2021-2022学年广东省八校高二(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

1．设＝（1，y，2），＝（﹣1，1，1），且，则y等于（　　）

A．﹣1    B．1    C．﹣2    D．2

2．已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则M点的轨迹是（　　）

A．椭圆    B．直线    C．线段    D．一条射线

3．已知一直线经过点A（2，3，2），B（﹣1，0，5），下列向量中不是该直线的方向向量的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

5．已知直线l：x+2my﹣m﹣2＝0过定点P，直线l′过点P且与直线x+y﹣2＝0垂直，则直线l′的方程为（　　）

A．2x﹣2y﹣3＝0    B．2x+2y+3＝0    C．2x﹣2y+3＝0    D．2x+2y﹣3＝0

6．已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣6）    B．    

C．    D．

7．已知点F是椭圆的左焦点，直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝90°，则该椭圆的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．已知直线l：x﹣y+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝（　　）

A．    B．4    C．    D．6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．已知直线l：mx+y+1＝0，A（1，0），B（3，1），则下列结论正确的是（　　）

A．直线l恒过定点（0，1）    

B．当m＝1时，直线l的倾斜角为    

C．当m＝0时，直线l的斜率不存在    

D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直

10．以下四个命题中错误的是（　　）

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示    

B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底    

C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面    

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

11．已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）外，则下列表述正确的有（　　）

A．实数r的取值范围是    

B．|AB|＝2    

C．直线AB与圆C不可能相切    

D．若圆C上存在唯一点P满足AP⊥BP，则r的值是

12．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有（　　）

A．△PF1F2的周长为4+2    

B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2的边PF1＝2    

C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为    

D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是　                　．

14．已知直线3x+2y﹣3＝0与6x+my+1＝0相互平行，则它们之间的距离是　                　．

15．已知m∈R，方程（3m﹣1）x2+（m2+1）y2+8x﹣4y+5m＝0表示圆，则圆心坐标是　       　

16．如图，在正方体OABC﹣O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若，，，，则x+y+z＝　 　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若点A（﹣2，﹣1）与点B（3，2）到直线ax+y+1＝0的距离相等，求a的值．

18．已知空间三点A（0，1，﹣1），B（﹣3，1，3），C（1，0，﹣1）．

（1）求以为边的平行四边形的面积；

（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标．

19．在平面直角坐标系xOy中，F1（﹣3，0），F2（3，0），点P是平面上一点，使△PF1F2的周长为16．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）求|PF1|•|PF2|的最大值．

20．已知圆C的圆心在坐标原点O，直线l的方程为x﹣y﹣2＝0．

（1）若圆C与直线l相切．求圆C的标准方程；

（2）若圆C上恰有两个点到直线l的距离是1，求圆C的半径的取值范围．

21．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面ACE；

（2）若PA＝AD＝1，AB＝2，求平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值．

22．已知椭圆经过点P（1，），且离心率e＝．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若斜率为k且不过点P的直线l交C于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝0，求直线l的斜率k．

参

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

1．设＝（1，y，2），＝（﹣1，1，1），且，则y等于（　　）

A．﹣1    B．1    C．﹣2    D．2

【分析】利用向量垂直的性质直接求解．

解：∵＝（1，y，2），＝（﹣1，1，1），且，

∴＝﹣1+y+2＝0，

解得y＝﹣1．

故选：A．

2．已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则M点的轨迹是（　　）

A．椭圆    B．直线    C．线段    D．一条射线

【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上，从而得到结论．

解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，

∵|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，

∴点M在线段F1F2上．

故选：C．

3．已知一直线经过点A（2，3，2），B（﹣1，0，5），下列向量中不是该直线的方向向量的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】先求出直线的一个方向向量，从而判断各个选项的正误．

解：∵直线经过点A（2，3，2），B（﹣1，0，5），

∴直线的一个方向向量为＝（﹣3，﹣3，3），

又∵直线的方向向量互相平行，

∴选项B，C，D都是直线的方向向量，

故选：A．

4．圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．

解：圆O1：x2+y2﹣2y＝0的圆心（0，1）半径为1；圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的圆心（0，4），半径为2，

O1O2＝3＝2+1，∴两个外切，

所以圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数：3．

故选：C．

5．已知直线l：x+2my﹣m﹣2＝0过定点P，直线l′过点P且与直线x+y﹣2＝0垂直，则直线l′的方程为（　　）

A．2x﹣2y﹣3＝0    B．2x+2y+3＝0    C．2x﹣2y+3＝0    D．2x+2y﹣3＝0

【分析】直线l：x+2my﹣m﹣2＝0化为：m（2y﹣1）+x﹣2＝0，令，可得直线l过定点P的坐标，直线l′过点P且与直线x+y﹣2＝0垂直，设直线l′的方程为x﹣y+m＝0，把定点P坐标代入解得m即可得出方程．

解：直线l：x+2my﹣m﹣2＝0化为：m（2y﹣1）+x﹣2＝0，

令，解得，

可得直线l过定点P（2，），

直线l′过点P且与直线x+y﹣2＝0垂直，设直线l′的方程为x﹣y+m＝0，

把定点P（2，）代入可得：2﹣+m＝0，解得m＝﹣，

∴直线l′的方程为x﹣y﹣＝0，化为：2x﹣2y﹣3＝0，

故选：A．

6．已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣6）    B．    

C．    D．

【分析】向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，得，由此能求出实数t的取值范围．

解：∵向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，

∴，

解得t＜，且t≠﹣6，

∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（﹣6，）．

故选：B．

7．已知点F是椭圆的左焦点，直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝90°，则该椭圆的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】求出，，F（﹣c，0），利用∠AFB＝90°，推出5c2＝a2，然后求解离心率即可．

解：由条件易得，，F（﹣c，0），

由∠AFB＝90°得，，

即，

又a2＝b2+c2，整理得5c2＝a2，．

故选：D．

8．已知直线l：x﹣y+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝（　　）

A．    B．4    C．    D．6

【分析】利用垂径定理计算弦长|AB|，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．

解：圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝3，圆的半径r＝2，

∴|AB|＝2＝2，

设直线l的倾斜角为α，则tanα＝，∴α＝30°，

过C作l的平行线交BD于E，则∠ECD＝30°，

CE＝AB＝2，

∴CD＝＝＝4．

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．已知直线l：mx+y+1＝0，A（1，0），B（3，1），则下列结论正确的是（　　）

A．直线l恒过定点（0，1）    

B．当m＝1时，直线l的倾斜角为    

C．当m＝0时，直线l的斜率不存在    

D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直

【分析】A．直线l：mx+y+1＝0，令，解得直线l恒过定点即可判断出正误；

B．当m＝1时，设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），可得tanθ＝﹣1，解得θ即可判断出正误；

C．当m＝0时，直线l的方程化为：y+1＝0，可得斜率存在，即可判断出正误；

D．当m＝2时，直线l：2x+y+1＝0，可得kl．由A（1，0），B（3，1），可得kAB，进而判断出直线l与直线AB是否垂直．

解：A．直线l：mx+y+1＝0，令，解得，可得直线l恒过定点（0，﹣1），因此A不正确；

B．当m＝1时，设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ＝﹣1，θ＝，因此B正确；

C．当m＝0时，直线l的方程化为：y+1＝0，其斜率k＝0，因此C不正确；

D．当m＝2时，直线l：2x+y+1＝0，∴kl＝﹣2．由A（1，0），B（3，1），可得kAB＝＝，∴kl•kAB＝﹣1，∴直线l与直线AB垂直，因此正确．

故选：BD．

10．以下四个命题中错误的是（　　）

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示    

B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底    

C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面    

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A，B，D可判断这三个结义的正误，由共面向量定理能判断出D的正误．

解：对于A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，

A中忽略三个基底不共面的，故A错误；

对于B，若为空间向量的一组基底，则三个向量互不共面，

则+，+，+也互不共面，

故构成空间向量的一组基底，故B正确；

对于C，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，

若，x+y+z＝1，∴P，A，B，C四点共面，故C错误；

对于D，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误

故选：ACD．

11．已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）外，则下列表述正确的有（　　）

A．实数r的取值范围是    

B．|AB|＝2    

C．直线AB与圆C不可能相切    

D．若圆C上存在唯一点P满足AP⊥BP，则r的值是

【分析】由A、B均在圆外列关于r的不等式组，求得r的范围判断A；直接求出|AB|判断B；由r的范围及圆心坐标判断C；由题意可得，点P在以线段AB为直径的圆上，求出以AB为直径的圆的方程圆x2+y2＝1，结合点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）上，可得圆x2+y2＝1与圆C外切，且点P为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解r判断D．

解：∵点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）外，

∴，解得0＜r＜，故A正确；

|AB|＝2，故B正确；

∵0＜r＜，且圆心坐标为（3，3），∴当r＝3时，直线AB与圆C相切，故C错误；

∵AP⊥BP，∴点P在以线段AB为直径的圆上，

又A（﹣1，0），B（1，0），∴点P在圆x2+y2＝1上，

又∵点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）上，

点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C外，∴圆x2+y2＝1与圆C外切，且点P为切点，

∴1+r＝，即r＝﹣1，故D正确．

故选：ABD．

12．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有（　　）

A．△PF1F2的周长为4+2    

B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2的边PF1＝2    

C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为    

D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形

【分析】A，利用△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F1＝2a+2c＝即可判断；

B，当∠PF1F2＝90°时 PF1＝，即可判断；

C，利用△PF1F2的面积为S＝b2tan计算；

D，分，∠PF1F2＝900，∠PF2F1＝900计算即可．

解：根据椭圆方程可得a＝2，b＝，c＝．

对于A，△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F1＝2a+2c＝4+2，故正确；

对于B，当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2的边PF1＝，故错；

对于C，当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为S＝b2tan＝≠，故错；

对于D，设PF1＝m，PF2＝n，当时，则有，解得m＝n＝2，此时点P为上下顶点，

当∠PF1F2＝900时，有两个点，当∠PF2F1＝900时，有两个点，故正确；

故选：AD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是　　．

【分析】根据题意，方程 表示椭圆，则 ，解可得答案．

解：方程 表示椭圆，

则 ，

解可得 ，

故答案为：．

14．已知直线3x+2y﹣3＝0与6x+my+1＝0相互平行，则它们之间的距离是　　．

【分析】通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．

解：直线3x+2y﹣3＝0与6x+my+1＝0相互平行，所以m＝4，由平行线的距离公式可知d＝＝．

故答案为：．

15．已知m∈R，方程（3m﹣1）x2+（m2+1）y2+8x﹣4y+5m＝0表示圆，则圆心坐标是　（﹣2，1）　

【分析】利用方程表示圆，则m2+1＝3m﹣1，求出m的值，再进行检验即可．

解：因为方程（3m﹣1）x2+（m2+1）y2+8x﹣4y+5m＝0表示圆，

则m2+1＝3m﹣1，解得m＝1或m＝2，

当m＝1时，方程为x2+y2+4x﹣2y+＝0，即，圆心为（﹣2，1）；

当m＝2时，方程为5x2+5y2+8x﹣4y+10＝0，即，不表示圆．

综上所述，圆心为（﹣2，1）．

故答案为：（﹣2，1）．

16．如图，在正方体OABC﹣O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若，，，，则x+y+z＝　1　．

【分析】由正方体的结构特征可知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，可得点G在线段O1M上，且满足＝2，利用向量的线性运算求得＝++，从而得解．

解：易知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，

如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足＝2，

有﹣＝2（﹣），得＝+，

有＝×（+）+＝++，

可得x+y+z＝1．

故答案为：1．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若点A（﹣2，﹣1）与点B（3，2）到直线ax+y+1＝0的距离相等，求a的值．

【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．

解：∵点A（﹣2，﹣1）与点B（3，2）到直线ax+y+1＝0的距离相等，

∴＝，

解得a＝﹣或a＝﹣3．

∴a的值为﹣或﹣3．

18．已知空间三点A（0，1，﹣1），B（﹣3，1，3），C（1，0，﹣1）．

（1）求以为边的平行四边形的面积；

（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标．

【分析】（1）求出＝（﹣3，0，4），＝（1，﹣1，0），从而cos∠BAC＝＝﹣，进而sin∠BAC＝＝，由此能求出以为边的平行四边形的面积．

（2）设＝（x，y，z），则x2+y2+z2＝41，，由此能求出向量的坐标．

解：（1）∵空间三点A（0，1，﹣1），B（﹣3，1，3），C（1，0，﹣1），

∴＝（﹣3，0，4），＝（1，﹣1，0），

∴cos∠BAC＝＝＝﹣，

∴sin∠BAC＝＝，

∴以为边的平行四边形的面积为：

＝5＝．

（2），且分别与垂直，

设＝（x，y，z），则x2+y2+z2＝41，①

由分别与垂直得，②

联立①②解得x＝4，y＝4，z＝3或x＝﹣4，y＝﹣4，z＝﹣3，

∴向量的坐标为（4，4，3）或（﹣4，﹣4，﹣3）．

19．在平面直角坐标系xOy中，F1（﹣3，0），F2（3，0），点P是平面上一点，使△PF1F2的周长为16．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）求|PF1|•|PF2|的最大值．

【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的定义，转化求解轨迹方程即可．

（2）直接利用基本不等式转化求解即可．

解：（1）由题知|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝16，|F1F2|＝6，∴|PF1|+|PF2|＝10，

由P的轨迹为椭圆（去掉左右端点），2a＝10，2c＝6，

∴a＝5，c＝3，b＝4，点P的轨迹方程为：．

（2）|PF1|+|PF2|＝10，所以|PF1|•|PF2|≤＝25．

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时等号成立，

故|PF1||PF2|的最大值为25．

20．已知圆C的圆心在坐标原点O，直线l的方程为x﹣y﹣2＝0．

（1）若圆C与直线l相切．求圆C的标准方程；

（2）若圆C上恰有两个点到直线l的距离是1，求圆C的半径的取值范围．

【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆的半径，则圆的标准方程可求；

（2）由题意画出图形，数形结合得到圆C的半径的取值范围．

解：（1）∵圆C的圆心在坐标原点O，且圆C与直线l相切，

∴圆的半径r＝，

则圆C的标准方程为x2+y2＝4；

（2）如图，

∵圆心O到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，

∴若圆C上恰有两个点到直线l的距离是1，则圆C的半径的取值范围是（1，3）．

21．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面ACE；

（2）若PA＝AD＝1，AB＝2，求平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值．

【分析】（1）连接BD，交AC于点O，连接EO，用线面平行的判定定理进行证明；

（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，将两个平面的夹角问题转化为向量夹角问题求解．

【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，

因为O为BD中点，E为PD中点，

所以EO∥PB，

因为EO⊂平面ACE，

PB⊄平面ACE，

所以PB∥平面ACE；

（2）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），C（2，1，0），B（2，0，0），E（0，，），

则＝（2，1，0），＝（0，），

因为PA⊥平面ABCD，

所以平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），

设平面AEC的法向量为＝（x，y，z），

则，

令x＝1，则y＝﹣2，z＝2，

所以＝（1，﹣2，2），

所以cos＝＝，

所以平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值为．

22．已知椭圆经过点P（1，），且离心率e＝．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若斜率为k且不过点P的直线l交C于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝0，求直线l的斜率k．

【分析】（1）把点P的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的离心率以及椭圆中a，b，c的关系式即可求解；

（2）设出直线PA的方程以及A，B的坐标，并与椭圆方程联立，利用我的代理求出点A的横坐标，同理求出点B的横坐标，然后再表示出直线l的斜率，化简即可求解．

解：（1）因为点P在椭圆上，所以代入椭圆方程可得，

又e＝，且a2＝b2+c2，

上述方程联立可得a2＝2，b2＝1，

故椭圆C的标准方程为；

（2）设直线PA的方程为y﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程，消去y可得：（1+2k）x2+2k，

所以1，

因为k1+k2＝0，所以k2＝﹣k1，

同理可得1，

所以k＝＝

＝＝．