湖北省武汉市武昌区2019-2020学年七校联考八年级(上)期中数学试卷(含解析)

一、选择题

1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）

A．等腰三角形    B．正方形    C．等边三角形    D．直角三角形

2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3，4，8    B．5，6，11    C．6，6，6    D．9，9，19

3．下列各式中计算结果为x5的是（　　）

A．x3+x2    B．x3•x2    C．x•x3    D．x7﹣x2

4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）

A．带①去    B．带②去    C．带③去    D．①②③都带去

5．一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（　　）

A．360°    B．540°    C．720°    D．1080°

6．等腰三角形△ABC的周长为18cm，且BC＝8cm，则此等腰三角形必有一边长为（　　）

A．7cm    B．2cm或5cm    C．5cm    D．2cm或7cm

7．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°    B．60°    C．55°    D．45°

8．已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（　　）

A．24    B．36    C．72    D．6．

9．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为（　　）

A．5    B．    C．    D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是　   　．

12．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝　   　度．

13．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA＝1.1，AC＝3.3，则AD＝　   　．

14．△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝　   　．

15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，分别在AB的右侧、AC的左侧作等边△ABE和等边△ACD，BE与CD相交于点F，连接BD，若BD＝BF，则∠BDF为　   　度．

16．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B，C，D在同一条直线上，已知AC＝AE＝CD，∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF，EF，分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为　   　．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（1）计算：（2y2）3﹣（y3）2

（2）计算（x﹣2）（x+3）

18．如图，△ABC中，AD为BC边上的高，CF为∠ACB的角平分线，DE⊥CF于E，已知∠CAB＝40°，∠EDF＝16°，求∠CBA．

19．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，求证：CD＝BE．

20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．

21．如图，在长方形网格中，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，例如图中的点A、点B．

（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．并写出点A的对应点C的坐标　   　．

（2）在y轴上找一点P使△ABP的周长最小，请在图中画出点P（保留作图痕迹）．

（3）M为x轴上一点，请在x轴上找一点Q使∠BQO＝∠AQM，请在图中画出点Q（保留作图痕迹）．

22．如图，线段BC＝8，射线CG⊥BC，A为射线CG上一点，已知FA⊥AB且FA＝AB，AE平分∠FAB，且E点满足∠EBA＝∠ABC．

（1）求证：△ABE≌△AFE．

（2）证明：FD⊥BC．

（3）求△BED的周长．

23．如图1，∠AOB＝30°，点M为射线OB上一点，平面内有一点P使∠PAM＝150°且PA＝AM．

（1）求证：∠OMA＝∠OAP．

（2）如图2，若射线OB上有一点Q使∠POA＝∠AQO，求证：OP＝AQ．

（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH⊥OB，且OH＝AH，已知N点为MQ的中点，且ON＝，则OA＝　   　．

24．如图，在平面直角坐标系中，点A（n，0）是x轴上一点，点B（0，m）是y轴上一点，且满足多项式（x+m）（nx﹣2）的积中x的二次项与一次项系数均为2．

（1）求出A，B两点坐标．

（2）如图1，点M为线段OA上一点，点P为x轴上一点，且满足BM＝MN，∠NAP＝45°，证明：BM⊥MN．

（3）如图2，过O作OF⊥AB于F，以OB为边在y轴左侧作等边△OBM，连接AM交OF于点N，试探究：在线段AF，AN，MN中，哪条线段等于AM与ON差的一半？请写出这个等量关系并证明．

参

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）

A．等腰三角形    B．正方形    C．等边三角形    D．直角三角形

解：等腰三角形、正方形、等边三角形都是轴对称图形，而直角三角形不一定是轴对称图形，

故选：D．

2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3，4，8    B．5，6，11    C．6，6，6    D．9，9，19

解：由3，4，8，可得3+4＜8，故不能组成三角形；

由5，6，11，可得6+5＝11，故不能组成三角形；

由6，6，6，可得6+6＞6，故能组成三角形；

由9，9，19，可得9+9＜19，故不能组成三角形；

故选：C．

3．下列各式中计算结果为x5的是（　　）

A．x3+x2    B．x3•x2    C．x•x3    D．x7﹣x2

解：A．不是同类项不能合并，所以A选项不符合题意；

B．x3•x2＝x5．符合题意；

C．x•x3＝x4，不符合题意；

D．不是同类项不能会并，不符合题意．

故选：B．

4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）

A．带①去    B．带②去    C．带③去    D．①②③都带去

解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故选：C．

5．一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（　　）

A．360°    B．540°    C．720°    D．1080°

解：∵任意多边形外角和为360°，

∴它的内角和等于360°．

故选：A．

6．等腰三角形△ABC的周长为18cm，且BC＝8cm，则此等腰三角形必有一边长为（　　）

A．7cm    B．2cm或5cm    C．5cm    D．2cm或7cm

解：分为两种情况：

①当BC是底边时，腰AB＝AC，

∴AB＝AC＝（18﹣8）＝5cm，

∴此等腰三角形必有一边长为cm，

②BC是腰时，腰是8cm，

∵等腰△ABC的周长为18cm，

∴等腰三角形必有是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，

即此等腰三角形必有一边长为是5cm或2cm，

故选：B．

7．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°    B．60°    C．55°    D．45°

解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，

则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，

∵∠C＝30°，

∴∠DAC＝30°，

∵∠B＝55°，

∴∠BAC＝95°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，

故选：A．

8．已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（　　）

A．24    B．36    C．72    D．6．

解：∵am＝2，an＝3，

∴a3m+2n＝（am）3×（an）2

＝23×32

＝72．

故选：C．

9．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

解：∵，

∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，

∴l∥BC，

作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：

则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，

作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，

∵AD⊥BC，AD＝BC，

∴BB'＝BC，BB'⊥BC，

∴△BB'C是等腰直角三角形，

∴∠B'＝45°，

∵PB＝PB'，

∴∠PBB'＝∠B'＝45°，

∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；

故选：B．

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为（　　）

A．5    B．    C．    D．

解：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝90°，

在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，如图所示：

则AC＝AF＝CF＝AC＝5，∠CAF＝∠AFC═60°，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAF，

∴∠CAD＝∠FAE，

在△DAC和△EAF中，，

∴△DAC≌△EAF（SAS），

∴∠ACD＝∠AFE＝90°，

∴∠CFE＝90°﹣60°＝30°，

当CE⊥EF时，CE有最小值，

∴CE的最小值＝CF＝；

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是　（3，﹣5）　．

解：点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（3，﹣5），

故答案为：（3，﹣5）．

12．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝　90　度．

解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，

∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，

∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，

∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．

故答案为：90

13．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA＝1.1，AC＝3.3，则AD＝　2.2　．

解：∵△ABC≌△DEF，

∴AC＝DF，

∵FA＝1.1，AC＝3.3，

∴FC＝AD＝3.3﹣1.1＝2.2．

故答案为：2.2．

14．△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝　90°　．

解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C，

∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°

即：2∠B＝180°

∴∠B＝90°，

故答案为：90°．

15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，分别在AB的右侧、AC的左侧作等边△ABE和等边△ACD，BE与CD相交于点F，连接BD，若BD＝BF，则∠BDF为　20　度．

解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵△ABE和△ACD是等边三角形，

∴∠ABE＝∠ACD＝∠ADC＝60°，AD＝AC，

∴∠FBC＝∠FCB，AB＝AD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∵BD＝BF，

∴∠BDF＝∠BFD＝∠FBC+∠FCB，

设∠FCB＝∠FBC＝x，则∠BDF＝∠BFD＝2x，∠ABD＝∠ADB＝60°+2x，∠ABC＝60°+x，

在△BCD中，由三角形内角和定理得：2x+60°+2x+60°+x+x＝180°，

解得：x＝10°，

∴∠BDF＝2x＝10°；

故答案为：20．

16．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B，C，D在同一条直线上，已知AC＝AE＝CD，∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF，EF，分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为　6　．

解：作FN⊥BC于N，FH⊥AB于H，在HA上截取HK＝JN，连接FK．

∵点F是△ABC的内心，FH⊥AB，FJ⊥BC，

∴FH＝FJ，

∵∠FHB＝∠FJB＝∠HBJ＝90°，

∴四边形FHBJ是矩形，∵FH＝FJ，

∴四边形FHBJ是正方形，

∵∠AFC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB），∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠AFC＝135°，

∵AC＝AE，∠FAC＝∠FAB，AF＝AF，

∴△AFC≌△AFB（SAS），

∴∠AFC＝∠AFE＝135°，

∴∠EFC＝90°，

同法可证△ACF≌△DCF（SAS），

∴∠AFC＝∠AFC＝135°，

∴∠AFD＝90°，

∴∠MFN＝360°﹣90°﹣135°﹣90°＝45°，

∵HK＝JN，∠FJK＝∠FJN，FH＝FJ，

∴△FHK≌△FJN（SAS），

∴FK＝FN，∠JFN＝∠HFK，

∵∠KFN＝∠KFH+∠HFM＝∠HFM+∠JFN＝45°，

∴∠MFK＝∠MFN，

∵FM＝FM，FK＝FN，

∴△MFK≌△MFN（SAS），

∴MN＝MK，

∴MN＝MH+HK＝MN+JN，

∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝BN+NJ+BM+MH＝2BJ＝6．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（1）计算：（2y2）3﹣（y3）2

（2）计算（x﹣2）（x+3）

解：（1）原式＝8y6﹣y6

＝7y6；

（2）原式＝x2+3x﹣2x﹣6

＝x2+x﹣6．

18．如图，△ABC中，AD为BC边上的高，CF为∠ACB的角平分线，DE⊥CF于E，已知∠CAB＝40°，∠EDF＝16°，求∠CBA．

解：∵AD⊥BD，DE⊥CF，

∴∠DEF＝∠CDF＝90°，

∴∠DCF+∠CFD＝∠CFD+∠EDF＝90°，

∴∠DCF＝∠EDF＝16°，

∵CF为∠ACB的角平分线，

∴∠ACD＝2∠DCF＝32°，

∵∠CAB＝40°，

∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝108°．

19．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，求证：CD＝BE．

【解答】证明：在△ACD和△ABE中，，

∴△ACD≌△ABE（SAS），

∴CD＝BE．

20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．

解：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE＝DF，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE＝AF，

又∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥EF．

21．如图，在长方形网格中，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，例如图中的点A、点B．

（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．并写出点A的对应点C的坐标　（﹣4，3）　．

（2）在y轴上找一点P使△ABP的周长最小，请在图中画出点P（保留作图痕迹）．

（3）M为x轴上一点，请在x轴上找一点Q使∠BQO＝∠AQM，请在图中画出点Q（保留作图痕迹）．

解：（1）如图所示，线段CD即为所求，点C的坐标为（﹣4，3）．

故答案为：（﹣4，3）；

（2）如图所示，点P即为所求；

（3）如图所示，点Q即为所求．

22．如图，线段BC＝8，射线CG⊥BC，A为射线CG上一点，已知FA⊥AB且FA＝AB，AE平分∠FAB，且E点满足∠EBA＝∠ABC．

（1）求证：△ABE≌△AFE．

（2）证明：FD⊥BC．

（3）求△BED的周长．

【解答】（1）证明：∵AE平分∠FAB，

∴∠BAE＝∠FAE，

在△ABE和△AFE中，，

∴△ABE≌△AFE（SAS）；

（2）证明：设AB交FD于点N，如图1所示：

∵FA⊥AB，

∴∠FAN＝90°，

∵△ABE≌△AFE，

∴∠F＝∠ABE，

∵∠EBA＝∠ABC，

∴∠F＝∠ABC，

∵∠ANF＝∠DNB，

∴∠BDN＝∠FAN＝90°，

∴FD⊥BC；

（3）解：∵△ABE≌△AFE，

∴BE＝EF，

∴BD+DE+BE＝BD+DF，

过点A作AH⊥FD于H，如图2所示：

则四边形ACDH是矩形，

在△ABC和△AFH中，，

∴△ABC≌△AFH（AAS），

∴FH＝BC＝8，AH＝AC，

∴四边形ACDH是正方形，

∴AH＝AC＝CD，

∴BD+DE+BE＝BD+DF＝BD+CD+FH＝2BC＝16，

∴△BED的周长为16．

23．如图1，∠AOB＝30°，点M为射线OB上一点，平面内有一点P使∠PAM＝150°且PA＝AM．

（1）求证：∠OMA＝∠OAP．

（2）如图2，若射线OB上有一点Q使∠POA＝∠AQO，求证：OP＝AQ．

（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH⊥OB，且OH＝AH，已知N点为MQ的中点，且ON＝，则OA＝　2　．

【解答】（1）证明：延长PA交OB于E，如图1所示：

∵∠PAM＝150°，

∴∠MAE＝180°﹣150°＝30°＝∠AOB，

∵∠OMA＝∠MAE+∠AEM，∠OAP＝∠AOB+∠AEM，

∴∠OMA＝∠OAP；

（2）证明：在MQ上取一点D，使AD＝AM，如图2所示：

则∠AMD＝∠ADM，

∴∠OMA＝∠QDA，

由（1）得：∠OMA＝∠OAP，

∴∠QDA＝∠OAP，

∵PA＝AM，

∴PA＝AD，

在△OAP和△QDA中，，

∴△OAP≌△QDA（AAS），

∴OP＝AQ．

（3）解：在MQ上取一点D，使AD＝AM，如图3所示：

由（2）得：△OAP≌△QDA，

∴OA＝QD，

∵AH⊥OB，

∴MH＝DH，

设AH＝x，MH＝DH＝y，则OH＝x，OA＝QD＝2x，

∴MQ＝2x+2y，

∵N点为MQ的中点，

∴MN＝MQ＝x+y，

∵OM＝x﹣y，

∴ON＝OM+MN＝x+y+x﹣y＝x+x＝1+，

解得：x＝1，

∴OA＝2；

故答案为：2．

24．如图，在平面直角坐标系中，点A（n，0）是x轴上一点，点B（0，m）是y轴上一点，且满足多项式（x+m）（nx﹣2）的积中x的二次项与一次项系数均为2．

（1）求出A，B两点坐标．

（2）如图1，点M为线段OA上一点，点P为x轴上一点，且满足BM＝MN，∠NAP＝45°，证明：BM⊥MN．

（3）如图2，过O作OF⊥AB于F，以OB为边在y轴左侧作等边△OBM，连接AM交OF于点N，试探究：在线段AF，AN，MN中，哪条线段等于AM与ON差的一半？请写出这个等量关系并证明．

【解答】（1）解：∵（x+m）（nx﹣2）＝nx2+（mn﹣2）x﹣2m，

∴n＝2，mn﹣2＝2，

∴m＝2，

∴点A（2，0）、点B（0，2）；

（2）证明：在y轴上截取一点C，使OM＝OC，过B作BD⊥MC于M，过A作AE⊥CM于E，如图1所示：

则△COM是等腰直角三角形，

∴∠OCM＝∠DCB＝∠OMC＝∠EMA＝45°，

∴△BDC和△AEM都是等腰直角三角形，

∴∠MAE＝45°，

∵∠NAP＝45°，

∴N、A、E三点共线，

由（1）得：OA＝OB＝2，

∴△AOB是等腰直角三角形，BC＝AM，

∴∠AOB＝∠OBA＝45°，

在△BDC和△AEM中，，

∴△BDC≌△AEM（ASA），

∴BD＝ME，

在Rt△BDM和Rt△MEN中，，

∴Rt△BDM≌Rt△MEN（HL），

∴∠BMD＝∠MNE，

∵∠MNE+∠NME＝90°，

∴∠BMD+∠NME＝90°，

∴∠BMN＝180°﹣90°＝90°，

∴BM⊥MN；

（3）解：AN＝（AM﹣ON）；理由如下：

在AM上截取一点C使CM＝ON，连接BC，延长BC交x轴于D，如图2所示：

∵△OBM是等边三角形，

∴OB＝OM＝BM，∠BOM＝∠BMO＝∠OBM＝60°，

∴∠MOA＝∠BOM+∠BOA＝60°+90°＝150°，

∴∠MOD＝30°，

∵OB＝OA，

∴OM＝OA＝BM，

∴∠OMA＝∠OAM＝∠MOD＝15°，

∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，

∵OF⊥AB，

∴∠FOA＝45°，

∴∠AON＝∠BMC，

在△OAN和△BMC中，，

∴△OAN≌△BMC（SAS），

∴AN＝BC，∠OAN＝∠MBC＝15°，

∴∠OBD＝60°﹣15°＝45°，

∴∠ABC＝90°，

∴AN＝BC＝AC＝（AM﹣CM）＝（AM﹣ON）．