线性代数试题(A 卷)

一、单项选择题

1．如果将n阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（   ）

(A) 不变;                   (B)变号;

(C)若n为奇数，行列式变号；若n为偶数，行列式不变;

(D)若n为奇数，行列式不变；若n为偶数，行列式变号.

2．设是可逆矩阵A的一个特征值，则（    ）

(A)可以是任意一个数;    (B);

(C);                 (D) .

3.设Ax=b是一非齐次线性方程组，和是其任意2个解，则下列结论错误的是（    ）

  (A) 是Ax=0的一个解;            (B) 是Ax=b的一个解;

  (C) 是Ax=0的一个解;            (D)  是Ax=b的一个解.

4. 若, ，，则向量组是(     )

(A) 线性相关;                      (B) 线性无关;  

(C) 可能线性相关，可能线性无关;    (D) 秩.

5.设，则的特征值为 （     ）

(A)  1,1,2 ；   (B)  1,2,2 ；    (C)  1,2,4 ；  (D)  2,4,4.

二、填空题（每小题4分，本大题共20分）

1. 排列32514的逆序数为          .

2. 已知矩阵，则矩阵          .

3. 设3阶方阵A的元素全为1，则秩(A)为            .

4．二次型=的矩阵是             .

5.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有特征值全是             .

三、（本题10分）计算行列式.

四、（本题10分）求方阵的逆矩阵.

五、（本题12分） 求线性方程组 的通解.

六、（本题12分）

求三阶方阵的特征值及特征向量，并判断是否与对角形矩阵相似？

七、（本题8分）

设线性无关，证明也线性无关.

八、（本题8分） 

证明：若A为阶非零矩阵，则秩（A）=1的充分必要条件是A可写为一列向量与一行向量的积.

参和评分标准

一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分）

1．C ；    2．C ；    3. A；  4. A； 5.  C  

二、填空题（每小题4分，本大题共20分）

1. 5 ；2、；3.  1  ；4．　　；5．正数.

三、（本题10分）计算行列式.

解：=……….…….…..…………（3分）

=……………………………………………………………………………….（6分）

=……….………………………………………………………....……（10分）

四、（本题10分）求方阵的逆矩阵.

解： .……….……..……..（3分）

.……….……………………………………………（5分）

.…………………………………………..……..…（7分）

.……….…………………………………….…（10分）

五、（本题12分） 求线性方程组 通解.

解.对方程组的增广矩阵作初等行变换

………………………..（4分）

于是方程组的同解方程组为

，为自由未知量……………………..………..（8分）

所以方程组的通解为： . …………….…..….（12分）

六、（本题12分）解：的特征方程为 

=，……………..………....（2分）

故的特征值为，. ……………..………………….……..（5分）

(1) 对于特征值，得到齐次线性方程组 ，它的基础解系是 ， 所以属于特征值2的全部特征向量为 ().………..…….（7分）

(2) 对于特征值，得到齐次线性方程组 ，它的基础解系是，所以属于特征值1的全部特征向量为 ().………...（9分）

因此不与对角形矩阵相似.    .…………….…………………………….（12分）

七、（本题8分）

设线性无关，证明也线性无关.

证明：设，………..…….（2分）

则有，    ……………….（4分）

线性无关，，……….….（6分）

所以线性无关. …………………………..….（8分）

八、（本题8分） 证明：若A为阶非零矩阵，则秩（A）=1的充分必要条件是A可写为一列向量与一行向量的积.

证明：必要性：因为秩（A）=1，所以存在可逆矩阵P和Q，

使得，.……………………..….（2分）

得到=，

这里=，=。………………(4分)

充分性：不妨设    ，这里。

因为A为阶非零矩阵，所以秩（A）>0, ……………..……........（6分）

而, 

所以秩（A）=1. ……………..………………………………………….（8分）