集合与常用逻辑用语知识点梳理

一．集合的概念与运算

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：____________、________、__________.

(2)元素与集合的关系是_____或_______两种，用符号____或_____表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法.

(4)常见数集的记法

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为____个，非空子集个数为______个，真子集有_________个.

(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

[方法与技巧]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检¬验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[失误与防范]

1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

二．命题及其关系。充分条件与必要条件

1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们______的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

3.充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的_____条件，同时q是p的________条件；

(2)如果p⇒q，但q⇏ p，则p是q________________条件；

(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的____________条件；

(4)如果q⇒p，且p⇏ q，则p是q的______________条件；

(5)如果p⇏ q，且q⇏ p，则p是q的既不充分又不必要条件.

[方法与技巧]

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

2.充要条件的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.

(2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A真包含于B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.

[失误与防范]

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.

2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.

3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

三简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.

(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.

2.全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题.

(2)含有存在量词的命题叫特称命题.

3.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.

4.简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.

(2)简单复合命题的真值表：

1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.

[失误与防范]

1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.

2.两种形式命题的否定

p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.

3.命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

四．归纳与类比

1．归纳推理

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，

  结论：任意d∈M，d也具有某属性．

2．类比推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．

类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；  B：具有属性a′，b′，c′；

          结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)

3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．

4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．

[方法与技巧]

1．合情推理的过程概括为

―→―→

―→

2．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．

 [失误与防范]

1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．

2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．

五．综合法与分析法。反证法

1．综合法

(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．

(2)框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

2．分析法

(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．

(2)框图表示：→→→…→.

3．反证法

我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．

反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．

[方法与技巧]

1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．

2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

 [失误与防范]

1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．

2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

六数学归纳法

数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：

(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；

(2)在假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．

根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．

[方法与技巧]

1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可

有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．

2．归纳假设的作用

在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：

(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．

3．利用归纳假设的技巧

在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．

[失误与防范]

1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；

2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．

七算法与算法框图

1．算法的含义

算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．

2．算法框图

在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．

3．三种基本逻辑结构

(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．

其结构形式为

(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．

其结构形式为

(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．

其基本模式为

4．基本算法语句

任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．

5．赋值语句

(1)一般形式：变量＝表达式

(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．

6．条件语句

(1)If—Then—Else语句的一般格式为：

(2)If—Then语句的一般格式是：

7．循环语句

(1)For语句的一般格式：

(2)Do Loop语句的一般格式：

[方法与技巧]

1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．

2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．

[失误与防范]

1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．

2．注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体．

3．循环语句有“For语句”与“Do Loop语句”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序．

4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：

(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．

(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．

(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．

八．复数

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部．

(2)分类：

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|，即|z|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

[方法与技巧]

1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．

3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．

[失误与防范]

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

2．两个虚数不能比较大小．

3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数

九.坐标系与参数方程

1．平面直角坐标系

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．

对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点Μ的极坐标，记作M(ρ，θ)．

当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：

或.

这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

3．常见曲线的极坐标方程

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．

相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过参数的范围去掉多余的解.