减函数，且0)9()3(2

<-+-a f a f ，则a 的

取值范围是（ ）

A ．(22，3)

B ．(3，10)

C ．(22，4)

D ．(－2，3)

10.若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，

1

A x

∈．则称集合A 是“好集”． (1)集合{}1,0,1B =-是好集； (2)有理数集Q 是“好集”； (3)设集合A 是“好集”，若,x y A ∈，则x y A +∈； (4)设集合A 是“好集”，若,x y A ∈，则必有xy A ∈； (5)对任意的一个“好集”A ，若,x y A ∈，且0x ≠，则必有y

A x

∈. 则上述命题正确的个数是（ ）

B.3个

C.4个

D.5个

第二部分非选择题（100分）

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分20分。其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．

11.平面向量→→b a ,满足2=→a ，1=→b ，且→→b a ,的夹角为60︒

，则)(→

→→+⋅b a a =

12.已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2=e ,且它的一个顶点与抛物线x y 82

-=的焦点重合,则此双曲线的方程为

13.已知n m ,是不重合的直线，βα,是不重合的平面，有下列命题：①若αα//,n m ⊂，

则n m //；②若n m //，α⊥m ，

则α⊥n ；③若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥；

④若βα⊥⊥m m ,，则βα//．其中真命题有 ．（写出所有真命题的序号）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y α

α=⎧⎨=+⎩

（α

为参数，2

2

π

απ

≤

≤-

），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐

标方程为s i n 1ρθ=,(0,02ρθπ≥≤<)则直线l 与圆C 的交点的极坐标为

_____________．

15（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若3AB =，1CD =，则cos APB ∠的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，且a b c <<2sin b A =． （1）求角B 的大小；

（2）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.

（本小题满分12分）

某电视台2014年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.

（1）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；

（2）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率.

（本小题满分14分）

如图，在三棱锥V A B C -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D ⊥为AB 的中点,

AC BC VC a ===.

（1）求证：AB ⊥平面VCD ； （2）求点C 到平面VAB 的距离.

（本小题满分14分）

已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，

（第20题图）

1a +2a +3a =

913

，1a 2a 3a =271.

（1）求数列{n a }的通项公式；

（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T

20.（本小题满分14分）

椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>上的任意一点00(,)P x y （左、与两焦点()12,0F -，2(2,0)F 围成的三角形的周长恒为12． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若动点(,)Q x y 到点2F 与到(8,0)K 距离之比为1

2

，求点Q 迹E 的方程；

（3）设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，且1243k k =，证明：,,A P Q 三点共线．

（本小题满分14分）

已知函数()ln f x x =，2

1()22

g x ax x =

-． （1）若曲线()()y f x g x =-在1x =与1

2

x =处的切线相互

平行，求a 的值及切线斜率；

（2）若函数()()y f x g x =-在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递减，求

a 的取值范围；

（3）设函数()f x 的图像1C 与函数()g x 的图像2C 交于Q P ,两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C 、2C 、于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不可能平行．

广东广雅中学2014届高三三模

数 学（文科）答案 选择题

CBACD BBAAC 填空题

11.5 12.

112422=-y x ; 13. ②③④ 14.)4

,2(π; 15.31- 解答题

解：（1）A b a sin 23= 由正弦定理可得A B A sin sin 2sin 3=………………2分 又π<3

sin ,0sin =

≠∴B A …………………………………………………4分 3

,,0π

π=

∴<<<（2）

由余弦定理可得：

∴==,7,2b a ,032,2

1

222)7(2222=--⨯⨯⨯-+=c c c c 即 解得：3)(13的边长为，舍或c c c ∴-==……………………………………………10分

2

3

3233221sin 21=⨯⨯⨯==

∆B ac S ABC ………………………………………12分 17.解：（1）甲班的大众评审的支持票数的中位数是：

5.762

77

76=+ 众数是72，极差是90-62=28……………………………………………3分 乙班的大众评审的支持票数的中位数是

832

84

82=+ 众数是95，极差是98-65=33………………………………………………6分

（2）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名，记为1、2、3；其余3人记为A 、B 、C ，则被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：

123，12A ，12B ，12C ，13A ，13B ，13C ，1AB ，1AC ，1BC ，23A ，23B ，23C ，2AB ，2AC ，2BC ，3AB ，3AC ，3BC ，ABC ………………………………8分

其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：

1AB ，1AC ，1BC ，2AB ，2AC ，2BC ，3AB ，3AC ，3BC ……………………10分 所以所求的概率为209

p =……………………………………………………12分

18.解：（1）………… 2分

…………… 4分

分 10分

11分

得…………… 13分

…………… 14分 法二：设点

到平面

的距离为

， 据

…………… 8分

13分

……………………… 14分

19.（1）由123127a a a =

，及等比数列性质得3

2127a =，即213a =………………… 2分 由123131310

99

a a a a a ++=+=得……………………… 3分 由21313109a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得12111310

9a q a a q ⎧

=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

所以21103q q +=，即231030q q -+=

解的3=q ，或1

3

q =………………………………… 5分

由1n n a a +<，{}n a 是递减函数，故3=q 舍去，…………………………… 6分

13q =，又由21

3

a =，得11a =，故数列{}n a 的通项公式为*11()n n a n N a -=∈……… 7分

(2)由（1）知121213521

(21).,T 13333

n n n n n n n a -----==+++⋅⋅⋅+所以 ○1………… 8分

23111352321

333333

n n n n n T ---=+++⋅⋅⋅++ ○2………………………………………9分 ○1—○2 得2312222221

1333333n n n

n T --=++++⋅⋅⋅+-……………………………10分 23111112112()33333n n n --=++++⋅⋅⋅+-

1111(1)

2112133122133313n n n n n n -----=+-=---………………………13分

所以11

33

n n n T -+=-……………………………………………14分

20解：（1）由椭圆C 的焦点为()12,0F -得2c =，……………………………………1分 又由椭圆的定义得12PF F ∆的周长为2212a c +=， 解得4,2a c ==，所以2

2

2

12b a c =-=，

即所求椭圆的方程为

22

11612

x y +=． 3分 （2

）由题意得

21

2

QF QK =， ∵

2QF =QK =

12

=

，化简得：22

16x y +=， 6分 经检验得轨迹E 的方程为2

2

16x y +=． 7分 （3）（法一）由（1）知(4,0),(4,0)A B -，

∴200012

0004416

PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 8分 ∵点00(,)P x y 在椭圆C 上，

∴

220011612

x y +=，即22003124y x =-， ∴2

12

0312341

PA x k k x -

⋅==--，

∴1

3

4PA k k =-

， 10分 又∵1243k k =， ∴21PA k k ⋅=-， 11分

由（2）知点Q 在圆2216x y +=上， ∴21QA k k ⋅=-， 12分 ∴PA QA k k =，

13分

由直线,PA QA 有共同点A 得,,A P Q 三点共线．

14分

（法二）由（1）知(4,0),(4,0)A B -

，把直线1:(4)PB y k x =-代入椭圆的方程

22

11612

x y +=中得：()

2222

1113432480k x k x k +-+-=，

∴21213234B P k x x k +=+，221122

11

321612

3434P B k k x x k k -=-=++， 8分 ∴1212434P k y k =-+，即211

22

11

161224(,)3434k k P k k --++， 9分

∴1

3

4PA k k =-

10分 （以下同法一）

解：（1）x ax x x g x f y 22

1ln )()(2

+-=-=记x ax x x h 221ln )(2+-=

则'

1

()2h x ax x

=

-+………………………………2分 依题意)(x h 在x=1与12

x =处的切线互相平行，∴''1(1)()2h h =，即342a a -+=-+，

解得2a =-…………………………………3分

'(1)5k h ==…………………………………………………4分

函数()()y f x g x =-在区间113⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

上单调递减，

∴0)(/≤x h 在区间113⎛⎫

⎪⎝⎭

，上恒成立；…………………………………………5分 即

021≤+-ax x ，即x x a 212+≥在区间113⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立；……………………………6分 max 2)21(

x x a +≥，)1,31(∈x ，)3,1(1∈x 151)11

(2122≤-+=+∴x

x x ，15≥∴a 即a 的取值范围是),15[+∞。………………………………………8分

//1

(),()2f x g x ax x

==-，假设1c 在点M 处的切线与2c 在点N 处的切线平行，设

()11,P x y ，()22,Q x y ，则存在a 使得''121222x x x x f g ++⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

即12122()22

a

x x x x =+-+，……………………………………………9分

22

22

121212121212112122

2()()2()(2)(2)

222

ln ln ln

x x ax ax a x x x x x x x x x y y x x x -=---=---+=-=-=

不妨设1

122

0, 1.x x x t x >>=>……………………………………12分 则方程

2(1)

ln 1

t t t -=+存在大于1的实根， 设2/

2(1)(1)()ln ,()01(1)

t t t t t t t t ϕϕ---=-=<++则，)(t ϕ在),1(+∞单调递减，

()(1)0,t ϕϕ∴<=这与存在1t >使得()0t ϕ=矛盾.

∴1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不可能平行．……………………14分