复合函数的单调性专题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1.  函数的单调增区间是(        ) 

A.   

2.  函数的单调递减区间是         

A.   

3.  函数的单调递减区间是 （        ） 

A. ）  

4.  已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ） 

A.   

5.  已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是(        ) 

A.    

6.  函数的单调递减区间为（        ） 

A.   

7.  函数，则的单调减区间是(        ) 

A.   

8.  函数的单调递减区间为（        ） 

A.   

9.  函数的单调递增区间是 

A.   

10.  函数在上单调递增，则的取值范围是(        ) 

A.   

11.  已知函数在上单调递减，则的取值范围是________． 

12.  函数在上为减函数，则的取值范围是________. 

13.  函数的单调递减区间为________． 

14.  函数的单调增区间是________. 

15.  函数的单调增区间为________． 

16.  函数的单调减区间为________． 

17.  函数的值域是________，的值域是________. 

18.  写出函数的单调递增区间________. 

19. 已知函数＝），．  

（1）当＝时，求函数在区间上的值域；

（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围．

20. 已知幂函数的图象经过点．  

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．

21. 已知函数．  

（1）若的值域为，求实数的取值范围；

（2）若函数在上为增函数，求实数的取值范围．

22. 已知函数．  

当时，求的定义域和单调区间；

若在内为单调函数，求实数的取值范围．

23. 已知函数.  

若是函数的零点，求的值；

讨论函数的单调性．

24. 已知函数.  

若，求的单调区间；

若在区间上是增函数，求实数的取值范围．

25.    

已知函数，求的单调区间；

若的最小值为，求实数的值；

26. 设函数.  

当时，解不等式；

若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围.

参与试题解析

复合函数的单调性专题含答案

一、 选择题 （本题共计 10 小题  ，每题 3 分 ，共计30分 ） 

1.

【答案】

C

【考点】

复合函数的单调性

对数函数的单调性与特殊点

二次函数的性质

【解析】

由真数大于求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．

【解答】

解：由题意可知，，得．

令，

∵函数的对称轴方程为，

∴二次函数在上为减函数，

∵函数为定义域内的减函数，

∴函数的单调增区间是．

故选.

2.

【答案】

B

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

利用复合函数的单调性的“同增异减”法则求解即可.

【解答】

解：令，

则函数是由函数，复合而成的.

又是增函数，

所以的单调递减区间是函数的单调递减区间，

但需保证，可得或，

当时，单调递减，

所以函数的单调递减区间为

.

故选.

3.

【答案】

D

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：∵函数，

∴，

解得，或，

∵是开口向上，对称轴为的抛物线，

∴由复合函数的性质知函数的单调递减区间是．

故选．

4.

【答案】

D

【考点】

函数奇偶性的性质与判断

复合函数的单调性

【解析】

根据题意，由函数奇偶性的定义分析、的值，即可得的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析的单调性，据此分析可得答案．

【解答】

根据题意，是定义在上的偶函数，则有，则，

同时，即，则有，必有，

则，其定义域为，

则，设，若，则有，

在区间上，且为减函数，

在区间上为增函数，

则在上为减函数，其最大值为，

5.

【答案】

D

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

根据题意，设，则＝，分析可得在区间上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法分析可得在上为增函数且恒成立，则有，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数在上单调递增，

当时，不符合题意，

需要

解得.

故选.

6.

【答案】

D

【考点】

复合函数的单调性

对数函数的图象与性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题可得 ，即，

所以函数的定义域为 .

又函数在）上单调递减，

根据复合函数的单调性可知，

函数的单调递减区间为）.

故选．

7.

【答案】

C

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于求得的范围得答案．

【解答】

解：由题意，得函数的定义域为，

则，

令，解得，

又函数定义域为，

所以函数的单调减区间为．

故选.

8.

【答案】

B

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 . 

【解答】

解：由题可知，或，

可看作，则为增函数，

，当时，单调递减，当时，单调递增，

根据复合函数的增减性，当时， 为减函数，

故选 . 

9.

【答案】

B

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

暂无

【解答】

解：由，得或，

则的定义域为.

设，

则在上单调递减，在上单调递增.

因为在上单调递增，

故在上单调递增.

故选.

10.

【答案】

D

【考点】

对数函数的单调性与特殊点

复合函数的单调性

【解析】

由题意可得可得，且，由此求得的范围．

【解答】

解：∵函数在上单调递增，

而函数在上单调递增，

根据复合函数的单调性可得，且，

求得.

故选．

二、 填空题 （本题共计 8 小题  ，每题 3 分 ，共计24分 ） 

11.

【答案】

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

依题意，一次函数＝为减函数，且当时，＝恒成立，由此可得到的取值范围．

【解答】

解：由复合函数的单调性可知，一次函数为减函数，

则.

当时，恒成立，

则只需，

即，

所以．

故答案为：.

12.

【答案】

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设，，

 由题意得该函数是减函数，且在上恒成立， 

 .  

故答案为：.  

13.

【答案】

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：函数的定义域为，

原函数可看作由，复合而成，

其中函数是增函数，

而在区间上是减函数，

所以原函数的单调递减区间为．

故答案为：．

14.

【答案】

【考点】

对数函数的单调性与特殊点

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意，函数的定义域为．

令函数，则函数在上单调递减，在上单调递增，

再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递减区间为．

单调递增区间为.

故答案为： ．

15.

【答案】

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

设＝，利用指数函数和一元二次函数的单调性之间的关系即可得到函数的增区间．

【解答】

设＝，则函数的对称轴为＝，

则函数＝在时，单调递增，在时函数单调递减，

∵函数＝，在上为增函数，

∴根据复合函数的单调性的性质可知，

当时，函数单调递增，

故函数的递增区间为，

16.

【答案】

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

令，求得函数的定义域为，本题即求函数在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得函数在定义域内的减区间．

【解答】

解：对于函数，令，求得，故函数的定义域为，，

故本题即求函数在定义域内的减区间．

利用二次函数的性质可得函数在定义域内的减区间为，

故答案为：．

17.

【答案】

．,．

【考点】

函数的值域及其求法

对数函数的值域与最值

复合函数的单调性

【解析】

根据偶次方根为非负数求得的值域，根据的定义域和单调性求得的值域．

【解答】

对于对任意成立，故的值域是

对于，由于函数在上为增函数，且，故

故填：（1）；

18.

【答案】

【考点】

函数的单调性及单调区间

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

三、 解答题 （本题共计 8 小题  ，每题 10 分 ，共计80分 ） 

19.

【答案】

根据题意，＝时），

又由，则--＝，

则＝-，

则函数的值域为，-]；

函数＝），则＝，

若函数在区间上是减函数，

则＝在，

即有，解可得，

即的取值范围为（．

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

20.

【答案】

（1）

（2）增函数，

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

（1）设，再求出即得解；

（2）求出，易得函数在区间上为增函数，再求函数

的值域．

【解答】

（1）设，则，则

所以

（2）因为

所以函数在区间上为增函数，

所以时，有最大值时，有最小值．

所以函数在上的值域为

21.

【答案】

根据题意，函数，

设＝，则，

若函数的值域为，对于＝，必有＝，

解可得：或，

设＝，则，

函数为减函数，

若函数在上为增函数，

则函数＝在上为减函数，且＝在上恒成立，

即，解可得，

即的取值范围为．

【考点】

复合函数的单调性

【解析】

（1）根据题意，设＝，则，若函数的值域为，结合对数函数的性质分析可得：对于＝，必有＝，解可得的取值范围，即可得答案；

（2）由复合函数以及对数函数、二次函数的性质分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】

根据题意，函数，

设＝，则，

若函数的值域为，对于＝，必有＝，

解可得：或，

设＝，则，

函数为减函数，

若函数在上为增函数，

则函数＝在上为减函数，且＝在上恒成立，

即，解可得，

即的取值范围为．

22.

【答案】

解：令 ，．

当时，，由，得或.

故的定义域为．

因为 单调递减，的图象开口向上，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

，

①当在内为单调增函数，

则无解，舍去．

②当在内为单调减函数，

则得．

综上，的取值范围是．

【考点】

复合函数的单调性

已知函数的单调性求参数问题

【解析】

【解答】

解：令 ，．

当时，，由，得或.

故的定义域为．

因为 单调递减，的图象开口向上，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

，

①当在内为单调增函数，

则无解，舍去．

②当在内为单调减函数，

则得．

综上，的取值范围是．

23.

【答案】

解：要使为函数的零点，

即有，

解得.

令

，

①当时，函数的定义域为，，

因为在上单调递减，

由复合函数的单调性知在上单调递减；

②当时，由解得，，

当时，函数的定义域为，

因为在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性知，

在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数的定义域为，

因为在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性知，

在上单调递增，在上单调递减；

当时，，不满足题意，无意义；

当时，函数的定义域为，

因为在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数的单调性知，

在上单调递减，在上单调递增．

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数的零点

复合函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：要使为函数的零点，

即有，

解得.

令

，

①当时，函数的定义域为，，

因为在上单调递减，

由复合函数的单调性知在上单调递减；

②当时，由解得，，

当时，函数的定义域为，

因为在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性知，

在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数的定义域为，

因为在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性知，

在上单调递增，在上单调递减；

当时，，不满足题意，无意义；

当时，函数的定义域为，

因为在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数的单调性知，

在上单调递减，在上单调递增．

24.

【答案】

解：当时，易知函数的定义域为．

易知在上单调递减，在上单调递增．

故函数在上单调递增，在上单调递减．

令，则图象的对称轴为．

又在上是增函数，

则①当时，

∴，∴．

又在上恒大于，

∴，，

∴解得，

∴；

②当时，

∴，∴．

又∵在上恒大于，

∴，，

∴解得，与矛盾．

综上所述．

【考点】

复合函数的单调性

对数函数、指数函数与幂函数的衰减差异

已知函数的单调性求参数问题

【解析】

无

无

【解答】

解：当时，易知函数的定义域为．

易知在上单调递减，在上单调递增．

故函数在上单调递增，在上单调递减．

令，则图象的对称轴为．

又在上是增函数，

则①当时，

∴，∴．

又在上恒大于，

∴，，

∴解得，

∴；

②当时，

∴，∴．

又∵在上恒大于，

∴，，

∴解得，与矛盾．

综上所述．

25.

【答案】

解：令，且 ，

所以或.

由于在上单调递减，在单调递增，

而为增函数，

所以在上单调递减，在上单调递增.

即函数的单调递减区间是，单调递增区间是 . 

令，则，

因为的最小值为，

所以的最小值为，

当时，无最大值；

当时，有  

解得，

所以实数的值为. 

【考点】

复合函数的单调性

对数函数、指数函数与幂函数的增长差异

函数的最值及其几何意义

【解析】

（1）令，且 ，∴或，

由于在上单调递减，在单调递增，而为增函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，即函数的单调递减区间是，单调递增区间是 . 

（2）令，则，因为的最小值为，所以的最小值为，当时，，无最大值；

当时，有  ，解得，所以．实数的值为 . 

【解答】

解：令，且 ，

所以或.

由于在上单调递减，在单调递增，

而为增函数，

所以在上单调递减，在上单调递增.

即函数的单调递减区间是，单调递增区间是 . 

令，则，

因为的最小值为，

所以的最小值为，

当时，无最大值；

当时，有  

解得，

所以实数的值为. 

26.

【答案】

解：由题意可知，，

则

解得

故，

则原不等式的解集为.

，

即.

设，

∵在上单调递增，也在上单调递增，

∴函数在上单调递增.

当时，；当时，，

∴关于的方程在上有实数解的实数的取值范围是.

【考点】

分式不等式的解法

函数的零点与方程根的关系

复合函数的单调性

【解析】

取，求解对数不等式即可；

取，把关于的方程在上有实数解转化为求函数在上的值域问题.

【解答】

解：由题意可知，，

则

解得

故，

则原不等式的解集为.

，

即.

设，

∵在上单调递增，也在上单调递增，

∴函数在上单调递增.

当时，；当时，，

∴关于的方程在上有实数解的实数的取值范围是.