2013年福建省南平市中考数学试卷(WORD版含答案)

数 学 试 题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；

② 可以携带使用科学计算器，并注意运用计算器进行估算和探究；

③ 未注明精确度、保留有效数字等的计算问题不得采取近似计算．

★参考公式：

抛物线（≠0）的对称轴是顶点坐标是

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．的倒数是

        A．－2     B．2      C．    D． 

2．如图是由六个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其主视图的面积是

        A．3    B．4          

        C．5    D．6

3．下列图形中，不是中心对称图形的是

        A．平行四边形       B．矩形　　      

        C．菱形　    D．等边三角形

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，∠ADE＝48°，

则下列结论中不正确的是

        A．∠B＝48°     B．∠AED＝66°

        C．∠A＝84°    D．∠B +∠C＝96°

5．以下事件中，必然发生的是

        A．打开电视机，正在播放体育节目

B．正五边形的外角和为180°

        C．通常情况下，水加热到100℃沸腾

D．掷一次骰子，向上一面是5点

6．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是

        A． AD=AB      B．∠BOC=2∠D

        C．∠D +∠BOC=90°    D．∠D=∠B

7．今年6月某日南平市各区县的最高气温（℃）如下表：

        A．32，32    B．32，30        C．30，30    D．30，32

8．关于x的一元二次方程的根的情况是

        A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根 

        C．没有实数根　          　      D．无法确定

9．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是

        A．    B．    C．    D． 

10．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数

的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，

∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是

        A．    　    B．  

        C．    D． 

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）

11．计算：＝    　　 ．

12．甲、乙、丙、丁四位同学在5次数学测验中，他们成绩的平均数相同，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是    　　 ．

13．写出一个第二象限内的点的坐标：（    ，    ）．

14．分解因式： =    　　 ．

15．计算：＝    　　 ．

16．长度分别为3cm，4cm，5cm，9cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是    　　 ． 

17．分式方程的解是    　　 ．

18．设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：

① 过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；

② 过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；

③ 过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；

④ △ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分.

其中结论正确的是    　　.（写出所有正确结论的序号）

（背面还有试题）

有试题）

三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）

19．（1）（7分）计算：． 

（2）（7分）化简：．

20．（8分）解不等式组：

21．（8分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

22．（10分）初中生在数算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：

（第22题图）

请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题：

（1）这次抽查的样本容量是    　　；

（2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；

（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？

23．（10分）某校为了实施“大课间”活动，计划购买篮球、排球共60个，跳绳120根. 

已知一个篮球70元，一个排球50元，一根跳绳10元. 设购买篮球x个，购买篮球、

排球和跳绳的总费用为y元.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若购买上述体育用品的总费用为4 700元，问篮球、排球各买多少个？

24．（10分）2013年6月11日，“神舟”十号载人航天飞船发射成功！如图，飞船完成变轨后，就在离地球（⊙O）表面约350 km的圆形轨道上运行.当飞船运行到某地（P点）的正上方（F点）时，从飞船上能看到地球表面最远的点Q（FQ是⊙O的切线）. 已知地球的半径约为6 400 km．求：

(

（1）∠QFO的度数；（结果精确到0.01°）

（2）地面上P，Q两点间的距离（PQ的长）．

（取3.142，结果保留整数）

25．（12分）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB. 设＝k．

（1）证明：△BGF是等腰三角形；

（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？

（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．

利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、

钝角三角形时，k的取值范围.

26．（14分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线与线段OA交于点C.

① 求线段AC的长；（用含m的式子表示）

② 是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？

若存在，求出此时m的值.

2013年福建省南平市初中毕业、升学考试

数学试题参及评分说明

说明：

（1）解答右端所注分数，表示考生正确作完该步应得的累计分数，全卷满分150分．

（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．

（3）如果考生的解法与本参不同，可参照本参的评分标准相应评分．

（4）评分只给整数分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．A；  2．B；  3．D；  4．B；　5．C；  6．B；  7．C；  8．C；  9．A；  10．D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．3； 　    12．丁；　　    13．符合要求即可；    14．；

15．；      16． (或0.25)；　    17．；    18．① ② ④．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

19．（1）解：原式＝    4分

　　　　　　　　＝    6分

　　　　　　　　＝    7分

　 （2）解：原式    4分

    5分

    6分

    7分

20．解：由①得　    2分

    3分

由②得　    4分

    5分

    6分

∴不等式组的解集为　    8分

21．证法一：在□ABCD中，

AD=BC且AD∥BC    3分

∵BE=FD，∴AF=CE    6分

∴四边形AECF是平行四边形    8分

证法二：在□ABCD中，AB=CD且∠B=∠D    3分

又∵BE=FD，∴△ABE≌△CDF    4分

∴AE=CF    5分

又∵在□ABCD中，AD=BC，BE=FD，∴AF=EC    7分

∴四边形AECF是平行四边形    8分

证法三：在□ABCD中，AB=CD且∠B=∠D    3分

又∵BE=FD，∴△ABE≌△CDF    4分

∴∠AEB=∠CFD    5分

又∵在□ABCD中，AF∥EC，∴∠CFD=∠BCF  ∴∠AEB=∠BCF    6分 

∴ AE∥FC    7分

∴四边形AECF是平行四边形    8分

证法四：在□ABCD中，AB=CD且∠B=∠D    3分

又∵BE=FD，∴△ABE≌△CDF      4分

∴∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠FCD

又∵∠AEB+∠AEC=180°，∠CFD+∠CFA=180°，∴∠AEC=∠CFA    6分

∵在□ABCD中，∠BAD=∠BCD，∴∠EAF=∠ECF    7分

∴四边形AECF是平行四边形    8分

22．解：（1）160    2分

（2）

　　　　（补全统计图每空2分，共6分）    8分

（3）

答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是

    10分

23．解：（1）依题意，得    3分

                        5分

（2）当 y=4700时，    7分

     解得＝25    9分

∴排球购买　60－25＝35（个）

答：篮球购买25个、排球购买35个.    10分

24．解：（1）∵FQ是⊙O的切线，∴△FQO是直角三角形

在Rt△FQO中，

∵OQ＝6 400，FO=FP+OP=350+6 400=6 750    2分

0.9481    4分

∴∠QFO≈71.46°

答：∠QFO约71.46°    5分

（2）∵∠QFO=71.46°，

∴∠FOQ=18.54°     7分

(

∴PQ的长=        9分

答：地面上P，Q两点间的距离约为2 071 km    10分

25．（1）证明：∵EF⊥AC于点F，∴∠AFE=90°

又∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，

∴    2分

在Rt△ABE中，同理可得    3分

∴GF=GB

则△BGF为等腰三角形    4分

（2）解：当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°

∵GF=GB=AG，∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE

∴∠BGF=2∠BAC    ∴∠BAC=30°    6分

∴∠ACB=60°   ∴

∴当k=时，△BGF为等边三角形    8分

（3）解：由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BGF=2∠BAC

∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF<90°，∴∠BAC<45° 

此时AB >BC，k=>1    9分

当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，∴∠BAC=45°

此时AB =BC，k==1    10分

当△BGF为钝角三角形时，∠BGF>90°，∴∠BAC>45°

此时AB∴026．解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b

∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0）

∴    2分

解得： 

即直线AB的函数解析式为　y=－2x+4    4分

（2）① 依题意得抛物线顶点M（m , n）

∵在点M在线段AB上，∴n=－2m+4    5分

当x＝0时，代入得    6分

∴  即C点坐标为（0,）    7分

∴AC＝OA－OC＝4－（）＝    8分

② 答：存在    9分

作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，）

∴AD＝OA－OD＝4－()＝2m    10分

∵M不与点A、B重合，∴0＜m＜2　

又∵MD＝m，∴    11分

(另解：在Rt△AOB中，根据勾股定理得

又∵DM∥OB，∴，∴    11分)

∵在△ACM与△AMO中，∠CAM＝∠MAO，∠MCA＞∠AOM    12分

∴设△ACM∽△AMO　∴    13分

即，整理，得　解得或（舍去）

∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，且此时    14分